多峰性分布

重要な二峰性分布には、アークサイン分布とベータ分布（パラメータaとb の両方が 1 未満の場合）があります。その他には、U 二次分布などがあります。

2つの正規分布の比率も二峰性分布に従う。

$${\displaystyle R={\frac {a+x}{b+y}}}$$

ここで、aとbは定数であり、xとyは平均0、標準偏差1の正規分布に従う変数である。Rは既知の密度を持ち、それは合流型超幾何関数として表現できる。^{[ 2 ]}

t分布に従う確率変数の逆数の分布は、自由度が1より大きい場合、二峰性分布となる。同様に、正規分布に従う確率変数の逆数も二峰性分布となる。

コーシー分布から抽出されたデータセットから生成されたt統計量は二峰性である。^{[ 3 ]}

二峰性分布を示す変数の例としては、特定の間欠泉の噴火間隔、銀河の色、働きアリの大きさ、ホジキンリンパ腫の発症年齢、米国成人におけるイソニアジドの不活性化速度、新星の絶対等級、朝夕の薄明時に活動する薄明動物の概日活動パターンなどがある。漁業科学では、多峰性の長さ分布は異なる年級群を反映しており、魚類個体群の年齢分布と成長の推定に利用できる。 ^{[ 4 ]}堆積物は通常、二峰性分布を示す。母岩と鉱化脈を横切る採掘坑道をサンプリングする場合、地球化学的変数の分布は二峰性となる。交通分析でも二峰性分布が見られ、交通量は午前中のラッシュアワーと午後のラッシュアワーでピークを迎える。この現象は、シャワー、調理、トイレの使用といった形での水需要が一般的に朝と夕方にピークを迎えることから、日常的な水の配分にも見られます。細菌の一部の遺伝子も、正常状態とストレス状態の両方で遺伝子発現の二峰性分布を示しています。^{[ 5 ]}

計量経済モデルでは、パラメータは二峰性分布を示すことがある。^{[ 6 ]}

二峰性分布は、一般的に2つの異なる単峰性分布（つまり、モードが1つしかない分布）の混合として生じます。言い換えれば、二峰性分布に従う確率変数Xは次のように定義されます。${\displaystyle Y}$確率で${\displaystyle \alpha }$または${\displaystyle Z}$確率で${\displaystyle (1-\alpha ),}$ここで、YとZは単峰性確率変数であり、${\displaystyle 0<\alpha <1}$は混合係数です。

2つの異なる成分からなる混合物は必ずしも二峰性になるとは限らず、単峰性の成分密度を持つ2成分混合物でも2つ以上のモードを持つことがある。混合物中の成分数と、結果として得られる密度のモード数との間には、直接的な関連性はない。

二峰性分布はデータセットに頻繁に現れるにもかかわらず、研究されることは稀である。これは、頻度論的方法またはベイズ的方法のいずれを用いても、そのパラメータを推定することが困難であるためと考えられる。研究されてきたものの中には、

• 二峰性指数分布。^{[ 7 ]}
• アルファ歪正規分布。^{[ 8 ]}
• 二峰性歪対称正規分布。^{[ 9 ]}
• 二峰性カウントデータには、コンウェイ・マックスウェル・ポアソン分布の混合モデルが適合されている。^{[ 10 ]}

二峰性は、尖点型カタストロフ分布においても自然に生じる。

生物学において、個体群サイズの二峰性分布に寄与する要因はいくつか知られている。

• 個々のサイズの初期分布
• 個体間の成長率の分布
• 個体ごとの成長速度の大きさと時間依存性
• 各サイズクラスによって異なる影響を与える可能性のある死亡率
• ヒトおよびマウスゲノムにおけるDNAメチル化。
• プロモーター領域における転写の動態。

織りアリの働きアリのサイズの二峰性分布は、大型働きアリと小型働きアリという2つの異なるクラスの働きアリが存在することによって生じる。^{[ 11 ]}

全ゲノム^{[ 12 ] [ 13 ]}と個々の遺伝子^{[ 14 ]}の両方における突然変異の適応度への影響の分布も、多くの場合二峰性であることがわかっています。ほとんどの突然変異は中立か致死であり、中間的な影響を持つものは比較的少数です。

させて

$${\displaystyle f(x)=pg_{1}(x)+(1-p)g_{2}(x)\,}$$

ここで、g _iは確率分布であり、pは混合パラメータである。

f ( x )のモーメントは^{[ 17 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=p\mu _{1}+(1-p)\mu _{2}\\[1ex]\nu _{2}&=p\left[\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{2}\right]+(1-p)\left[\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{2}\right]\\[1ex]\nu _{3}&=p\left[S_{1}\sigma _{1}^{3}+3\delta _{1}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{3}\right]+(1-p)\left[S_{2}\sigma _{2}^{3}+3\デルタ _{2}\シグマ_{2}^{2}+\delta _{2}^{3}\right]\\[1ex]\nu _{4}&=p\left[K_{1}\sigma _{1}^{4}+4S_{1}\delta _{1}\sigma _{1}^{3}+6\delta _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{4}\right]+(1-p)\left[K_{2}\sigma _{2}^{4}+4S_{2}\delta _{2}\sigma _{2}^{3}+6\delta _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{4}\right]\\\end{整列}}}$$

どこ

• ${\displaystyle \mu =\int xf(x)\,dx}$
• ${\displaystyle \delta _{i}=\mu _{i}-\mu }$
• ${\displaystyle \nu _{r}=\int (x-\mu )^{r}f(x)\,dx}$

S _iとK _iは、 i番目の分布の歪度と尖度です。

• 混合物の成分の分散が等しい場合、混合物は単峰性であるのは、 ^{[ 21 ]}の場合のみである。$$d ≤ 1$$または$${\displaystyle \left\vert \log(1-p)-\log(p)\right\vert \geq 2\log(d-{\sqrt {d^{2}-1}})+2d{\sqrt {d^{2}-1}},}$$ここで、pは混合パラメータであり、$${\displaystyle d={\frac {\left\vert \mu _{1}-\mu _{2}\right\vert }{2\sigma }},}$$ここで、μ ₁とμ _{2 は}2 つの正規分布の平均であり、σはそれらの標準偏差である。
• p = 1/2の場合の以下のテストはSchillingらによって記述された。^{[ 15 ]}$${\displaystyle r={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}.}$$分離係数（S）は$${\displaystyle S={\frac {\sqrt {-2+3r+3r^{2}-2r^{3}+2\left(1-r+r^{2}\right)^{1.5}}}{{\sqrt {r}}\left(1+{\sqrt {r}}\right)}}.}$$分散が等しい場合、S = 1 となります。混合密度が単峰性であるのは、次の場合に限ります。$${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|<S|\sigma _{1}+\sigma _{2}|.}$$
• 単峰性の十分条件は^{[ 22 ]である。}$${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\min(\sigma _{1},\sigma _{2}).}$$
• 2つの正規分布の標準偏差が等しい場合${\displaystyle \sigma ,}$単峰性の十分条件は^{[ 22 ]である。}$${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\sigma {\sqrt {1+{\frac {\left|\ln p-\ln(1-p)\right|}{2}}}}.}$$

有用な統計量として、アシュマンのD値が挙げられる。^{[ 23 ]}

$${\displaystyle D={\frac {\left|\mu _{1}-\mu _{2}\right|}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}\right)}}}}$$

ここで、 μ ₁、μ ₂は平均値、σ ₁、σ ₂は標準偏差である。

2つの正規分布の混合分布の場合、分布を明確に分離するにはD > 2が必要である。

この尺度は、頻度分布の一致度の加重平均です。^{[ 24 ]} Aは -1 (完全な二峰性) から +1 (完全な単峰性) の範囲をとります。これは次のように定義されます。

$${\displaystyle A=U\left(1-{\frac {S-1}{K-1}}\right)}$$

ここで、Uは分布の単峰性、Sは非ゼロ頻度を持つカテゴリの数、Kはカテゴリの総数である。

分布が以下の3つの特徴のいずれかを持つ場合、Uの値は1になります。

• すべての回答は単一のカテゴリに分類されます
• 回答はすべてのカテゴリーに均等に分布しています
• 回答は2つ以上の隣接するカテゴリに均等に分布しており、他のカテゴリでは回答がゼロである。

これら以外の分布の場合、データは「層」に分割する必要があります。各層内では、応答は等しいかゼロです。カテゴリは連続している必要はありません。各層のAの値（ A _i）が計算され、分布の加重平均が決定されます。各層の重み（wi _）は、その層の応答数です。記号で表すと次のようになります。

$${\displaystyle A_{\text{overall}}=\sum _{i}w_{i}A_{i}}$$

一様分布では、 A = 0となります。すべての回答が 1 つのカテゴリに分類される場合、A = +1 となります。

この指標の理論的な問題点の一つは、区間が等間隔であることを前提としている点である。このことが、その適用範囲を制限する可能性がある。

この指標は、分布が平均（μ ₁とμ ₂）と標準偏差（σ ₁とσ ₂）を持つ 2 つの正規分布の混合であると仮定しています。^{[ 25 ]}

$$${\displaystyle S={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{2(\sigma _{1}+\sigma _{2})}}}$$$

サールの二峰性係数bは^{[ 26 ]}

$${\displaystyle \beta ={\frac {\gamma ^{2}+1}{\kappa }}}$$

ここで、γは歪度、κは尖度です。ここで尖度は、平均値を中心とした標準化された4次モーメントとして定義されます。bの値は0から1の間です。^{[ 27 ]}この係数の背後にある論理は、裾が軽い二峰性分布は、尖度が非常に低く、非対称な特性を持ち、またはその両方を持つため、この係数が増加するということです。

有限サンプルの式は^{[ 28 ]です。}

$${\displaystyle b={\frac {g^{2}+1}{k+{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}}}$$

ここで、 nはサンプル内の項目の数、gはサンプルの歪度、kはサンプルの尖度超過である。

一様分布のbの値は5/9 です。これは指数分布の値でもあります。5/9 より大きい値は、二峰性または多峰性の分布を示している可能性がありますが、対応する値は、大きく歪んだ一峰性分布でも得られる可能性があります。^{[ 29 ]}最大値 (1.0) は、2 つの異なる値のみを持つベルヌーイ分布、または 2 つの異なるディラックのデルタ関数の和(バイデルタ分布) によってのみ達成されます。

この統計量の分布は不明である。これは、ピアソンが以前に提案した統計量、すなわち尖度と歪度の二乗の差に関連している（後述参照）。

^{これは[ 25 ]}と定義される。

$${\displaystyle A_{B}={\frac {A_{1}-A_{an}}{A_{1}}}}$$

ここで、A ₁は小さい方のピークの振幅、A _anは反モードの振幅である。

A _Bは常に 1 未満です。値が大きいほど、より明確なピークを示します。

これは左右のピークの比率です。^{[ 25 ]}数学的には

$${\displaystyle R={\frac {A_{r}}{A_{l}}}}$$

ここで、A _lとA _rはそれぞれ左側のピークと右側のピークの振幅である。

このパラメータ（B）はウィルコックによるものである。^{[ 30 ]}

$${\displaystyle B={\sqrt {\frac {A_{r}}{A_{l}}}}\sum _{i}P_{i}}$$

ここで、A l_とA r_はそれぞれ左ピークと右ピークの振幅であり、P _i^{は i番目の}区間における分布の割合の底が 2 の対数である。ΣP の最大値は1 であるが、 Bの値はこれより大きくなる可能性がある。

この指標を使用するには、値の対数を取る。次に、データを幅Φの区間に分割し、その区間の値はlo​​g 2とする。ピークの幅は、最大値を中心とした1/4Φの4倍とする。

堆積物の研究では、粒子サイズはしばしば二峰性である。経験的に、粒子の頻度を log( サイズ) に対してプロットすることが有用であることがわかっている。 ^{[ 37 ] [ 38 ]}これにより、通常、粒子が二峰性分布に明確に分離される。地質学の応用では、通常、底が 2 の対数が取られる。対数変換された値は、ファイ (Φ) 単位と呼ばれる。このシステムは、クルムバイン(またはファイ) スケールとして知られている。 

別の方法として、粒子径の対数を累積頻度に対してプロットする方法がある。このグラフは通常、2本のほぼ直線と、反モードに対応する接続​​線で構成される。

統計

グラフからいくつかの統計量の概算値を導き出すことができる。^{[ 37 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mean}}&={\frac {\phi _{16}+\phi _{50}+\phi _{84}}{3}}\\[1ex]{\text{std. dev.}}&={\frac {\phi _{84}-\phi _{16}}{4}}+{\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{6.6}}\\[1ex]{\text{skewness}}&={\frac {\phi _{84}+\phi _{16}-2\phi _{50}}{2(\phi _{84}-\phi _{16})}}+{\frac {\phi _{95}+\phi _{5}-2\phi _{50}}{2(\phi _{95}-\phi _{5})}}\\[1ex]{\text{kurtosis}}&={\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{2.44(\phi _{75}-\phi _{25})}}\end{aligned}}}$$

ここで、φ _xは分布のx^番目のパーセンテージにおける変量φの値である。

ピアソンは1894年に、分布が2つの正規分布に分解できるかどうかをテストする手順を考案した最初の人物である。^{[ 39 ]}この方法は9次多項式の解を必要とした。ピアソンはその後の論文で、任意の分布の歪度² + 1 < 尖度であることを報告した。^{[ 27 ]後にピアソンは[ 40 ]}を示した。

$${\displaystyle b_{2}-b_{1}\geq 1}$$

ここで、b ₂は尖度、b ₁は歪度の二乗です。等号は、2 点ベルヌーイ分布または 2 つの異なるディラック デルタ関数の和の場合にのみ成立します。これらは、可能な最も極端な二峰性の場合です。これらの場合の尖度は両方とも 1 です。両方とも対称であるため、歪度は 0 であり、差は 1 です。

ベイカーは、二峰性分布を単峰性分布に変換する変換を提案した。^{[ 41 ]}

単峰性か二峰性かを判断するためのいくつかの検定が提案されている。ハルデーンは、2 番目の中心差に基づく検定を提案した。^{[ 42 ]}ラーキンは後に F 検定に基づく検定を導入した。^{[ 43 ]}ベネットはフィッシャーの G 検定に基づく検定を作成した。^{[ 44 ]}トケシは 4 番目の検定を提案した。^{[ 45 ] [ 46 ]}尤度比に基づく検定は、ホルツマンとフォルマーによって提案されている。^{[ 21 ]}

スコアとワルド検定に基づく方法が提案されている。^{[ 47 ]}この方法は、基礎となる分布が既知の場合に、単峰性分布と二峰性分布を区別することができる。

反モードの統計的検定法は知られている。^{[ 48 ]}

大津の方法

大津の方法は、コンピュータグラフィックスにおいて、2つの分布間の最適な分離を決定するためによく用いられる。

分布が単峰性でないかどうかをテストするために、いくつかの追加のテストが考案されています。帯域幅テスト^{[ 49 ]}、ディップテスト^{[ 50 ]}、過剰質量テスト^{[ 51 ]}、MAPテスト^{[ 52 ]}、モード存在テスト^{[ 53 ]}、ラントテスト^{[ 54 ] [ 55 ]} 、スパンテスト^{[ 56 ]}、サドルテストなどです。

ディップテストの実装はRプログラミング言語で利用可能です。^{[ 57 ]}ディップ統計値のp値は0から1の範囲です。p値が0.05未満の場合は有意な多峰性を示し、p値が0.05より大きく0.10未満の場合は有意性の低い多峰性を示唆します。^{[ 58 ]}

Silverman はモード数に対するブートストラップ法を導入した。^{[ 49 ]}このテストは固定帯域幅を使用するため、テストの検出力と解釈可能性が低下する。平滑化された密度では、ブートストラップ中にカウントが不安定なモードが過剰に存在する可能性がある。

BajgierとAggarwalは分布の尖度に基づく検定を提案した。^{[ 59 ]}

特殊なケースについては、追加の検査が利用可能です。

2つの正規分布の混合

2 つの正規分布の混合密度データの研究では、平均値が 4 ～ 6 標準偏差離れていない限り、2 つの正規分布に分離することは困難であることがわかった。^{[ 60 ]}

天文学では、カーネル平均マッチングアルゴリズムを用いて、データセットが単一の正規分布に属するか、あるいは2つの正規分布の混合分布に属するかを判定する。

ベータ正規分布

この分布は、is パラメータの特定の値に対して二峰性である。これらの値に対するテストが説明されている。^{[ 61 ]}

2つの正規分布

Rには、二峰性検定用のパッケージが用意されています。 ^{[ 62 ]}このパッケージは、データが 2 つの正規分布の和として分布していると仮定しています。この仮定が正しくない場合、結果は信頼できない可能性があります。また、データに 2 つの正規分布の和を当てはめる関数も含まれています。

分布が2つの正規分布の混合であると仮定すると、期待値最大化アルゴリズムを使用してパラメータを決定できます。これには、Cluster ^{[ 63 ]}やRパッケージnor1mix ^{[ 64 ]など、いくつかのプログラムが利用可能です。}

その他の分布

R で利用可能な mixtools パッケージは、さまざまな分布のパラメータをテストおよび推定できます。^{[ 65 ]} 2 つの右裾ガンマ分布の混合のためのパッケージが利用可能です。^{[ 66 ]}

混合モデルを適合させるための R 用のパッケージは他にもいくつかあります。これには flexmix ^{[ 67 ]} 、 mcclust ^{[ 68 ]} 、 agrmt ^{[ 69 ]}、mixdist ^{[ 70 ]などがあります。}

統計プログラミング言語SASは、PROC FREQプロシージャを用いて、様々な混合分布を当てはめることもできます。

Pythonでは、 Scikit-learnパッケージに混合モデル化のためのツールが含まれています^{[ 71 ]。}