バンドリミッティング

単純な決定論的帯域制限信号の例としては、次の形式の正弦波がある。${\displaystyle x(t)=\sin(2\pi ft+\theta ).}$この信号が一定のレートでサンプリングされる場合${\displaystyle f_{s}={\tfrac {1}{T}}>2f}$サンプルを入手${\displaystyle x(nT),}$すべての整数に対して${\displaystyle n}$回復できる${\displaystyle x(t)}$これらのサンプルから完全に抽出されます。同様に、周波数と位相が異なる正弦波の和も、それぞれの周波数の最高値に帯域制限されます。

図にフーリエ変換が示されている信号も帯域制限されている。${\displaystyle x(t)}$はフーリエ変換が${\displaystyle X(f),}$その大きさは図に示されている。${\displaystyle x(t)}$は${\displaystyle B.}$その結果、ナイキストレートは

${\displaystyle R_{N}=2B\,}$

または、図に示すように、信号中の最高周波数成分の2倍。サンプリング定理によれば、再構成が可能である。${\displaystyle x(t)\ }$サンプルを完全に正確に使用

${\displaystyle x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)}$すべての整数に対して${\displaystyle n\,}$そして${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}}$

に限って

${\displaystyle f_{s}>R_{N}\,}$

信号のサンプルからの信号の再構成は、ウィテカー・シャノン補間式を用いて行うことができる。

両方の領域で有限のサポートを持ち、かつ恒等的にゼロではない信号 f(t) が存在すると仮定します。ナイキスト周波数よりも速くサンプリングし、それぞれのフーリエ変換を計算してみましょう。${\displaystyle FT(f)=F_{1}(w)}$離散時間フーリエ変換${\displaystyle DTFT(f)=F_{2}(w)}$DTFTの特性によれば、${\displaystyle F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})}$、 どこ${\displaystyle f_{x}}$は離散化に使用される周波数です。f が帯域制限されている場合、${\displaystyle F_{1}}$ある区間外ではゼロなので、十分に大きい${\displaystyle f_{x}}$、${\displaystyle F_{2}}$個々のサポートは、${\displaystyle F_{1}}$まとめると${\displaystyle F_{2}}$重複しません。DTFTの定義によれば、${\displaystyle F_{2}}$は三角関数の和であり、f(t)は時間制限があるため、この和は有限になります。${\displaystyle F_{2}}$実際には三角多項式になります。すべての三角多項式は複素平面全体で正則であり、複素解析には非定数正則関数のすべての零点は孤立しているという単純な定理があります。しかし、これは、以前の発見と矛盾します。${\displaystyle F_{2}}$区間内にはゼロが多数存在する。なぜなら、そのような区間内の点は孤立していないからである。したがって、時間および帯域幅によって制限される信号は、定数ゼロのみとなる。

この結果の重要な帰結の一つは、実際の状況では真に帯域制限された信号を生成することは不可能であるということである。なぜなら、帯域制限された信号の送信には無限の時間が必要となるからである。現実世界の信号は必然的に時間制限があり、したがって帯域制限することはできない。しかしながら、帯域制限された信号という概念は、理論的および分析的な目的においては有用な理想化である。さらに、帯域制限された信号を任意の精度で近似することは可能である。

時間領域における持続時間と周波数領域における帯域幅の間の同様の関係は、量子力学における不確定性原理の数学的基礎を形成している。この枠組みでは、時間領域および周波数領域関数の「幅」は、分散のような尺度で評価される。定量的に、不確定性原理は、あらゆる実波形に対して次の条件を課す。

${\displaystyle W_{B}T_{D}\geq 1}$

どこ

${\displaystyle W_{B}}$は（適切に選択された）帯域幅の尺度（ヘルツ単位）であり、

${\displaystyle T_{D}}$は、（適切に選択された）時間の長さの単位（秒単位）です。

時間周波数解析において、これらの限界はガボール限界として知られており、同時に達成可能な時間周波数分解能の限界として解釈される。