ベルテスト

図は、アラン・アスペが1982年に先例を作った2チャンネルタイプの典型的な光学実験を示しています。^{[ 9 ]}同時計数（同時検出）が記録され、結果は「++」、「+ −」、「− +」または「− −」に分類され、対応するカウントが蓄積されます。

4 つの独立したサブ実験が実施され、これらは検定統計量S (以下の式 (2) に示す) の 4 つの項E ( a , b ) に対応します。設定a、a ′、bおよびb ′は、実際には一般的にそれぞれ 0、45°、22.5°、および 67.5° (「ベルテスト角度」)に選択されます。これらは、量子力学の公式が不等式を最も大きく破る角度です。

aとbの各選択値について、各カテゴリ（ N ₊₊、N ₋₋、N ₊₋、N− ₊ ）における一致回数が記録されます。E(a,b)の実験的推定値は次のように計算されます。

4つのEがすべて揃ったらが推定され、検定統計量の実験的推定値が得られました。

が見つかる可能性がある。Sの値が2より大きい場合、CHSH不等式に違反していることになる。この実験は量子力学の予測を支持し、すべての局所隠れ変数理論を否定したと宣言される。

しかし、式（2）の使用を正当化するためには、検出されたペアのサンプルがソースから放出されたペアを代表しているという強い仮定を置く必要がありました。この仮定を否定することは、公平なサンプリングの抜け穴と呼ばれます。

1982年以前の実際のベル検定では、すべて「シングルチャンネル」偏光子と、この設定用に設計された不等式のバリエーションが使用されていました。後者は、Clauser、Horne、Shimony、Holtによる1969年のよく引用される論文で、実用に適しているものとして説明されています。^{[ 6 ]} CHSH検定と同様に、各偏光子が2つの設定のうちの1つを取る4つのサブ実験がありますが、それに加えて、1つまたは両方の偏光子がないサブ実験もあります。カウントは以前と同様に行われ、検定統計量の推定に使用されます。

ここで、記号∞は偏光板がないことを示します。

Sが0を超える場合、実験はCH不等式に違反したと宣言され、したがって局所隠れ変数を否定したとみなされます。この不等式は、1974年のClauserとHorneの論文でより厳密に、より弱い仮定の下で導出されたため、CHSHではなくCH不等式として知られています。^{[ 10 ]}

レナード・ラルフ・カスデイ、ジャック・R・ウルマン、呉建雄は、ポジトロニウム崩壊によって生成された光子対をコンプトン散乱で分析し、最初の実験的ベルテストを実施した。この実験では、量子予測と一致する光子偏光相関が観測されたが、コンプトン散乱の既知の偏光依存性に従う局所的現実モデルとは一致しなかった。コンプトン散乱の偏光選択性が低いため、結果はベル不等式に違反しなかった。^{[ 12 ] [ 13 ]}

スチュアート・J・フリードマンとジョン・クラウザーは、 CH74不等式の変形であるフリードマンの不等式を用いて、ベル不等式の違反を観測した最初のベルテストを実施した。^{[ 14 ]}

アラン・アスペクトと彼のチームはパリのオルセーでカルシウムカスケード光源を用いて3回のベル不等式実験を行った。最初と最後はCH74不等式を用いた。2回目はCHSH不等式の最初の適用であった。3回目（そして最も有名な）は、光子の飛行中に両側の2つの設定の選択が行われるように配置されていた（ジョン・ベルが最初に提案したように）。^{[ 15 ] [ 16 ]}

1998年のジュネーブのベルテスト実験では、距離が「量子もつれ」を破壊しないことが示されました。光は分析される前に、数キロメートルの距離にわたって光ファイバーケーブルで送られました。1985年頃からのほとんどすべてのベルテストと同様に、「パラメトリックダウンコンバージョン」（PDC）光源が使用されました。^{[ 17 ] [ 18 ]}

1998年、グレゴール・ヴァイスとアントン・ツァイリンガー率いるインスブルックのチームは、1982年のアスペストの実験を改良し、「局所性」の抜け穴を塞ぐ実験を行った。検出器の選択は、ランダム性を確保するために量子プロセスを用いて行われた。このテストは、CHSH不等式を30標準偏差以上破り、同時計数曲線は量子論によって予測されたものと一致した。^{[ 19 ]}

これは、2つ以上の粒子に関する新しいベル型実験の最初の例であり、この実験では、いわゆる3粒子のGHZ状態が用いられている。 ^{[ 20 ]}

検出の抜け穴は、ボルダーにある国立標準技術研究所のデビッド・ワインランドのイオン貯蔵グループで行われた、絡み合った2つの捕捉イオンを用いた実験で初めて塞がれた。この実験では、検出効率が90%をはるかに超えた。^{[ 21 ]}

Belle実験でΥ(4S)の半レプトンB0崩壊を用いると、粒子-反粒子相関においてベル不等式の明確な破れが観測される。^{[ 22 ]}

アンソニー・レゲットが提唱した特定の非局所理論のクラスは除外される。これに基づき、著者らは、量子力学と整合する可能性のある非局所隠れ変数理論は、非常に直感に反するものでなければならないと結論付けている。 ^{[ 23 ] [ 24 ]}

この実験では、検出器間の距離を18 kmにすることで抜け穴を埋めました 。この距離は、2つの検出器間で情報が伝わる前に量子状態の測定を完了させるのに十分です。^{[ 25 ] [ 26 ]}

これは固体量子ビット（超伝導ジョセフソン位相量子ビットが使用された）でベル不等式を検証した最初の実験であった。この実験では、エンタングル状態の超伝導量子ビットのペアを使用して検出の抜け穴を克服した。しかし、量子ビットがわずか数ミリメートルしか離れていなかったため、この実験は依然として局所性の抜け穴に悩まされていた。^{[ 27 ]}

光子の検出の抜け穴は、マリッサ・ジュスティーナが高効率検出器を使用して初めて塞いだ。これにより、光子は、異なる実験ではあるものの、主要な抜け穴がすべて塞がれた最初のシステムとなった。^{[ 28 ] [ 29 ]}

Christensen et al. (2013) ^{[ 30 ]の実験は Giustina et al. [ 28 ]}の実験と類似している。Giustina et al. は、一定の測定設定で 4 回の長時間の実験を行った (4 組の設定それぞれに 1 回ずつ)。この実験はパルス化されていなかったため、2 つの測定結果記録 (Alice と Bob) から「ペア」を形成するには実験後に行う必要があり、実際にはこの実験は同時計数の抜け穴にさらされていた。このため、同時計数の抜け穴を取り除く方法で実験データを再解析したところ、幸いにも新しい解析でも適切な CHSH または CH 不等式の違反が示された。^{[ 29 ]}一方、Christensen et al. の実験はパルス化されており、測定設定はランダムな方法で頻繁にリセットされたが、毎回ではなく 1000 個の粒子ペアごとに 1 回だけであった。^{[ 30 ]}

2015年、デルフト、ウィーン、ボルダーの独立した研究グループによって、重大な抜け穴のない最初の3つのベル検定結果が3ヶ月以内に発表された。これら3つの検定は、検出の抜け穴、局所性の抜け穴、記憶の抜け穴に同時に対処した。これにより、超決定論のような残りの考えられる抜け穴はすべて、実験的に解決できない可能性のある非常に特殊な仮説を必要とするという意味で、これらの検定は「抜け穴がない」と言える。

^{ヘンセンら[ 11 ]}による最初の発表された実験では、光子リンクを使用して1.3キロメートル離れたダイヤモンド中の2つの窒素空孔欠陥中心の電子スピンを絡め取り、CHSH不等式（ S = 2.42 ± 0.20）の違反を測定した。これにより、 p値0.039で局所実在論仮説を棄却することができた。

同時に発表された Giustina ら^{[ 31 ]} と Shalm ら^{[ 32 ]}の実験はいずれも 、もつれた光子を用いて、統計的に有意な (p 値 ≪ 10 ⁻⁶ ) ベル不等式の破れを得ました。特に、Shalm らの実験では、測定基底の選択を決定するために 3 種類の (準) 乱数発生器も組み合わせました。これらの方法の 1 つは、補助ファイルに詳述されている「文化的」擬似乱数源で、映画「バック・トゥ・ザ・フューチャー」 、映画「スタートレック: 最後のフロンティアを超えて」、映画「モンティ・パイソン・アンド・ホーリー・グレイル」、テレビ番組「セイブド・バイ・ザ・ベル」や「ドクター・フー」などの人気メディアのビット列を使用しました。^{[ 33 ]}

バーゼル大学の物理学者たちは、多体ベル不等式から導出されたベル相関の証拠を用いて、ボーズ・アインシュタイン凝縮体中の約480個の原子からなる多体システムにおいて、ベル相関を初めて結論付けることができた。抜け穴は塞がれていないものの、この実験は巨視的領域でベル相関を観測できる可能性を示している。^{[ 34 ]}

マサチューセッツ工科大学のデイビッド・カイザー氏と量子光学・量子情報研究所およびウィーン大学のアントン・ツァイリンガー氏率いる物理学者らは、地球に到達するまでに600年かかった星の光を測定することで、「非局所性と一致する結果」を出した実験を行った。^{[ 35 ]}この実験は、「隠れた変数が関係する可能性のある時空領域を劇的に制限する最初の実験」である。^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

ミュンヘン大学とマックス・プランク量子光学研究所の物理学者たちは、検出の抜け穴、局所性の抜け穴、記憶の抜け穴が閉じられた状態で、398メートル離れた2つの原子のもつれたスピン状態を使用してベル不等式の破れを観測した実験の結果を発表した。S = 2.221 ± 0.033 の破れは、7か月分のデータと55000イベントを考慮した場合、有意値 P = 1.02×10 ⁻¹⁶で局所実在論を棄却し、 10000イベントの単一の実行からの上限値は P = 2.57×10 ^{−9であった。 [ 39 ]}

国際的な共同科学研究では、乱数発生器を使用する代わりに、人間の恣意的な選択によって測定設定を定義した。人間の自由意志が存在すると仮定すると、これは「選択の自由の抜け穴」を塞ぐことになる。実験が統計的に有意となるのに十分な入力を提供するために、約10万人の参加者が募集された。^{[ 40 ]}

2018年、国際チームは2つのクエーサー（1つは約80億年前、もう1つは約120億年前に光が生成された）からの光を基に測定設定を行った。^{[ 41 ]}この実験により、設定が相互に決定できた時期の期間が少なくとも78億年前まで延び、超決定論的限界（ 138億年前の宇宙の創造） のかなりの割合を占めるようになった。^{[ 42 ]}

2019年のPBSのNovaのエピソード「アインシュタインの量子の謎」では、この「宇宙のベルテスト」の測定が記録されており、カナリア諸島にある高地のテイデ天文台で科学チームが現場で作業する様子が映像に収められている。^{[ 43 ]}

2023年、チューリッヒ工科大学のアンドレアス・ウォールラフのグループが率いる国際チームは、 30メートルの距離に渡る極低温リンクを介して決定論的に絡み合った超伝導回路を用いて、 CHSH不等式の抜け穴のない破れを実証した。^{[ 44 ]}

光学ベル検定でよくある問題は、放出された光子のごく一部しか検出されないことです。そのため、検出された光子の相関が代表的ではない可能性があります。つまり、ベル不等式の違反を示しているとしても、すべての光子が検出されれば、ベル不等式は実際には満たされることになります。これは、1970 年に Philip M. Pearle が最初に指摘し^{[ 51 ]} 、測定設定が有利な場合にのみ光子が検出されるようにすることでベル違反を偽装する局所隠れ変数モデルを考案しました。このようなことは起こらない、つまり、小さなサンプルが実際に全体を代表しているという仮定は、公平なサンプリングの仮定と呼ばれます。

この仮定を解消するには、光子の十分な割合を検出する必要があります。これは通常、検出効率という観点から特徴づけられます。${\displaystyle \eta }$は、光検出器が到達した光子を検出する確率として定義されます。Anupam GargとN. David Merminは、最大エンタングル状態とCHSH不等式を使用すると、効率が${\displaystyle \eta >2{\sqrt {2}}-2\approx 0.83}$は、抜け穴のない違反に必要である。^{[ 52 ]}後にフィリップ・H・エバーハルトは、部分的にエンタングルした状態を使用すると、抜け穴のない違反が可能になることを示した。${\displaystyle \eta >2/3\approx 0.67}$[ ^{53 ]}これはCHSH不等式の最適境界である。^{[ 54 ]}他のベル不等式ではさらに低い境界が許容される。例えば、4設定不等式が存在し、これは以下の場合に破られる^。$\displaystyle \eta >(\sqrt {5}}-1)/2\approx 0.62$[ ^{55 ]​}

歴史的に、この抜け穴を塞ぐのに十分な効率を達成できたのは、イオントラップ^{[ 56 ]} 、超伝導量子ビット^{[ 57 ]}、窒素空孔中心^{[ 58 ]}などの非光学システムを用いた実験のみであった。これらの実験では、光子では容易にできる局所性の抜け穴を塞ぐことはできなかった。しかし、より最近では、超伝導光検出器^{[ 31 ] [ 32 ]}を使用することで光学セットアップが十分に高い検出効率を達成し、ハイブリッドセットアップが物質システムに典型的な高い検出効率と光子システムに典型的な距離でのエンタングルメントの容易な分配を組み合わせることに成功した^{[ 11 ] 。}

ベルの定理の仮定の一つは局所性の仮定、すなわち測定地点での設定の選択が他の測定地点の結果に影響を与えないという仮定である。この仮定の根拠は、光速を超える通信を禁じる相対性理論である。この根拠が実験に適用されるためには、測定事象間に空間的な分離が必要となる。つまり、測定設定の選択から結果の生成までの時間は、光信号が測定地点間を伝わる時間よりも短くなければならない。^{[ 59 ]}

この条件を尊重しようとした最初の実験は、1982年のアスペクトの実験でした。^{[ 16 ]}この実験では、設定は十分に速く変更されましたが、決定論的に変更されました。量子乱数発生器によって選択され、設定をランダムに変更した最初の実験は、1998年のヴァイスらの実験でした。^{[ 19 ]}シェイドルらは、2010年に144 km (89 mi)離れた場所間で実験を行うことで、これをさらに改善しました。^{[ 60 ]}  

多くの実験、特に光子偏光に基づく実験では、実験の2つの翼におけるイベントのペアは、実験が実行された後、それらの検出時間が互いに十分近いかどうかを判断することによってのみ、単一のペアに属するものとして識別されます。これは、局所隠れ変数理論が量子相関を「偽装」する新たな可能性を生み出します。つまり、粒子が持つ隠れ変数と測定ステーションで遭遇する検出器の設定との間の何らかの関係に応じて、2つの粒子のそれぞれの検出時間をより大きなまたはより小さな量だけ遅延させるということです。^{[ 61 ]}

同時発生の抜け穴は、検出ウィンドウの固定格子を使用することで完全に排除できます。この格子は、同じウィンドウ内で発生するほとんどのイベントのペアが同じ放射に由来するほど短く、真のペアがウィンドウ境界によって分離されないほど長くなっています。^{[ 61 ]}

ほとんどの実験では、同じ 2 つの場所で繰り返し測定が行われます。局所隠れ変数理論は、過去の測定設定と結果の記憶を利用して、ベル不等式の違反を増やす可能性があります。さらに、物理パラメータは時間とともに変化する可能性があります。新しい測定ペアごとに新しいランダムな測定設定ペアを使用すれば、記憶も時間的不均一性も実験に深刻な影響を与えないことが示されています。^{[ 62 ] [ 63 ] [ 64 ]}

ベルの定理を導出するために必要な仮定は、隠れた変数が測定設定と相関していないことである。この仮定は、実験者が設定を選択する「自由意志」を持ち、そもそも科学を行うためにはそれが不可欠であるという理由で正当化されてきた。測定の選択が測定対象のシステムによって決定される（仮説的な）理論は、超決定論的理論として知られている。^{[ 46 ]}

ヒュー・エヴェレット解釈としても知られる多世界解釈は決定論的で局所的なダイナミクスを持ち、崩壊のない量子力学のユニタリー部分から構成される。測定結果が1つであるという暗黙の仮定があるため、ベルの定理は適用されない。^{[ 65 ]}

ベル検定は、最も厳密な量子鍵配送（QKD）の形式、すなわち、使用されるデバイスの内部動作に関する仮定を必要としないデバイス非依存型QKDに使用できます。このようなプロトコルは、1998年にMayersとYaoによって初めて導入され^{[ 66 ]} 、 Ekertによる以前の研究^{[ 67 ]}に触発され、その後開発され、形式化されました^{[ 68 ] 。}

ベルテストは乱数拡張に使用できます。つまり、より短い乱数列から長い乱数列を生成します。最初の列が真にランダムであると仮定すると、ベル不等式の違反は、より長い列もランダムであることを保証します。^{[ 69 ]}認証済み乱数拡張プロトコルは、商用ユースケースでも実証されています。^{[ 70 ] [ 71 ]}

ベル不等式の違反を観測するには、特定の量子状態と測定が必要です。したがって、ベル不等式は測定と状態の両方を認証するために使用でき、^{[ 72 ]}量子コンピュータのベンチマークに役立ちます。^{[ 73 ] [ 74 ]}観測されたベル違反は忠実度の下限として使用でき、これにより他の計算の品質を予測できます。^{[ 75 ] [ 76 ]}