量子限界

物理学における量子限界とは、量子スケールでの測定精度の限界のことである。^[1] 文脈に応じて、限界は絶対的なもの（ハイゼンベルク限界など）である場合もあれば、実験が自然に発生する量子状態で行われる場合にのみ適用され（干渉法における標準的な量子限界など）、高度な状態準備と測定スキームによって回避できる場合もある。

ただし、標準量子限界または SQL という用語の使用は、干渉法だけを指すものではありません。原則として、異なる時間にそれ自体と交換しない研究対象のシステムの量子力学的観測量の線形測定は、そのような限界につながります。つまり、原因は ハイゼンベルクの不確定性原理です。

より詳しい説明は、量子力学におけるあらゆる測定には、少なくともオブジェクトとメーターという 2 つの当事者が関与するということです。前者は、たとえば を測定したい観測可能なシステムです。後者は、このシステムの選択された観測可能な値 、たとえばメーターの目盛り上のポインタの位置を記録することによってオブジェクトの の値を推測するためにオブジェクトに結合するシステムです。これは、簡単に言えば、間接測定として知られる物理学で行われるほとんどの測定のモデルです( ^[1]の 38 ～ 42 ページを参照)。したがって、あらゆる測定は相互作用の結果であり、双方向に作用します。したがって、メーターは各測定中に、通常は読み出し観測可能な値 に共役な量 を介してオブジェクトに作用し、測定された観測可能な値の摂動を引き起こし、後続の測定の結果を変更します。これは、測定対象のシステムに対するメーターの バック アクション (量子)として知られています。${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

同時に、量子力学では、メーターの読み取り観測量には、測定量の値に加算され、測定量の値とは独立している固有の不確実性 がなければならないと規定されています。これは、測定不正確さまたは測定ノイズとして知られています。ハイゼンベルクの不確定性原理により、この不正確さは恣意的ではなく、不確定性関係によって反作用摂動に関連付けられています。 ${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle \Delta {\mathcal {O}}\Delta {\mathcal {F}}\geqslant \hbar /2\,,}$

ここで、 は観測量の標準偏差であり、 はシステムがどのような量子状態であってもの期待値を表します。システムが最小不確実性状態にある場合、等式が達成されます。この場合の結果は、測定がより正確であるほど、つまり が小さいほど、測定器が測定された観測量 に及ぼす摂動が大きくなるということです。したがって、メーターの読み取り値は、一般に、次の 3 つの項で構成されます。 ${\displaystyle \Delta a={\sqrt {\langle {\hat {a}}^{2}\rangle -\langle {\hat {a}}\rangle ^{2}}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \langle {\hat {a}}\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Delta {\mathcal {\delta O}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}={\hat {x}}_{\mathrm {free} }+\delta {\hat {\mathcal {O}}}+\delta {\hat {x}}_{BA}[{\hat {\mathcal {F}}}]\,,}$

ここで、 は、物体がメータと結合されていない場合に持つの値であり、 は、反作用力 によって引き起こされるの値の摂動です。 後者の不確実性は に比例します。したがって、と が無相関である場合、このような測定で得られる精度には最小値、つまり限界があります。^{[2] [3]}${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {無料} }}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle \delta {\hat {x_{BA}}}[{\hat {\mathcal {F}}}]}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle \Delta {\mathcal {F}}\propto \Delta {\mathcal {O}}^{-1}}$${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

「量子限界」と「標準量子限界」という用語は、互換的に使用されることがあります。通常、「量子限界」は量子効果による測定の制限を指す一般的な用語ですが、「標準量子限界」は、特定のコンテキストで、そのコンテキストで普遍的な量子限界を指します。

非常に単純な測定方式を考えてみましょう。しかし、この方式は一般的な位置測定の主要な特徴をすべて備えています。図に示す方式では、非常に短い光パルスのシーケンスを使用して、プローブ本体の変位を監視します。の位置は、時間間隔 で定期的にプローブされます。測定プロセス中に パルスの通常の (古典的な)放射圧によって生じる変位を無視できるほど質量が大きいと仮定します。${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \vartheta}$${\displaystyle M}$

次に、各- 番目のパルスは、反射時に、反射の瞬間の テストマスの位置の値に比例した位相シフトを運びます。${\displaystyle j}$${\displaystyle x(t_{j})}$

ここで、は光の周波数、はパルス番号、は - 番目のパルスの初期（ランダム）位相です。これらすべての位相の平均値は 0 に等しく、その二乗平均平方根（RMS）不確実性は に等しいと仮定します。 ${\displaystyle k_{p}=\omega _{p}/c}$${\displaystyle \omega_{p}}$${\displaystyle j=\dots ,-1,0,1,\dots }$${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}_{j}\rangle =0}$${\displaystyle (\langle {\hat {\phi ^{2}}}\rangle -\langle {\hat {\phi }}\rangle ^{2})^{1/2}}$${\displaystyle \Delta \phi }$

反射されたパルスは位相感度デバイス（位相検出器）によって検出されます。光位相検出器の実装は、例えば ホモダインまたはヘテロダイン検出方式（ ^[2]のセクション2.3およびそこに含まれる参考文献を参照）またはその他の同様の読み出し技術を使用して行うことができます。

この例では、光パルス位相がメーターの読み取り観測量として機能します。次に、検出器によって導入される位相測定誤差が位相の初期の不確実性よりもはるかに小さいと仮定します。この場合、初期の不確実性が位置測定誤差の唯一の原因になります。 ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }}$${\displaystyle \Delta \phi }$

便宜上、式（１）を等価試験質量変位として正規化する。

どこ

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})=-{\frac {{\hat {\phi }}_{j}}{2k_{p}}}}$

は式( 2 )で与えられるRMS不確実性を持つ独立したランダム値である。

反射すると、各光パルスは試験質量を蹴り、それに等しい反作用運動量を伝達します。

ここで、およびは光パルス反射の直前と直後の試験質量の運動量値であり、は- 番目のパルスのエネルギーであり、メーターのバックアクション観測量の役割を果たします。この摂動の大部分は古典的な放射圧によってもたらされます。 ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }}$${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }}$${\displaystyle {\mathcal {W}}_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\mathcal {W}}\,,}$

パルスの平均エネルギー と比例関係にある。したがって、その影響は測定結果から差し引くか、アクチュエータで補正できるため無視できる。補正できないランダム部分は、パルスエネルギーの偏差に比例する。${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }-\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\bigl (}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}-{\mathcal {W}}{\bigr )}\,,}$

そしてそのRMS不確かさは

パルスエネルギーの RMS 不確実性 を伴う。${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}}$

ミラーが自由であると仮定すると（パルス間の時間間隔が吊り下げられたミラーの振動周期よりもはるかに短い場合、これは妥当な近似値です）、パルス時間後の後続の測定の不確実性に寄与する、 - 番目のパルスの反作用によって引き起こされる追加の変位を推定できます。 ${\displaystyle \vartheta \ll T}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j+1}$${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {{\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

その不確実性は単純に

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {\Delta {p}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

ここで、パルスと パルスの間でミラーがどれだけ移動したか 、つまりその変位を推定したい場合、推定の精度を制限する 3 つの追加の不確実性に対処する必要があります。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\tilde {x}}(t_{j+1})-{\tilde {x}}(t_{j})}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\Bigl [}(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1}))^{2}+(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j}))^{2}+(\Delta x_{\rm {b.a.}}(t_{j}))^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\,,}$

ここで、測定の不確かさへのすべての寄与は統計的に独立していると仮定し、標準偏差の合計によって不確かさの合計を得ました。さらに、すべての光パルスが類似しており、同じ位相の不確かさを持っていると仮定すると、次のようになります。 ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})=\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j})\equiv \Delta x_{\rm {meas}}=\Delta \phi /(2k_{p})}$

さて、この合計の最小値と、この単純な推定で得られる最小誤差はいくらでしょうか? エネルギーと各パルスの位相が標準共役観測量であり、したがって次の不確定性関係に従うことを思い出すと、その答えは量子力学から得られます。

${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}\Delta \phi \geq {\frac {\hbar \omega _{p}}{2}}\,.}$

したがって、式（ 2および5 ）から、位置測定誤差と反作用による 運動量摂動も不確実性関係を満たすことがわかります。${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.} }}$

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }\Delta p_{\mathrm {b.a.} }\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.}$

この関係を考慮すると、ミラーを過度に乱さないために光パルスが持つべき最小の不確実性 は、の両方に対してと等しくなるはずです。したがって、量子力学によって規定される最小の変位測定誤差は次のようになります。 ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }}$${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {min} }={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{2M}}}}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}\geqslant {\Bigl [}2(\Delta x_{\rm {meas}})^{2}+{\Bigl (}{\frac {\hbar \vartheta }{2M\Delta x_{\rm {meas}}}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\geqslant {\sqrt {\frac {3\hbar \vartheta }{2M}}}\,.}$

これは、このような 2 パルス手順の標準量子限界です。原理的には、測定を 2 つのパルスのみに制限し、その後のミラー位置の乱れを気にしない場合は、2 番目のパルス測定の不確実性 は理論的には 0 に低減でき (もちろん になります)、変位測定誤差の限界は次のように低減されます。 ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})}$${\displaystyle \Delta p_{\rm {b.a.}}(t_{j+1})\to \infty }$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{SQL}={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{M}}}\,,}$

これは自由質量変位の測定における標準量子限界として知られています。

この例は、線形測定の単純な特殊ケースを表しています。このクラスの測定スキームは、測定の不確実性とオブジェクトの反作用摂動（この場合は と ）の両方がテストオブジェクトの初期量子状態から統計的に独立しており、測定された観測量とその正準共役な対応物（この場合はオブジェクトの位置と運動量）と同じ不確実性関係を満たすという条件で、形式( 3 )と( 4 )の2つの線形方程式で完全に記述できます。 ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})}$${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})}$

干渉計やその他の光学測定の文脈では、標準量子限界は通常、スクイーズ状態なしで得られる量子ノイズの最小レベルを指します。^[4]

さらに、位相ノイズには量子限界があり、これは高ノイズ周波数の レーザーによってのみ到達可能です。

分光学では、X線スペクトルの最短波長は量子限界と呼ばれます。^[5]

「限界」という言葉が多用されているため、古典的限界は量子的限界の反対語ではないことに注意してください。「量子的限界」では、「限界」は物理的な制限 (例:アームストロング限界) の意味で使用されています。「古典的限界」では、「限界」は制限過程の意味で使用されています。(エーレンフェストの定理にもかかわらず、量子力学から古典力学を完全に回復する単純で厳密な数学的限界は存在しないことに注意してください。それでも、量子力学の 位相空間定式化では、そのような限界はより体系的で実用的です。)

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