不確実性の強化

ハイゼンベルクの不確定性関係は、量子力学における基本的な結果の1つです。^[1]その後、ロバートソンは2つの一般的な非可換な観測量に対する不確定性関係を証明し、^[2]シュレーディンガーによって強化されました。^[3]しかし、ロバートソン-シュレーディンガー関係のような従来の不確定性関係では、2つの両立しない観測量の分散の積に非自明な境界を与えることができません。これは、不確定性不等式の下限がヌルになり、したがってシステムの状態と両立しない観測量に対しても自明になる可能性があるためです。ハイゼンベルク-ロバートソン-シュレーディンガーの不確定性関係は、量子形式主義の黎明期に証明され、量子力学の教育と研究に常に存在しています。不確定性関係が存在してから約85年後、この問題は最近、ロレンゾ・マッコーネとアルン・K・パティによって解決されました。標準的な不確定性関係は、観測量との測定結果の分散の積として表され、2 つの分散の 1 つがゼロと異なる場合でも積はゼロになることがあります。しかし、Maccone と Pati によるより強い不確定性関係は、観測量が量子システムの状態と互換性がない場合は必ず非自明であることが保証される分散の合計に基づいて、異なる不確定性関係を提供します。^[4] (分散の合計として定式化された不確定性関係に関する以前の研究には、例えば、He らによる^[5]やHuang による 文献^{[6]などがあります。)}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ハイゼンベルク・ロバートソンやシュレーディンガーの不確定性関係は、与えられた量子状態における観測量の不一致を完全には捉えていない。より強い不確定性関係は、2つの不一致な観測量に対する分散の合計に自明でない境界を与える。2つの非可換な観測量と最初のより強い不確定性関係は次のように与えられる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Delta A^{2}+\Delta B^{2}\geq \pm i\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle +|\langle \Psi |(A\pm iB )|{\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$

ここで、、はシステムの状態に直交するベクトル、つまり、であり、の符号は 正の数になるように選択する必要があります。 ${\displaystyle \Delta A^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi |A|\Psi \rangle ^{2}}$${\displaystyle \Delta B^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi |B|\Psi \rangle ^{2}}$${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$${\displaystyle \langle \Psi |{\bar {\Psi }}\rangle =0}$${\displaystyle \pm i\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle }$

もう一つのより強い不確定性関係は次のように表される。

${\displaystyle \Delta A^{2}+\Delta B^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}|(A +B)|\Psi \rangle |^{2},}$

ここで、 は に直交する単位ベクトルです。 の形式は、が の固有状態でない限り、新しい不確定性関係の右辺がゼロでないことを意味します。 ${\displaystyle |{\bar {\Psi}}_{A+B}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |{\bar {\Psi}}_{A+B}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle (A+B)}$

ハイゼンベルク・ロバートソンの不確定性関係の改良版は次のように 証明できる^{[説明が必要]。}

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq {\frac {\pm {\frac {i}{2}}\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle }{1-{\frac { 1}{2}}|\langle \Psi |({\frac {A}{\Delta A}}\pm i{\frac {B}{\Delta B}})|{\bar {\Psi }}\rangle |^{2}}}.}$

ハイゼンベルク-ロバートソンの不確定性関係は上記の不確定性関係から導かれます。^{[説明が必要]}

量子論では、不確定性関係と不確定性原理を区別する必要がある。前者は、測定結果に広がりを生じさせるシステムの準備のみを指し、測定によって引き起こされる擾乱については言及しない。不確定性原理は、装置による測定擾乱と、両立しない観測量の同時測定の不可能性を考慮する。Maccone-Pati の不確定性関係は、準備の不確定性関係を指す。これらの関係は、両立しない観測量に共通の固有状態が存在しないという強い制限を設定する。Maccone-Pati の不確定性関係は、量子トリット系に対して実験的にテストされている。^[7] 新しい不確定性関係は、観測量の不適合性だけでなく、物理的に測定可能な量（実験で分散を測定できるため）の不適合性も考慮する。

• 研究ハイライト、ネイチャーアジア、2015年1月19日、「ハイゼンベルクの不確定性関係が強まる」^[1]