POVM

関数解析および量子情報科学において、正値作用素値測度（POVM）とは、ヒルベルト空間上の正半定値作用素を値とする測度のことである。POVMは射影値測度（PVM）の一般化であり、それに対応して、POVMによって記述される量子測定は、PVMによって記述される量子測定（射影測定と呼ばれる）の一般化である。

大まかな類推で言えば、POVMはPVMに対して、混合状態が純粋状態に対して持つ関係に相当します。混合状態は、より大きなシステムのサブシステムの状態を指定するために必要です（量子状態の精製を参照）。同様に、POVMは、より大きなシステムに対して行われた射影測定がサブシステムに及ぼす影響を記述するために必要です。

POVMは量子力学における最も一般的な測定方法であり、量子場理論でも使用できます。^{[ 1 ]}量子情報分野で広く使用されています。

させて$\displaystyle {\mathcal {H}}}$ヒルベルト空間を表し、${\displaystyle (X,M)}$測定可能な空間${\displaystyle M}$ボレルσ代数${\displaystyle X}$POVMは関数です${\displaystyle F}$定義済み${\displaystyle M}$その値は、上の正の有界自己共役作用素である$\displaystyle {\mathcal {H}}}$すべての${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle ,}$

はσ代数上の非負の可算加法測度である${\displaystyle M}$そして ${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$は恒等演算子である。^{[ 2 ]}

量子力学において、POVMの重要な特性は、結果空間上の確率測度を決定することであり、${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$事象の確率として解釈できる${\displaystyle E}$量子状態を測定するとき${\displaystyle |\psi \rangle }$。

最も単純なケースでは、${\displaystyle X}$は有限集合であり、${\displaystyle M}$は、${\displaystyle X}$そして$\displaystyle {\mathcal {H}}}$有限次元の場合、POVMは正半定値エルミート行列の集合と同等である。${\displaystyle \{F_{i}\}}$合計すると単位行列になる、^{[ 3 ]： 90}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

POVMは射影値尺度とは異なり、射影値尺度では、${\displaystyle F}$直交投影であることが求められます。

離散的なケースでは、POVM要素${\displaystyle F_{i}}$測定結果に関連している${\displaystyle i}$量子状態に対する量子測定を行った際にそれを得る確率は${\displaystyle \rho }$は

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$、

どこ${\displaystyle \operatorname {tr} }$はトレース演算子です。測定対象の量子状態が純粋状態の場合${\displaystyle |\psi \rangle }$この式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$。

POVMの離散的なケースは、直交射影演算子の集合であるPVMの最も単純なケースを一般化したものである。${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$合計すると単位行列になるもの：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

PVMの確率式はPOVMと同じです。重要な違いは、POVMの要素は必ずしも直交するとは限らないことです。結果として、要素の数は${\displaystyle n}$POVM の要素数は、それらが作用するヒルベルト空間の次元よりも大きくなる可能性があります。一方、要素数は${\displaystyle N}$PVMの次元は、最大でヒルベルト空間の次元である。

注：この定理の別表記は「ノイマルクの定理」です。

ナイマークの膨張定理^{[ 4 ]}は、より大きな空間に作用するPVMからPOVMが得られる方法を示している。この結果は、POVM測定を物理的に実現する方法を提供する点で、量子力学において極めて重要である。^{[ 5 ]： 285}

最も単純なケース、有限次元ヒルベルト空間に作用する有限個の要素を持つPOVMの場合、ナイマークの定理によれば、${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$はヒルベルト空間上で作用するPOVMである。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$寸法$dA$すると、PVMが存在する${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$ヒルベルト空間上で作用する${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$寸法$dA'$等長変換${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$すべての${\displaystyle i}$、

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

ランク1のPOVMの特定の場合、つまり、${\displaystyle F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|}$一部の（正規化されていない）ベクトルについて${\displaystyle |f_{i}\rangle }$^{この等長変換は[ 5 ]}のように構築できる^。285

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}}$

そしてPVMは単純に次のように与えられる。${\displaystyle \Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}}$. ここで注意${\displaystyle d_{A'}=n}$。

一般的には、等長変換と PVM は^{[ 6 ] [ 7 ]を定義することによって構築できます。}${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$、${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$、 そして

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

ここで注意${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$つまり、これはより無駄の多い構造である。

いずれの場合も、結果を得る確率は${\displaystyle i}$このPVMと、等長変換によって適切に変換された状態は、元のPOVMでそれを得る確率と同じです。

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})}$

この構成は、等長変換を拡張することにより、POVMの物理的実現のためのレシピに変換することができる。${\displaystyle V}$単一の${\displaystyle U}$つまり、見つける${\displaystyle U}$そのため

${\displaystyle V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}}$

のために${\displaystyle i}$1から${\displaystyle d_{A}}$これはいつでも可能です。

POVMを実現するためのレシピは、${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$量子状態において${\displaystyle \rho }$次に、量子状態をヒルベルト空間に埋め込む。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ユニタリで進化させる${\displaystyle U}$そして、PVMで説明されている投影測定を行う。${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$。

2次元ヒルベルト空間を持つ量子系があり、それが以下のいずれかの状態にあるとします。${\displaystyle |\psi \rangle }$または州${\displaystyle |\varphi \rangle }$、そして、それがどれであるかを判断したい場合。${\displaystyle |\psi \rangle }$そして${\displaystyle |\varphi \rangle }$が直交している場合、このタスクは簡単です。${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$PVMが形成され、この基底での射影測定によって状態が確実に決定されます。ただし、${\displaystyle |\psi \rangle }$そして${\displaystyle |\varphi \rangle }$直交していない状態を完全に区別することは不可能であり、PVM または POVM のいずれの測定でも確実に区別できるものはないという意味で、このタスクは不可能である。 ^{[ 3 ] : 87}非直交状態を完全に区別することは不可能であり、量子暗号、量子コイン投げ、量子マネーなどの量子情報プロトコルの基礎となっている。

曖昧さのない量子状態識別（UQSD）のタスクは、次に良いものです。状態が${\displaystyle |\psi \rangle }$または${\displaystyle |\varphi \rangle }$ただし、結果が不確定になる場合もある。これは投影測定で可能である。^{[ 8 ]}例えば、PVMを測定する場合${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$、 どこ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$量子状態は${\displaystyle |\psi \rangle }$結果を得る${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$そうすれば、州が${\displaystyle |\varphi \rangle }$結果が${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ならば、結論は出ない。同様の推論はPVMにも当てはまる。${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$、 どこ${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$状態は直交していますか？${\displaystyle |\varphi \rangle }$。

しかし、これは不十分です。両方を検出できないからです。${\displaystyle |\psi \rangle }$そして${\displaystyle |\varphi \rangle }$単一の測定では、決定的な結果が得られる確率は POVM の場合よりも小さくなります。このタスクで決定的な結果が得られる確率が最も高い POVM は^{[ 8 ] [ 9 ]で与えられます。}

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

どこ

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

ご了承ください${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$結果が${\displaystyle \psi }$量子状態が得られたので、${\displaystyle |\psi \rangle }$結果が${\displaystyle \varphi }$量子状態が得られたので、${\displaystyle |\varphi \rangle }$。

決定的な結果が得られる確率は次のように表される。

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

量子システムが状態にあるとき${\displaystyle |\psi \rangle }$または${\displaystyle |\varphi \rangle }$同じ確率で。この結果は、UQSD 研究の先駆者である著者にちなんで名付けられた Ivanović-Dieks-Peres 限界として知られています。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

POVMはランク1なので、上記の構成の単純なケースを使用して、このPOVMを物理的に実現する射影測定を取得できます。拡張されたヒルベルト空間の3つの可能な状態を次のようにラベル付けします。${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$、${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$、 そして${\displaystyle |{\text{result$ ?}}\rangle } 、結果として得られるユニタリ${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$州が${\displaystyle |\psi \rangle }$に

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result$ ?}}\rangle ,}

同様に、州${\displaystyle |\varphi \rangle }$に

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result$ ?}}\rangle .}

射影測定では、POVMと同じ確率で望ましい結果が得られる。

この POVM は、光子の非直交偏光状態を実験的に区別するために使用されてきた。射影測定による POVM の実現は、ここで説明したものとは若干異なっていた。^{[ 13 ] [ 14 ]}

• SIC-POVM
• 量子測定
• 量子力学の数学的定式化
• 密度行列
• 量子演算
• 射影値尺度
• ベクトル測度

• POVM
  • K. Kraus、「状態、効果、操作」、Lecture Notes in Physics 190、Springer (1983)。
  • AS Holevo、『量子論の確率論的および統計的側面』、North-Holland Publ. Cy.、アムステルダム（1982年）。

• 量子状態識別に関するインタラクティブなデモンストレーション