量子統計力学

量子統計力学とは、統計力学を量子力学的システムに応用したものです。これは、熱平衡状態にある量子システムを記述する密度行列を構築することに基づいています。その応用分野には、同一粒子の集合体の研究が含まれ、超伝導や超流動などの現象を説明する理論を提供します。

量子力学では、システムに対して行われた実験の結果の確率は、そのシステムを記述する量子状態から計算されます。各物理システムはベクトル空間、より具体的にはヒルベルト空間に関連付けられています。ヒルベルト空間の次元は、連続自由度の量子物理学を定義するために使用される直線上の二乗可積分関数の空間のように、無限である場合があります。あるいは、ヒルベルト空間は、スピン自由度の場合のように、有限次元である場合があります。量子状態の数学的表現である密度演算子は、システムのヒルベルト空間に作用するトレース1 の正半定値自己共役演算子です。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ランク 1 射影である密度演算子は純粋量子状態として知られており、純粋でないすべての量子状態は混合状態と呼ばれます。^{[ 4 ]}純粋状態は波動関数としても知られています。量子システムに純粋状態を割り当てることは、そのシステムに対する何らかの測定の結果について確実であることを意味します。量子システムの状態空間とは、そのシステムに割り当てることができるすべての状態（純粋状態と混合状態）の集合である。どのシステムにおいても、状態空間は凸集合である。すなわち、任意の混合状態は、一意ではないものの、純粋状態の凸結合として表すことができる。^{[ 5 ]}

有限次元ヒルベルト空間の典型的な例は、量子ビット、すなわちヒルベルト空間が2次元である量子システムである。量子ビットの任意の状態は、パウリ行列の線形結合として記述でき、これは、${\displaystyle 2\times 2}$自己共役行列: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$$ 実際の数字は${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$は単位球内の点の座標であり、 $${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

古典的な確率と統計では、確率変数の期待値（または期待値）は、その確率変数が取り得る値の平均であり、それぞれの結果の確率で重み付けされています。量子物理学における対応する概念は、観測量の期待値です。物理的に測定可能な量は、量子システムに関連付けられたヒルベルト空間に作用する自己共役演算子によって数学的に表現されます。観測量の期待値は、その観測量を表す演算子と密度演算子のヒルベルト・シュミット内積です。 ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).}$$

フォン・ノイマンエントロピーは、ジョン・フォン・ノイマンにちなんで名付けられ、状態がどの程度混ざり合っているかを定量化します。^{[ 8 ]}これは、古典統計力学のギブスエントロピーの概念を量子統計力学に拡張したものであり、古典情報理論のシャノンエントロピーの量子版です。密度行列ρで記述される量子力学的システムの場合、フォン・ノイマンエントロピーは次のようになります。^{[ 9 ]}$${\displaystyle S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {tr} }$トレースを表し、${\displaystyle \operatorname {ln} }$は自然対数の行列版を表します。密度行列ρがその固有ベクトルの基底で記述されている場合、${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots }$として $${\displaystyle \rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|,}$$ するとフォン・ノイマンエントロピーは単に $${\displaystyle S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.}$$ この形式では、Sは固有値のシャノンエントロピーであり、確率として再解釈されるものと考えることができる。^{[ 10 ]}

フォン・ノイマンエントロピーは、${\displaystyle \rho }$は純粋状態である。ブロッホ球の図では、これは点が${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$単位球の表面上に位置する。フォン・ノイマンエントロピーは、次のときに最大値に達する。${\displaystyle \rho }$は最大混合状態であり、量子ビットの場合は次式で与えられる。${\displaystyle r_{x}=r_{y}=r_{z}=0}$[ ^{11 ]​}

フォン・ノイマンエントロピーとそれに基づく量は、量子もつれの研究で広く用いられている。^{[ 12 ]}

量子力学では、区別不可能な粒子（同一粒子または識別不可能な粒子とも呼ばれる）は、原理的にも互いに区別できない粒子である。同一粒子の種類には、素粒子（電子など）、複合亜原子粒子（原子核など）、原子、分子などが含まれるが、これらに限定されない。既知の区別不可能な粒子はすべて量子スケールでのみ存在するが、量子統計学で検討されているように、可能なすべての種類の粒子の網羅的なリストも、適用範囲の明確な限界もない。これらは、 1926年にヴェルナー・ハイゼンベルクとポール・ディラックによって初めて議論された。^{[ 18 ]}

同一粒子には主に2つのカテゴリーがあります。ボソンは交換に対して対称な量子状態によって記述され、フェルミオンは反対称状態によって記述されます。^{[ 19 ]}ボソンの例としては、光子、グルーオン、フォノン、ヘリウム4原子核、およびすべてのメソンがあります。フェルミオンの例としては、電子、ニュートリノ、クォーク、陽子、中性子、およびヘリウム3原子核があります。

粒子が同一である可能性があるという事実は統計力学において重要な意味を持ち、同一粒子は区別可能な粒子とは著しく異なる統計的挙動を示す。^{[ 20 ]}ボソン量子統計の理論は超流動を理解するための出発点であり、^{[ 21 ]}量子統計は超伝導の関連現象を説明するためにも必要である。^{[ 22 ]}

• 量子熱力学
• 熱量子場理論
• 確率熱力学
• 抽象的なウィーナー空間

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