ガボールウェーブレット

ガボールウェーブレットは、情報理論の応用におけるフーリエ変換の基底として機能するように構築された複素関数を用いてデニス・ガボールによって発明されたウェーブレットです。モルレーウェーブレットと非常によく似ています。また、ガボールフィルタとも密接に関連しています。ウェーブレットの重要な特性は、時間領域と周波数領域における標準偏差の積（以下で定義される分散によって与えられる）を最小化することです。言い換えれば、このウェーブレットが持つ情報の不確実性が最小化されます。ただし、非直交であるという欠点があり、基底への効率的な分解が困難です。その誕生以来、画像処理から人間の視覚系のニューロンの分析まで、さまざまな応用例が現れています。^{[ 1 ] [ 2 ]}

ガボールウェーブレットの動機は、ある関数を見つけることから来ている。${\displaystyle f(x)}$これは、時間領域と周波数領域における標準偏差を最小化します。より厳密には、位置領域における分散は次のようになります。

${\displaystyle (\Delta x)^{2}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)f^{*}(x)\,dx}{\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f^{*}(x)\,dx}}}$

どこ${\displaystyle f^{*}(x)}$は、​${\displaystyle f(x)}$そして${\displaystyle \mu }$は算術平均であり、次のように定義されます。

${\displaystyle \mu ={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)f^{*}(x)\,dx}{\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f^{*}(x)\,dx}}}$

波数領域における分散は次のとおりです。

${\displaystyle (\Delta k)^{2}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(k-k_{0})^{2}F(k)F^{*}(k)\,dk}{\int _{-\infty }^{\infty }F(k)F^{*}(k)\,dk}}}$

どこ${\displaystyle k_{0}}$はフーリエ変換の算術平均である。${\displaystyle f(x)}$、${\displaystyle F(x)}$:

${\displaystyle k_{0}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }kF(k)F^{*}(k)\,dk}{\int _{-\infty }^{\infty }F(k)F^{*}(k)\,dk}}}$

これらを定義すると、不確かさは次のように表されます。

${\displaystyle (\Delta x)(\Delta k)}$

この量には下限があることが示されています。${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$量子力学の観点は、${\displaystyle (\Delta x)}$位置と${\displaystyle \hbar (\Delta k)}$運動量の不確実性として。関数${\displaystyle f(x)}$理論的に可能な不確実性の限界が最も低いのはガボールウェーブレットである。^{[ 3 ]}

1次元ガボールウェーブレットの式は、複素指数関数で変調されたガウス関数であり、次のように記述されます。^{[ 3 ]}

${\displaystyle f(x)=e^{-(x-x_{0})^{2}/a^{2}}e^{-ik_{0}(x-x_{0})}}$

フーリエ変換の基底として一般的に使用される他の関数とは異なり、${\displaystyle \sin }$そして${\displaystyle \cos }$ガボールウェーブレットは局所的であるという性質を持ち、中心からの距離が大きくなるにつれて${\displaystyle x_{0}}$が増加すると、関数の値は指数関数的に抑制される。${\displaystyle a}$この指数関数的な減少率を制御し、${\displaystyle k_{0}}$変調速度を制御します。

また、ガボールウェーブレットのフーリエ変換（ユニタリ、角周波数規約）もガボールウェーブレットであることに注目する価値がある。

${\displaystyle F(k)=ae^{-(k-k_{0})^{2}a^{2}}e^{-ix_{0}(k-k_{0})}}$

以下にウェーブレットの例を示します。

時間信号を処理する場合、未来のデータにはアクセスできないため、時間次元に依存するリアルタイム信号を処理するためにガボール関数を使用しようとすると問題が発生します。ガボールフィルタの時間因果的類似物は、KTH王立工科大学の計算脳科学研究所のトニー・リンデバーグによって開発されました^{[ 4 ]。}これは、ガボール関数のガウスカーネルを、時間因果的かつ時間再帰的な平滑化カーネル（時間因果的極限カーネルと呼ばれる）に置き換えることに基づいています。このようにして、結果として得られる時間因果的極限カーネルの複素数値拡張に基づく時間周波数解析により、ガボールウェーブレットが処理できるのと本質的に同じ時間信号の変換を捉えることが可能になり、ハイゼンベルク群に対応し、厳密に時間因果的かつ時間再帰的な操作で実行されます。

• ガボール・トランスフォーム
• ガボールフィルター
• モルレウェーブレット

• 2次元ガボールウェーブレットとガボール特徴抽出のためのMATLABコード