重力による時間の遅れ

重力による時間の遅れは、時間の遅れの一種であり、重力源から様々な距離にいる観測者によって測定される、 2 つの事象間の経過時間の実際の差です。重力ポテンシャルが低いほど（時計が重力源に近いほど）、時間の経過は遅くなり、重力ポテンシャルが増加するにつれて（時計が重力源から遠ざかるにつれて）、時間の経過は速くなります。アルバート・アインシュタインは、相対性理論の中で最初にこれを予測し、その後、一般相対性理論の検証によって確認されました。^{[ 1 ]}

この効果は、高度が異なる（したがって重力ポテンシャルが異なる）原子時計が最終的に異なる時刻を示すことを観察することによって実証されています。このような地球上の実験で検出された効果は極めて小さく、その差はナノ秒単位で測定されます。数十億年単位の地球の年齢と比較すると、地球の核は実際には表面よりも2.5年若いことになります。^{[ 2 ]}より大きな効果を実証するには、地球からより遠い場所での測定、またはより大きな重力源が必要になります。

重力による時間の遅れは、1907年にアルバート・アインシュタインによって、加速座標系における特殊相対性理論の結果として初めて記述されました^{[ 3 ]} 。一般相対性理論では、時空の計量テンソルによって記述される、異なる位置における固有時間の経過の差であると考えられています。重力による時間の遅れの存在は、1959年のパウンド・レブカ実験によって初めて直接確認され、その後、グラビティ・プローブAやその他の実験によってさらに精緻化されました。

重力による時間の遅れは、重力による赤方偏移^{[ 4 ]}と密接に関係しており、一定の周波数の光を放出する物体が重力を持つ物体に近いほど、重力による時間の遅れによってその時間が遅くなり、固定された観測者によって測定された放出光の周波数はより低く（より「赤方偏移」して）見える。

質量のある天体から遠い（または重力ポテンシャルが高い）時計は速く進み、質量のある天体に近い（または重力ポテンシャルが低い）時計は遅く進みます。たとえば、地球の全期間（46億年）で考えると、エベレスト山頂（プロミネンス8,848m  ）など、海抜9,000メートルの静止位置に設置された時計は、海面に設置された時計よりも約39時間進みます。^{[ 5 ] [ 6 ]}これは、重力による時間の遅れが加速した参照系、または等価原理により質量のある天体の重力場に現れるためです。 ^{[ 7 ]}

一般相対性理論によれば、慣性質量と重力質量は同じであり、すべての加速参照系（例えば、固有時間の遅れを伴う一様に回転する参照系）は物理的に同じ強さの重力場と等価である。^{[ 8 ]}

直線状の「垂直」線に沿って並んだ観測者の一族を考えます。各観測者は、この線に沿って作用する一定のg力をそれぞれ経験します（例：加速する長い宇宙船、^{[ 9 ] [ 10 ]}超高層ビル、惑星上のシャフト）。${\displaystyle g(h)}$は、前述の線に沿った座標である「高さ」に対するg力の依存性を表す。${\displaystyle h=0}$は

${\displaystyle T_{d}(h)=\exp \left[{\frac {1}{c^{2}}}\int _{0}^{h}g(h')dh'\right]}$

どこ${\displaystyle T_{d}(h)}$遠方の位置における総時間遅延は${\displaystyle h}$、${\displaystyle g(h)}$Gフォースの「高さ」への依存性とは${\displaystyle h}$、${\displaystyle c}$は光速であり、${\displaystyle \exp }$eによる指数計算を表します。

簡略化のため、平坦な時空におけるリンドラーの観測者族では、依存関係は次のようになる。

${\displaystyle g(h)=c^{2}/(H+h)}$

定数付き${\displaystyle H}$それによって

${\displaystyle T_{d}(h)=e^{\ln(H+h)-\ln H}={\tfrac {H+h}{H}}}$。

一方、${\displaystyle g}$ほぼ一定で${\displaystyle gh}$よりずっと小さい${\displaystyle c^{2}}$線形「弱場」近似${\displaystyle T_{d}=1+gh/c^{2}}$も使用できます。

平坦な時空における回転座標系への同じ公式の適用については、エーレンフェストのパラドックスを参照のこと。

重力による時間の遅れを決定するためによく用いられる方程式は、回転しない質量のある球対称物体の近傍の時空を記述するシュワルツシルト計量から導出される。その方程式は次の通りである。

${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {v_{e}^{2}}{c^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-\beta _{e}^{2}}}<t_{f}}$

どこ

• $t0$これは、巨大な球体に近い観測者、つまり重力場の奥深くにいる観測者にとっての、2つの事象間の適切な時間である。
• $tf$は、巨大な物体から任意に遠い距離にいる観測者にとってのイベント間の座標時間です（これは、遠くにいる観測者がシュワルツシルト座標を使用していることを前提としています。この座標系では、巨大な球体から無限遠にある時計は座標時間の1秒あたり1秒刻み、近い時計はそれよりも遅い速度で刻みます）。
• ${\displaystyle G}$は重力定数です。
• ${\displaystyle M}$は重力場を生成する物体の質量であり、
• ${\displaystyle r}$は重力場内の観測者の動径座標です（この座標は物体の中心からの古典的な距離に類似していますが、実際にはシュワルツシルト座標です。この形式の方程式は、 に対して実数解を持ちます）。${\displaystyle r>r_{\rm {s}}}$)
• ${\displaystyle c}$光速とは、
• $\displaystyle r_{\rm {s}}=2GM/c^{2}}$はシュヴァルツシルト半径です${\displaystyle M}$、
• ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$は脱出速度であり、
• ${\displaystyle \beta _{e}=v_{e}/c}$は脱出速度であり、光速 c の分数として表されます。

例えば、自転の影響を考慮しない場合、地球の重力圏に近い場所にある時計は、遠く離れた場所にある時計に比べて、1年間で約0.0219秒ほど遅れることになります。これに対し、太陽の表面にある時計は、1年間で約66.4秒ほど遅れることになります。

シュヴァルツシルト計量では、自由落下する物体は、軌道半径がより大きい場合、円軌道を描きます。${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}r_{s}}$（光子球の半径）。静止している時計の式は上に示されています。下の式は、円軌道上の時計の一般相対論的時間の遅れを示しています。^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {3}{2}}\!\cdot \!{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\,.}$

両方の膨張は下図に示されています。

• 一般相対性理論によれば、重力による時間の遅れは、加速する基準系の存在と同時に生じる。さらに、一般相対性理論で用いられる等価原理によれば、同様の状況にあるすべての物理現象は、等しく時間の遅れを受ける。
• ある場所における光速は、そこにいる観測者によって常にcに等しい。つまり、時空のあらゆる微小領域にはそれぞれ固有の時間が割り当てられ、その領域における固有時間による光速は常にcである。これは、特定の領域に観測者がいるかどうかに関係なく当てはまる。地球から放出され、太陽の近くで曲がり、金星まで進み、同様の経路で地球に戻ってくる光子について、時間遅延を測定することができる。ここでは光速不変性の違反はない。なぜなら、自分の領域で光子の速度を観測する観測者は、それらの光子の速度がcであることを発見するが、太陽の近傍で光が有限の距離を進む速度はcとは異なるからである。
• 観測者が、より質量の大きい天体に近い遠隔地の観測者（時間遅延の影響を受ける観測者）に到達する、遠く離れた場所の光を追跡できる場合、その最初の観測者は、遠く離れた光と、その遠く離れた時間遅延の影響を受ける観測者の両方が、最初の観測者にcで到達する他の光（最初の観測者が実際に観測できる他のすべての光と同様）よりも遅い時間時計を持っていることを追跡します。もしその遠く離れた光が最終的に最初の観測者に到達すると、その光も最初の観測者によってcで測定されます。
• 重力による時間の遅れ${\displaystyle T}$重力井戸内では、その重力井戸から脱出するために必要な速度に対する速度時間遅延に等しい（計量が次の形式であると仮定した場合）。${\displaystyle g=(dt/T(x))^{2}-g_{space}}$つまり、時間不変であり、「動き」の項は存在しない。${\displaystyle dxdt}$それを示すには、無限遠から井戸に自由落下する物体にネーターの定理を適用すればよい。すると、計量の時間不変性から量の保存が導かれる。${\displaystyle g(v,dt)=v^{0}/T^{2}}$、 どこ$\displaystyle v^{0}}$は4速度の時間成分です${\displaystyle v}$体の。無限の${\displaystyle g(v,dt)=1}$、 それで${\displaystyle v^{0}=T^{2}}$または、局所的な時間の遅れに合わせて調整された座標では、${\displaystyle v_{loc}^{0}=T}$つまり、落下物体の位置で測定される速度によって生じる時間の遅れは、物体が落ち込んだ井戸の中での重力による時間の遅れに等しい。この議論をより一般的に適用すると、（同じ計量に関する仮定の下で）2点間の相対的な重力による時間の遅れは、低い点から高い点まで上昇するために必要な速度による時間の遅れに等しいことがわかる。

重力による時間の遅れは、ヘーフェレ・キーティング実験のように、飛行機に搭載された原子時計を用いて実験的に測定されてきた。飛行機に搭載された時計は、地上の時計よりもわずかに進んでいた。この効果は非常に大きいため、全地球測位システム（GPS）の人工衛星の原子時計は恒久的に修正された。^{[ 13 ]}

さらに、1メートル未満の高さの差による時間の遅れは、実験室で実験的に検証されている。^{[ 14 ]}

重力赤方偏移という形での重力による時間の遅れは、パウンド・レブカ実験や白色矮星シリウスBのスペクトルの観測によっても確認されている。

重力による時間の遅れは、バイキング1号火星着陸船との間で送受信される時間信号を用いた実験で測定されている。^{[ 15 ] [ 16 ]}

• 曲がった時空
• 時計仮説
• 重力赤方偏移
• ヘーフェレ・キーティング実験
• 相対速度による時間膨張
• 双子のパラドックス
• 重心座標時間

• グロン、オイヴィンド。ネス、アーネ (2011)。アインシュタインの理論: 数学の訓練を受けていない人のための厳密な入門。スプリンガー。ISBN 978-1-4614-0705-8。