信号再構成

信号処理 において、再構成とは通常、等間隔に並んだ一連のサンプルから元の連続信号を決定することを意味する。

本稿では、信号のサンプリングと再構成について、一般化された抽象的な数学的手法を用いて解説する。帯域制限信号に基づくより実践的な手法については、ウィテカー・シャノン補間式を参照されたい。

Fを任意のサンプリング方法、すなわち二乗可積分関数のヒルベルト空間からの線形写像とする。$\displaystyle L^{2}}$複雑な空間へ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$。

この例では、サンプリングされた信号のベクトル空間${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$はn次元複素空間です。提案されたFの逆R (再構成式、専門用語では) は、${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$のサブセットへ$\displaystyle L^{2}}$この部分集合は任意に選択できますが、線形写像でもある再構成式Rが必要な場合は、 n次元の線形部分空間を選択する必要があります。$\displaystyle L^{2}}$。

次元が一致しなければならないという事実は、ナイキスト・シャノン標本化定理に関連している。

初等線形代数のアプローチがここでは有効です。${\displaystyle d_{k}:=(0,...,0,1,0,...,0)}$（ k番目のエントリを除くすべてのエントリはゼロで、 k番目のエントリは 1）またはその他の基準${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$Fの逆関数を定義するには、各kに対して、${\displaystyle e_{k}\in L^{2}}$となることによって${\displaystyle F(e_{k})=d_{k}}$これにより、 Fの（擬似）逆関数が一意に定義されます。

もちろん、まず何らかの再構成式を選択し、次にその再構成式から何らかのサンプリングアルゴリズムを計算するか、あるいは与えられたサンプリングアルゴリズムの挙動を与えられた式に関して分析することもできる。

理想的には、再構成式は期待誤差分散を最小化することによって導出されます。そのためには、信号統計が既知であるか、信号の 事前確率を指定できる必要があります。情報場理論は、最適な再構成式を導出するための適切な数学的定式化です。^{[ 1 ]}

おそらく最も広く使われている再構成式は次のとおりです。${\displaystyle \{e_{k}\}}$基礎となる$\displaystyle L^{2}}$ヒルベルト空間の意味で。例えば、アイコナールを用いることができる。

${\displaystyle e_{k}(t):=e^{2\pi ikt}\,}$、

もちろん、他の選択肢も可能です。なお、ここで添え字kは任意の整数（負の値も可）です。

すると、線形写像R を次のように定義できます。

${\displaystyle R(d_{k})=e_{k}\,}$

各${\displaystyle k=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor }$、 どこ${\displaystyle (d_{k})}$は、${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$によって与えられた

${\displaystyle d_{k}(j)=e^{2\pi ijk \over n}}$

（これは一般的な離散フーリエ基底です。）

レンジの選択${\displaystyle k=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor }$これはやや恣意的ではあるものの、次元要件を満たし、最も重要な情報は低周波数帯域に含まれるという一般的な考え方を反映している。しかし、場合によってはこれが誤りとなるため、別の再構成式を選択する必要がある。

ヒルベルト基底の代わりにウェーブレットを用いることで、同様のアプローチが得られる。しかし、多くの応用分野において、最適なアプローチは今日でもまだ明確ではない。

• エイリアシング
• ナイキスト・シャノン標本化定理
• ウィテカー・シャノン補間式