量子デコヒーレンス

量子力学の解釈とは、量子物理学の数学理論が経験される現実とどのように対応しうるかを説明しようとする試みである。^{[ 3 ]}デコヒーレンス計算は、量子力学のどの解釈においても実行可能である。なぜなら、これらの計算は量子理論の標準的な数学的ツールの応用だからである。しかし、デコヒーレンスという主題は、その歴史を通じて解釈の問題と密接に関連してきた。^{[ 4 ] [ 5 ]}

デコヒーレンスは、量子力学における波動関数の崩壊の可能性を理解するために用いられてきた。デコヒーレンスは、実際の波動関数の崩壊を引き起こすものではない。それは、量子系の構成要素が同じ環境内の他の量子系と絡み合うことで、見かけ上の波動関数の崩壊の枠組みを提供するにすぎない。つまり、波動関数の構成要素は、コヒーレントな系から切り離され、周囲の環境から位相を獲得する。全体的または普遍的な波動関数の完全な重ね合わせは依然として存在し（そして全体レベルではコヒーレントなままである）、その最終的な運命は解釈上の問題として残る。

測定問題に関して言えば、デコヒーレンスは、観測者が知覚する状態に対応するように見える状態の混合状態へのシステムの遷移を説明する。さらに、観測によれば、この混合状態は測定状況において適切な量子アンサンブルのように見える。なぜなら、測定によって「アンサンブル」内のちょうど1つの状態が「実現」されるからである。

ヴェルナー・ハイゼンベルクとニールス・ボーアの哲学的見解は、重要な点で両者の間に大きな相違があるにもかかわらず、「コペンハーゲン解釈」としてまとめて扱われることが多い。 ^{[ 6 ] [ 7 ]} 1955年、ハイゼンベルクは、システムとその周囲の環境との相互作用によって量子干渉効果が排除されると示唆した。しかし、ハイゼンベルクは、これがどのように起こるかについて詳細な説明をせず、また、その過程における量子もつれの重要性も明確にしなかった。^{[ 7 ] [ 8 ]}

ネビル・モットが1929年に解決した象徴的なモット問題は、後から考えると最初の量子デコヒーレンス研究とみなされている。^{[ 9 ]}これは最初の現代的な理論的扱いで引用された。^{[ 10 ]}

彼自身はその用語を使っていなかったが、量子デコヒーレンスの概念は、1951年にアメリカの物理学者デイビッド・ボームによって初めて導入された[ ^{11 ] [ 12 ]}。ボームはそれを「測定過程における干渉の破壊」と呼んだ。ボームは後に、量子論のド・ブロイ＝ボーム解釈において測定過程を扱うためにデコヒーレンスを使用^した^{[ 13 ]}。

デコヒーレンスの重要性は、1970年にドイツの物理学者H.ディーター・ツェーによってさらに強調され^{[ 14 ]}、1980年代以降、活発な研究の対象となっている^{[ 15 ]} 。デコヒーレンスは完全な枠組みに発展したが、デコヒーレンス理論の創始者たちが彼らの先駆的な論文で認めているように、それが測定問題を解決するかどうかについては議論がある^{[ 16 ] 。}

デコヒーレンスの研究が本格的な研究対象として始まったのは、1970年にH.ディーター・ツェーが発表した論文「量子論における測定の解釈について」^{[ 4 ] [ 14 ]}からである。ツェーは波動関数を、（コペンハーゲン解釈に典型的な）計算装置や統計情報の集積ではなく、物理的な実体とみなし、シュレーディンガー方程式に従って常にユニタリーに進化するべきであると提唱した。ツェーは当初、普遍的な波動関数がユニタリーに進化するという説を提唱したヒュー・エヴェレット3世の以前の研究^{[ 17 ]}を知らなかった。ブライス・デウィットの記事を通してエヴェレットの「相対状態解釈」を知った後、ツェーは論文を修正してエヴェレットに言及した。^{[ 4 ]} (エヴェレットの提案を多世界解釈と名付けたのはデウィットであり、この名前で一般に知られている。) ゼーにとって、量子力学をどのように解釈するかという問題は極めて重要であり、エヴェレットの解釈に沿った解釈が最も自然であった。物理学者の間で解釈の問題に対する一般的な無関心もあって、ゼーの研究は1980年代初頭にヴォイチェフ・ズレクの2つの論文^{[ 18 ] [ 19 ]}がこの分野を活性化させるまで、比較的無視されたままであった。ゼーの出版物とは異なり、ズレクの論文は解釈についてかなり中立的であり、代わりに密度行列ダイナミクスの特定の問題に焦点を当てていた。ズレクのデコヒーレンスへの関心は、ビル・ウーターズと共同で行ったアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼン・パラドックスへの回答の中で、ボーアの二重スリット実験の分析をさらに進めたことに端を発しており^{[ 20 ]}、それ以来、デコヒーレンスはエヴェレット的見解とコペンハーゲン的見解の間に一種の和解をもたらすと主張している^{[ 4 ] [ 21 ] 。}

デコヒーレンスは、実際の波動関数の崩壊のメカニズムを提供すると主張するものではなく、波動関数の崩壊の出現に対する合理的な枠組みを提示するものである。システムの量子的な性質は、単に環境に絡み合っているため、波動関数の完全な重ね合わせは依然として存在するが、少なくとも実際的な目的においては、測定の領域を超えて存在する。^{[ 22 ] [ 23 ]}定義上、融合したが測定不可能な波動関数が依然として存在するという主張は、実験的に証明することはできない。デコヒーレンスは、量子システムが環境と相互作用した後、古典的な確率規則に従い始める理由を理解するために必要である（ボルンの確率規則をシステムに適用すると、干渉項が抑制されるため）。

デコヒーレンス理論が測定問題を解決するのに十分かどうかについては、アンソニー・レゲットが批判を表明している。^{[ 24 ] [ 25 ]}

N粒子系は、非相対論的量子力学において波動関数によって表すことができる。${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})}$ここで、各x _iは 3 次元空間内の点です。これは古典的な位相空間と類似しています。古典的な位相空間は 6 N次元の実数値関数を含みます(各粒子は 3 つの空間座標と 3 つの運動量に寄与します)。一方、この場合、「量子」位相空間は 3 N次元空間上の複素数値関数を含みます。位置と運動量は、可換でない演算子で表され、${\displaystyle \psi }$ヒルベルト空間の数学的構造の中に存在する。しかし、これらの違いを除けば、大まかな類推は成り立つ。

これまで分離され、相互作用していなかった異なるシステムは、それぞれ異なる位相空間を占めます。言い換えれば、それらは結合システムの位相空間内の異なる低次元部分空間を占めていると言えます。システムの位相空間の実効次元は、存在する自由度の数であり、非相対論的モデルでは、システムの自由粒子の数の6倍です。巨視的なシステムの場合、これは非常に大きな次元になります。しかし、2つのシステム（環境は1つのシステム）が相互作用し始めると、それらに関連付けられた状態ベクトルはもはや部分空間に制約されなくなります。代わりに、結合された状態ベクトルは、「より大きな体積」を通る経路を時間とともに進化します。この体積の次元は、2つの部分空間の次元の積です。2つのベクトルが互いに干渉する程度は、位相空間内でそれらがどれだけ「近い」か（形式的には、それらの重なりまたはヒルベルト空間が掛け合わされる）の尺度となります。システムが外部環境と結合すると、結合状態ベクトルの次元、ひいては利用可能な「体積」が飛躍的に増加する。環境の自由度ごとに、新たな次元が一つずつ加わる。

元のシステムの波動関数は、量子重ね合わせの要素の和として、さまざまな方法で展開できます。各展開は、波数ベクトルを基底に投影することに対応します。基底は自由に選択できます。結果として得られる基底要素が要素固有の方法で環境と相互作用するような展開を選択すると、そのような要素は、それぞれの独立した経路に沿った自然なユニタリー時間発展によって、圧倒的な確率で互いに急速に分離されます。非常に短い相互作用の後、それ以上の干渉の可能性はほとんどありません。このプロセスは事実上不可逆です。異なる要素は、環境との結合によって生成された拡張された位相空間で、事実上互いに「失われる」ことになります。位相空間では、このデカップリングはウィグナー準確率分布によって監視されます。元の要素はデコヒーレンスしたと言われます。環境は、互いにデコヒーレンス（または位相コヒーレンスを失う）する元の状態ベクトルの展開または分解を事実上選択しました。これは「環境誘起超選択」またはアインセレクションと呼ばれます。^{[ 26 ]}二重スリット実験のように、システムのデコヒーレンスされた要素はもはや互いに量子干渉を示さない。環境との相互作用によって互いにデコヒーレンスする要素は、環境と量子もつれしていると言われる。その逆は真ではない。すべてのもつれ状態が互いにデコヒーレンスしているわけではない。

測定装置や計測機器は、測定過程のある段階で人間が読み取れるほど十分に大きくなければならないため、環境として機能します。また、非常に多くの隠れた自由度を持たなければなりません。実際、これらの相互作用は量子測定とみなすことができます。相互作用の結果、システムと測定装置の波動関数は互いに絡み合います。デコヒーレンスは、システムの波動関数の異なる部分が測定装置と異なる方法で絡み合うときに発生します。絡み合ったシステムの状態の2つの要素が干渉するためには、元のシステムと測定装置の両方が、内積の意味で大きく重なり合わなければなりません。測定装置が多くの自由度を持つ場合、このようなことが起こる可能性は非常に低くなります。

その結果、システムは、異なる要素の単一のコヒーレントな量子重ね合わせとしてではなく、それらの古典的な統計的アンサンブルとして振る舞う。各アンサンブルメンバーの測定装置の観点から見ると、システムは、その要素に関して、測定対象属性の正確な値を持つ状態に不可逆的に崩壊したように見える。これは、ボルン規則係数が、量子測定問題の解を構成する測定公準に従って、いかに効果的に確率として機能するかを説明する一つの方法である。

ディラック記法を用いて、システムが初期状態にあるとします。

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}|i\rangle \langle i|\psi \rangle ,}$

どこで${\displaystyle |i\rangle }$s は選択基底(環境誘導選択固有基底^{[ 26 ]} ) を形成し、環境は初期状態で次の状態にあるとする。${\displaystyle |\epsilon \rangle }$システムと環境の組み合わせのベクトル基底は、2つのサブシステムの基底ベクトルのテンソル積で構成されます。したがって、 2つのサブシステム間の相互作用が発生する前は、結合状態は次のように記述できます。

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle =\sum _{i}|i\rangle |\epsilon \rangle \langle i|\psi \rangle ,}$

どこ${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$はテンソル積の略記です${\displaystyle |i\rangle \otimes |\epsilon \rangle }$システムが環境と相互作用する方法には、2つの極端なケースがあります。1つは、（1）システムが独自のアイデンティティを失い、環境と融合する場合（例えば、冷たく暗い空洞内の光子が空洞壁内の分子励起に変換される場合）、もう1つは、（2）環境が乱されてもシステムは全く乱されない場合（例えば、理想的な非擾乱測定）です。一般に、相互作用はこれら2つの極端なケースの混合であり、本稿ではこれら2つのケースを考察します。

デコヒーレンスの有用性は、環境との相互作用の前後の確率解析、特にデコヒーレンス発生後の量子干渉項の消失への応用にある。システムが遷移する確率はどれくらいかと問うならば、${\displaystyle \psi }$に${\displaystyle \phi }$前に${\displaystyle \psi }$状態が環境と相互作用した場合、ボルンの確率規則を適用すると、遷移確率は2つの状態のスカラー積の絶対値の2乗となる。

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{before}}(\psi \to \phi )=\left|\langle \psi |\phi \rangle \right|^{2}=\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\phi _{i}\right|^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}+\sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i},}$

どこ${\displaystyle \psi _{i}=\langle i|\psi \rangle }$、${\displaystyle \psi _{i}^{*}=\langle \psi |i\rangle }$、 そして${\displaystyle \phi _{i}=\langle i|\phi \rangle }$等

上記の遷移確率の展開には、${\displaystyle i\neq j}$これらは、異なる基底要素または量子的な選択肢間の干渉を表していると考えることができます。これは純粋に量子的な効果であり、量子的な選択肢の確率の非加算性を表しています。

システムが量子飛躍を起こす確率を計算するには${\displaystyle \psi }$に${\displaystyle \phi }$後${\displaystyle \psi }$環境と相互作用した後、ボルンの確率規則を適用すると、関連するすべての可能な状態について合計する必要があることがわかります。${\displaystyle |\epsilon _{i}\rangle }$絶対値を二乗する前の環境について：

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )=\sum _{j}\,\left|\langle {\text{after}}\right|\phi ,\epsilon _{j}\rangle |^{2}=\sum _{j}\,\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\langle i,\epsilon _{i}|\phi ,\epsilon _{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\phi _{i}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \right|^{2}.}$

デコヒーレンス/選択条件を適用すると、内部加算は消滅する。$\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \approx \delta _{ij}}$、そして式は次のように簡略化されます。

$\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )\approx \sum _{j}|\psi _{j}^{*}\phi _{j}|^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}.}$

これを、環境がデコヒーレンスを導入する前に導出した式と比較すると、デコヒーレンスの影響で総和の符号が移動していることがわかります。${\displaystyle \textstyle \sum _{i}}$絶対値記号の内側から外側へ。結果として、すべての交差項または量子干渉項が

${\displaystyle \sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i}}$

遷移確率の計算から消えてしまった。デコヒーレンスは量子的な振る舞い（加算的な確率振幅）を古典的な振る舞い（加算的な確率）に不可逆的に変換した。 ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} しかし、Ballentine ^{[ 29 ]}は、干渉を減らすためのデコヒーレンスの大きな影響は、量子システムの古典的な限界への遷移にとって必ずしも重要ではないことを示している。

密度行列の観点から言えば、干渉効果の消失は、「環境的にトレースされた」密度行列の対角化に対応する。^{[ 26 ]}

密度行列に対するデコヒーレンスの影響は、本質的には結合システムの密度行列の部分トレースの非対角要素の減衰または急速な消失、つまり、任意の環境基底に対する結合システムとその環境の密度行列のトレースです。デコヒーレンスは、「平均化された」または「環境的にトレースされた」^{[ 26 ]}密度行列を純粋状態から縮小された混合物に不可逆的に変換します。これが波動関数の崩壊のように見える原因です。これもまた、「環境によって誘発される超選択」またはeinselectionと呼ばれます。^{[ 26 ]}部分トレースを取る利点は、この手順が選択された環境基底に依存しないことです。

当初、結合システムの密度行列は次のように表すことができる。

${\displaystyle \rho =|{\text{before}}\rangle \langle {\text{before}}|=|\psi \rangle \langle \psi |\otimes |\epsilon \rangle \langle \epsilon |,}$

どこ${\displaystyle |\epsilon \rangle }$は環境の状態です。そして、遷移がシステムと環境の間で何らかの相互作用が起こる前に発生する場合、環境サブシステムは関与せず、トレースアウトすることができ、システムの縮小密度行列が残ります。

${\displaystyle \rho _{\text{sys}}=\operatorname {Tr} _{\textrm {env}}(\rho )=|\psi \rangle \langle \psi |\langle \epsilon |\epsilon \rangle =|\psi \rangle \langle \psi |.}$

密度行列で記述されるシステムを見つける確率${\displaystyle \rho }$特定の州で${\displaystyle |\phi \rangle }$すなわち、上述の遷移確率は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{before}}(\psi \to \phi )=\langle \phi |\rho _{\text{sys}}|\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle ={\big |}\langle \psi |\phi \rangle {\big |}^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}+\sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i},}$

どこ${\displaystyle \psi _{i}=\langle i|\psi \rangle }$、${\displaystyle \psi _{i}^{*}=\langle \psi |i\rangle }$、 そして${\displaystyle \phi _{i}=\langle i|\phi \rangle }$等

次に、システムと環境の相互作用後に遷移が発生する場合を考えます。結合密度行列は次のようになります。

${\displaystyle \rho =|{\text{after}}\rangle \langle {\text{after}}|=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i,\epsilon _{i}\rangle \langle j,\epsilon _{j}|=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\otimes |\epsilon _{i}\rangle \langle \epsilon _{j}|.}$

システムの縮小密度行列を取得するために、環境をトレースアウトし、デコヒーレンス/選択条件を適用して、非対角項が消滅することを確認します（1985 年に Erich Joos と HD Zeh によって得られた結果）：^{[ 30 ]}

${\displaystyle \rho _{\text{sys}}=\operatorname {Tr} _{\text{env}}{\Big (}\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\otimes |\epsilon _{i}\rangle \langle \epsilon _{j}|{\Big )}=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\langle \epsilon _{j}|\epsilon _{i}\rangle =\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\delta _{ij}=\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}|i\rangle \langle i|.}$

遷移確率${\displaystyle |\phi \rangle }$相互作用前と同じ方程式を用いると、次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )=\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}|\phi _{i}|^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2},}$

干渉項からの寄与がない

${\displaystyle \sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i}.}$

密度行列アプローチはボームアプローチと組み合わされて、システムの縮小密度行列と環境の影響を考慮した縮小軌道アプローチを生み出した。 ^{[ 31 ]}

閉じた系Sと環境（浴）Bを考えます。これらは量子力学的に扱うことができます。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$そして${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$と をそれぞれシステムのヒルベルト空間と浴のヒルベルト空間とする。このとき、結合システムのハミルトニアンは次のようになる。

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},}$

どこ${\displaystyle {\hat {H}}_{S},{\hat {H}}_{B}}$はそれぞれシステムと浴のハミルトニアンであり、${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$は系と浴との間の相互作用ハミルトニアンであり、${\displaystyle {\hat {I}}_{S},{\hat {I}}_{B}}$はそれぞれ、システムおよび浴ヒルベルト空間上の恒等演算子である。この閉じたシステムの密度演算子の時間発展はユニタリであり、したがって次のように与えられる。

${\displaystyle \rho _{SB}(t)={\hat {U}}(t)\rho _{SB}(0){\hat {U}}^{\dagger }(t),}$

ここでユニタリ演算子は${\displaystyle {\hat {U}}=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$システムと浴が初期状態で絡み合っていない場合、次のように書くことができます。${\displaystyle \rho _{SB}=\rho _{S}\otimes \rho _{B}}$したがって、システムの進化は次のようになる。

${\displaystyle \rho _{SB}(t)={\hat {U}}(t)[\rho _{S}(0)\otimes \rho _{B}(0)]{\hat {U}}^{\dagger }(t).}$

系と浴の相互作用ハミルトニアンは、一般的に次のように記述できる。

${\displaystyle {\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},}$

どこ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i}}$は結合システム－浴ヒルベルト空間に作用する演算子であり、${\displaystyle {\hat {S}}_{i},{\hat {B}}_{i}}$これらはそれぞれシステムと浴に作用する演算子です。システムと浴のこの結合が、システム単独におけるデコヒーレンスの原因となります。これを確認するために、浴に対して部分的なトレースを実行し、システム単独の記述を与えます。

${\displaystyle \rho _{S}(t)=\operatorname {Tr} _{B}{\big [}{\hat {U}}(t)[\rho _{S}(0)\otimes \rho _{B}(0)]{\hat {U}}^{\dagger }(t){\big ]}.}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)}$これは縮約密度行列と呼ばれ、システムに関する情報のみを提供します。浴がその直交基底ケットの集合で記述されている場合、つまり、最初に対角化されている場合、${\displaystyle \textstyle \rho _{B}(0)=\sum _{j}a_{j}|j\rangle \langle j|}$この（計算）基底に関して部分トレースを計算すると、

${\displaystyle \rho _{S}(t)=\sum _{l}{\hat {A}}_{l}\rho _{S}(0){\hat {A}}_{l}^{\dagger },}$

どこ${\displaystyle {\hat {A}}_{l},{\hat {A}}_{l}^{\dagger }}$はクラウス演算子として定義され、(インデックス)として表されます。${\displaystyle l}$インデックスを組み合わせる${\displaystyle k}$そして${\displaystyle j}$):

${\displaystyle {\hat {A}}_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|{\hat {U}}|j\rangle .}$

これは演算子和表現（OSR）として知られています。クラウス演算子に関する条件は、次の事実を用いることで得られます。${\displaystyle \operatorname {Tr} [\rho _{S}(t)]=1}$すると、

${\displaystyle \sum _{l}{\hat {A}}_{l}^{\dagger }{\hat {A}}_{l}={\hat {I}}_{S}.}$

この制約により、OSR でデコヒーレンスが発生するかどうかが決まります。特に、和に複数の項が存在する場合、${\displaystyle \rho _{S}(t)}$すると、システムのダイナミクスは非ユニタリーになり、その結果、デコヒーレンスが発生する。

量子系におけるデコヒーレンスの存在に関するより一般的な考察は、マスター方程式によって与えられます。この方程式は、系の密度行列が時間とともにどのように変化するかを決定します（連続測定下での時間発展については、ベラフキン方程式^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}も参照）。これは、状態（その密度行列で表される）の時間発展を考慮するシュレーディンガー描像を使用します。マスター方程式は次のとおりです。

${\displaystyle \rho '_{S}(t)={\frac {-i}{\hbar }}{\big [}{\tilde {H}}_{S},\rho _{S}(t){\big ]}+L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]},}$

どこ${\displaystyle {\tilde {H}}_{S}=H_{S}+\Delta }$システムのハミルトニアンは何ですか？${\displaystyle H_{S}}$（可能性のある）単一寄与とともに${\displaystyle \Delta }$お風呂から出て、${\displaystyle L_{D}}$はリンドブラッドのデコヒーレンス項である。^{[ 2 ]}リンドブラッドのデコヒーレンス項は次のように表される。

${\displaystyle L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{M}b_{\alpha \beta }{\Big (}{\big [}\mathbf {F} _{\alpha },\rho _{S}(t)\mathbf {F} _{\beta }^{\dagger }{\big ]}+{\big [}\mathbf {F} _{\alpha }\rho _{S}(t),\mathbf {F} _{\beta }^{\dagger }{\big ]}{\Big )}.}$

の${\displaystyle \{\mathbf {F} _{\alpha }\}_{\alpha =1}^{M}}$は、システムヒルベルト空間に作用する有界作用素のM次元空間の基底作用素である。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$そして、は誤差発生器である。^{[ 35 ]}行列要素${\displaystyle b_{\alpha \beta }}$これらは正半定値エルミート行列の要素を表し、デコヒーリング過程を特徴づけるため、ノイズパラメータと呼ばれます。^{[ 35 ]}半群アプローチは、OSRとは異なり、ユニタリ過程とデコヒーリング（非ユニタリ）過程を区別できるため、特に優れています。特に、非ユニタリダイナミクスは次のように表されます。${\displaystyle L_{D}}$一方、状態のユニタリダイナミクスは通常のハイゼンベルク交換子で表されます。 の場合、${\displaystyle L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]}=0}$システムの動的進化はユニタリーである。システムの密度行列の進化がマスター方程式によって記述されるための条件は次のとおりである。^{[ 2 ]}

1. システム密度行列の進化は、1パラメータ半群によって決定される。
2. 進化は「完全に肯定的」である（つまり、確率は維持される）。
3. システム密度行列と浴密度行列は、初期状態では分離されている。

対称的に浴槽に結合されたN 個の量子ビットのシステムを考えます。このN個の量子ビットのシステムが回転すると仮定します。${\displaystyle |{\uparrow }\rangle \langle {\uparrow }|,|{\downarrow }\rangle \langle {\downarrow }|}$${\displaystyle {\big (}|0\rangle \langle 0|,|1\rangle \langle 1|{\big )}}$の固有状態${\displaystyle {\hat {J_{z}}}}$すると、そのような回転の下でランダムな位相${\displaystyle \phi }$固有状態の間に生成される${\displaystyle |0\rangle }$、${\displaystyle |1\rangle }$の${\displaystyle {\hat {J_{z}}}}$したがって、これらの基底量子ビットは${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$以下のように変化します。

${\displaystyle |0\rangle \to |0\rangle ,\quad |1\rangle \to e^{i\phi }|1\rangle .}$

この変換は回転演算子によって実行されます

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\phi }\end{pmatrix}}.}$

この空間内の任意の量子ビットは基底量子ビットで表現できるため、そのようなすべての量子ビットはこの回転によって変換されます。${\displaystyle j}$純粋状態にある th 量子ビット${\displaystyle \vert \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}\vert }$どこ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle =a|0\rangle +b|1\rangle }$回転を適用する前の状態は次のとおりです。

${\displaystyle \rho _{j,{\text{init}}}={\begin{pmatrix}|a|^{2}&ab^{\ast }\\a^{\ast }b&|b|^{2}\end{pmatrix}}}$。

この状態はデコヒーレンスを起こす。なぜなら、デコヒーレンス因子が「エンコード」されていない（依存していない）からである。${\displaystyle e^{i\phi }}$これは、ランダム位相で平均化された密度行列を調べることで確認できます。${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle \rho _{j}=\mathbb {E} [R_{z}(\phi )\vert \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}\vert R_{z}^{\dagger }(\phi )]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R_{z}(\phi )|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|R_{z}^{\dagger }(\phi )\;P({\text{d}}\phi )}$、

どこ${\displaystyle P(\cdot )}$はランダム位相の確率尺度であり、${\displaystyle \phi }$必ずしも必要ではないが、簡略化のために、これはガウス分布によって与えられると仮定しよう。${\displaystyle P({\text{d}}\phi )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {\phi }{\sigma }})^{2}}\,{\text{d}}\phi }$、 どこ${\displaystyle \sigma }$これはランダム位相の広がりを表します。すると、上記のように計算された密度行列は次のようになります。

${\displaystyle \rho _{j}={\begin{pmatrix}|a|^{2}&ab^{\ast }\,e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}\\a^{\ast }b\,e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}&|b|^{2}\end{pmatrix}}}$。

非対角要素（コヒーレンス項）は、ランダム位相の広がりとともに減衰することに注目してください。${\displaystyle \sigma }$は時間とともに増加します（これは現実的な予想です）。したがって、システムの各量子ビットの密度行列は時間とともに区別できなくなります。これは、どの測定でも量子ビットを区別できないことを意味し、さまざまな量子ビットの状態間のデコヒーレンスが生じます。特に、この位相緩和プロセスにより、量子ビットは純粋状態のいずれかに崩壊します。${\displaystyle \{\vert 0\rangle \langle 0\vert ,\vert 1\rangle \langle 1\vert \}}$この種のデコヒーレンス過程が集団的デコヒーレンスと呼ばれるのは、N量子ビットシステムのすべての量子ビット間の相互位相が破壊されるためである。

脱分極は、量子系における非ユニタリー変換であり、純粋状態を混合状態に写像する。これは非ユニタリー過程である。なぜなら、この過程を逆転させる変換は、それぞれのヒルベルト空間から状態を写像するため、正値性を保持しない（つまり、元の確率が負の確率に写像されるが、これは許容されない）。このような変換の2次元の場合、ブロッホ球面上の純粋状態をブロッホ球面内の混合状態に写像することになる。これによりブロッホ球は有限量だけ収縮し、逆の過程はブロッホ球を膨張させるが、これは起こり得ない。

散逸とは、熱浴とのエンタングルメントによって量子状態の分布が変化するデコヒーレンス過程のことである。その一例として、相互作用ハミルトニアンを介して熱浴とエネルギーを交換できる量子系が挙げられる。系が基底状態になく、熱浴の温度が系の温度よりも低い場合、系は熱浴にエネルギーを放出し、その結果、系のハミルトニアンの高エネルギー固有状態は冷却後に基底状態にデコヒーレンスし、すべて非縮退となる。状態はもはや縮退していないため区別できず、したがってこの過程は不可逆的（非ユニタリー）である。

デコヒーレンス率は温度や位置の不確実性など多くの要因に依存しており、多くの実験で外部環境に応じてそれを測定しようと試みられてきた。^{[ 38 ]}

デコヒーレンスによって徐々に消滅していく量子重ね合わせの過程は、 1996年にパリの高等師範学校のセルジュ・アロッシュとその同僚によって初めて定量的に測定された。^{[ 39 ]}彼らのアプローチは、2つの状態の重ね合わせ状態にある個々のルビジウム原子をマイクロ波で満たされた空洞に通すことであった。2つの量子状態はどちらもマイクロ波場の位相に変化をもたらすが、その変化量は異なるため、場自体も2つの状態の重ね合わせ状態になる。空洞ミラーの不完全性による光子散乱のため、空洞場は周囲に対して位相コヒーレンスを失う。アロッシュとその同僚は、原子間のさまざまな時間遅延で空洞に送られた原子のペアの状態間の相関を介して、結果として生じるデコヒーレンスを測定した。

2011年7月、ブリティッシュコロンビア大学とカリフォルニア大学サンタバーバラ校の研究者らは、単一分子磁石に高磁場を印加すると、既知のデコヒーレンスの原因3つのうち2つが抑制されることを示した。^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}彼らは、デコヒーレンスの温度と磁場強度への依存性を測定することができた。

デコヒーレンスは、量子コンピュータの実用化における中心的な課題であり、量子コンピュータは計算を実行するために環境から隔離された量子システムの進化に依存している。この課題を特徴づける2つの時間スケール、T₁とT₂は、ほとんどのプラットフォームで量子ビットの忠実度の標準的な指標として機能する。^{[ 43 ] [ 44 ]}

緩和時間T₁ は、量子ビットが励起状態 |1⟩ から基底状態 |0⟩ に崩壊する際に、周囲にエネルギーを失う速さを表します。励起状態の個体数は指数関数的に減少します。

${\displaystyle P_{|1\rangle }(t)=P_{|1\rangle }(0)\,e^{-t/T_{1}}}$

デコヒーレンス時間T₂ は、量子ビットの状態における位相コヒーレンスがどれだけ速く減衰するかを表します。ブロッホ球の描像では、T₂ は非対角密度行列要素の減衰に対応し、それは次のように変化します。

${\displaystyle \rho _{01}(t)=\rho _{01}(0)\,e^{-t/T_{2}}}$

T₂は一般的にラムゼイ干渉実験によって測定される。この実験では、量子ビットが重ね合わせ状態に準備され、可変時間間隔で歳差運動を行いながら自由に進化する。結果として生じる振動包絡線の減衰からT₂が得られる（右図参照）。^{[ 45 ]} 2つの時間スケールは次のように関連付けられる。

${\displaystyle T_{2}\leq 2T_{1}}$

エネルギー緩和がデコヒーレンスの唯一の原因である場合に限り、等しくなります。^{[ 46 ]}ゲート操作は量子状態がデコヒーレンスする前に完了する必要があるため、時間スケール T₁ と T₂ は量子回路のサイズの実際的な上限を決定します。これらの時間を延長することは、量子プロセッサエンジニアリングの主要な目標です。

典型的な T₂ 値はキュービット プラットフォームによって大きく異なり、時間の経過とともに大幅に改善されています。超伝導トランスモン キュービットでは、50～200 μs の T₂ 値が日常的に達成されており、これは 1999 年に実証された最初の電荷キュービットのナノ秒スケールのコヒーレンスに比べて約 5 桁の改善を表しています。 ^{[ 47 ]}ミリ秒スケールの T₂ 時間はフラクソニウムキュービットで実証されており、回路設計によりトランスモンの主要なノイズ チャネルが抑制されています。^{[ 48 ]}製造の改善により、2 次元トランスモン デバイスでもミリ秒の T₂ 時間が達成されています。^{[ 49 ]}トラップ イオンキュービットは、理想的な条件下では T₂ が数秒から数分のオーダーで、はるかに長いコヒーレンスを達成しています。^{[ 50 ]}半導体スピン キュービットは通常、マイクロ秒範囲の T₂ を示し、スピン エコーなどのデカップリング技術により数百マイクロ秒まで拡張できます。^{[ 51 ]}プラットフォーム間の大きなばらつきは、各実装における主要なノイズメカニズムと動作周波数の違いを反映している。

研究者たちは、デコヒーレンスによる悪影響を軽減または排除するための多くの方法とツールを開発してきた。代表的な方法をいくつか以下に挙げる。