ウェーブレット変換

数学において、ウェーブレット級数は、ウェーブレットによって生成される特定の正規直交級数による平方積分可能（実数値または複素数値）関数の表現です。この記事では、正規直交ウェーブレットと積分ウェーブレット変換の正式な数学的定義を示します。^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]

意味

関数が正規直交ウェーブレットと呼ばれるのは、それが平方可積分関数のヒルベルト空間のヒルベルト基底、つまり完全な正規直交系を定義するために使用できる場合です。 $\psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )$ $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$

ヒルベルト基底は、の二項変換と拡大によって関数の族として構築されます。 $\{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}$ $\psi \,$

\psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}xk\right)\,

整数の場合。 $j,\,k\,\in \,\mathbb {Z}$

の標準内積の下では、 $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$

\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx

この族は正規直交系です。

{\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}

クロネッカーのデルタはどこにありますか。 $\delta _{jl}\,$

完全性は、すべての関数が次のように基底に展開できる場合に満たされる。 $f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$

f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)

級数の収束はノルムの収束として理解されます。このようなfの表現はウェーブレット級数として知られています。これは、正規直交ウェーブレットが自己双対であることを意味します。

積分ウェーブレット変換は次のように定義される積分変換である。

\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {xb}{a}}\right)}}f(x)dx\,

ウェーブレット係数は次のように与えられる。 $c_{jk}$

c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)

ここで、はバイナリ拡大または2 項拡大と呼ばれ、はバイナリ位置または2 項位置です。 $a=2^{-j}$ $b=k2^{-j}$

原理

ウェーブレット変換の基本的な考え方は、変換によって時間拡張のみ変更でき、形状は変更できないというものであり、適切な基底関数の選択に制限が課せられる。時間拡張の変更は、基底関数の対応する解析周波数に適合することが期待される。信号処理の不確定性原理に基づいて、

\Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}

ここで、は時間と角周波数( 、ここでは通常の周波数) を表します。 $t$ $\omega$ $\omega =2\pi f$ $f$

必要な時間分解能が高いほど、周波数分解能は低くする必要があります。分析ウィンドウの拡張を大きく選択するほど、の値は大きくなります。 $\Delta t$

大きいときは、 $\Delta t$

時間分解能が悪い
優れた周波数分解能
低周波数、大きなスケーリング係数

小さいときは $\Delta t$

優れた時間分解能
周波数分解能が悪い
高い周波数、小さなスケーリング係数

言い換えれば、基底関数は、関数がフィルタリングされたシステムのインパルス応答と見なすことができます。変換された信号は、時間と周波数に関する情報を提供します。したがって、ウェーブレット変換には、短時間フーリエ変換に似た情報が含まれますが、ウェーブレットの特別な特性が追加され、基底関数のより高い解析周波数での時間分解能に現れます。フーリエ変換とウェーブレット変換の上昇周波数における時間分解能の違いを以下に示します。ただし、周波数が増加すると周波数分解能は低下しますが、時間分解能は増加することに注意してください。フーリエの不確定性原理のこの結果は、図では正しく表示されていません。 $\psi$ $x(t)$

これは、ウェーブレット変換が高周波の時間分解能に優れている一方で、ゆっくり変化する関数の場合は周波数分解能が優れていることを示しています。

別の例: STFT とウェーブレット変換を使用した 3 つの重ね合わせた正弦波信号の分析。 $y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8 \pi f_{0}t)$

ウェーブレット圧縮

ウェーブレット圧縮は、画像圧縮（場合によってはビデオ圧縮やオーディオ圧縮）に適したデータ圧縮形式です。有名な実装としては、静止画像用のJPEG 2000、DjVu、ECW 、 JPEG XS、CineForm、BBCのDiracなどがあります。目標は、ファイル内の可能な限り小さなスペースに画像データを保存することです。ウェーブレット圧縮は、可逆圧縮と非可逆圧縮のどちらかです。^[6]

ウェーブレット変換を使用すると、ウェーブレット圧縮法は、オーディオの打楽器音などの過渡現象や、夜空の星の画像などの 2 次元画像の高周波成分を表現するのに適しています。つまり、データ信号の過渡的要素は、より広く普及している離散コサイン変換などの他の変換を使用した場合よりも少ない情報量で表現できます。

離散ウェーブレット変換は心電図（ECG）信号の圧縮に効果的に適用されている^[7]。この研究では、連続する心拍周期の信号の対応するウェーブレット係数間の高い相関関係を線形予測を用いて利用している。

ウェーブレット圧縮は、すべての種類のデータに効果的というわけではありません。ウェーブレット圧縮は、過渡信号を適切に処理します。しかし、滑らかで周期的な信号は、他の方法、特にフーリエ変換を使用した周波数領域での従来の高調波解析を使用して圧縮する方が適しています。過渡特性と周期特性の両方を持つデータの圧縮は、従来の高調波解析とウェーブレットを使用するハイブリッド手法で行うことができます。たとえば、Vorbis オーディオコーデックは、主に修正離散コサイン変換を使用してオーディオ（通常は滑らかで周期的）を圧縮しますが、ハイブリッドウェーブレットフィルターバンクを追加して過渡特性の再現を改善できます。^[8]

ビデオ圧縮にウェーブレットを使用する現在の方法の実際的な問題については、「Diary Of An x264 Developer: The issues with wavelets (2010)」を参照してください。

方法

まず、ウェーブレット変換が適用されます。これにより、画像内のピクセルと同じ数の係数が生成されます (つまり、これは変換のみであるため、まだ圧縮は行われていません)。情報は統計的に少数の係数に集中しているため、これらの係数はより簡単に圧縮できます。この原理は、変換コーディングと呼ばれます。その後、係数は量子化され、量子化された値はエントロピーエンコードおよび/またはランレングスエンコードされます。

ウェーブレット圧縮のいくつかの1Dおよび2Dアプリケーションでは、「ウェーブレットフットプリント」と呼ばれる手法が使用されています。^[9]^[10]

評価

画像圧縮の要件

ほとんどの自然画像では、低周波のスペクトル密度の方が高いです。^[11]その結果、低周波信号（参照信号）の情報は一般的に保存され、詳細信号の情報は破棄されます。画像圧縮と再構成の観点から、ウェーブレットは画像圧縮を実行する際に次の基準を満たす必要があります。

よりオリジナルな画像を参照信号に変換できます。
参照信号に基づく最高忠実度の再構築。
参照信号のみから再構成された画像にアーティファクトが発生してはなりません。

シフト変動とリンギング動作の要件

ウェーブレット画像圧縮システムにはフィルターとデシメーションが含まれるため、線形シフトバリアントシステムとして説明できます。一般的なウェーブレット変換図を以下に示します。

変換システムには、2 つの分析フィルタ (ローパスフィルタとハイパスフィルタ)、デシメーションプロセス、補間プロセス、および 2 つの合成フィルタ (と) が含まれます。圧縮および再構成システムには一般に、画像圧縮用の分析フィルタと再構成用の合成フィルタである低周波成分が含まれます。このようなシステムを評価するには、インパルスを入力してその再構成を観察することができます。最適なウェーブレットは、のシフト分散とサイドローブが最小になるウェーブレットです。厳密なシフト分散を持つウェーブレットは現実的ではありませんが、わずかなシフト分散を持つウェーブレットを選択することは可能です。たとえば、2 つのフィルタのシフト分散を比較できます。^[12] $h_{0}(n)$ $h_{1}(n)$ $g_{0}(n)$ $g_{1}(n)$ $h_{0}(n)$ $g_{0}(n)$ $\delta (n-n_{i})$ $h(n-n_{i})$ $h(n-n_{i})$

2 つのフィルターのインパルス応答を観察すると、2 番目のフィルターは入力位置に対する感度が低い (つまり、シフトの変化が少ない) ことがわかります。

画像の圧縮と再構成に関するもう 1 つの重要な問題は、システムの振動動作です。この振動動作により、再構成された画像に重大な望ましくないアーティファクトが発生する可能性があります。これを実現するには、ウェーブレットフィルタのピーク対サイドローブ比を大きくする必要があります。

これまで、画像圧縮システムの1次元変換について議論してきました。この問題は2次元に拡張することができ、より一般的な用語であるシフト可能なマルチスケール変換が提案されています。^[13]

インパルス応答の導出

前述したように、インパルス応答は画像圧縮/再構成システムの評価に使用できます。

入力シーケンスの場合、 1 レベルの分解後の参照信号は係数 2 によるデシメーションを受けますが、はローパスフィルタです。同様に、次の参照信号は係数 2 によるデシメーションを受けます。L レベルの分解 (およびデシメーション) の後、すべてのサンプルから 1 つを保持することで解析応答が得られます。 $x(n)=\delta (n-n_{i})$ $r_{1}(n)$ $x(n)*h_{0}(n)$ $h_{0}(n)$ $r_{2}(n)$ $r_{1}(n)*h_{0}(n)$ $2^{L}$ $h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})$

一方、信号 x(n) を再構成するには、参照信号を検討します。について詳細信号が 0 に等しい場合、前のステージ (ステージ) の参照信号はで、これはで補間および畳み込みを行うことで得られます。同様に、この手順を繰り返してステージの参照信号を取得します。 L 回の反復後、合成インパルス応答が計算されます。これは参照信号と再構成された信号を関連付けます。 $r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})$ $d_{i}(n)$ $1\leq i\leq L$ $L-1$ $r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})$ $r_{L}(n)$ $g_{0}(n)$ $r(n)$ $L-2,L-3,....,1$ $h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})$ $r_{L}(n)$

全体的な L レベルの分析/合成システムを取得するには、分析応答と合成応答を以下のように組み合わせます。

$h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)$ 。

最後に、全体的なインパルス応答のピーク対第 1 サイドローブ比と第 2 サイドローブの平均を使用して、ウェーブレット画像圧縮のパフォーマンスを評価できます。 $h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})$

フーリエ変換と時間周波数解析との比較

ウェーブレットは、特定の周波数を調べる際に計算量を減らすという点でフーリエ変換よりも若干有利です。しかし、ウェーブレットの方が感度が高いことはめったになく、実際、一般的なモルレウェーブレットは、ガウス窓関数を使用した短時間フーリエ変換と数学的に同一です。 ^[14]例外は、既知の非正弦波形状の信号（心拍など）を検索する場合です。その場合、マッチしたウェーブレットを使用すると、標準的な STFT/モルレ分析よりも優れたパフォーマンスが得られます。^[15]

その他の実用的な応用

ウェーブレット変換は、信号の周波数とその周波数に関連する時間を提供できるため、さまざまな分野での応用に非常に便利です。たとえば、歩行分析のための加速度の信号処理、^[16]、障害検出、^[17]、地滑りの季節的変位の分析、^[18]、低電力ペースメーカーの設計、超広帯域（UWB）無線通信などです。^[19]^[20]^[21]

軸の離散化 $c-\tau$
周波数と時間の次の離散化を適用しました。

${\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}$

形式のウェーブレットに至り、基底ウェーブレットの離散式は次のようになります。

$\Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$

このような離散ウェーブレットは変換に使用できます。

$Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$
FFT（高速フーリエ変換）による実装
ウェーブレット変換表現から明らかなように（下図参照）

$Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt$

ここで、はスケーリング係数であり、時間シフト係数を表す。 $c$ $\tau$
この文脈ですでに述べたように、ウェーブレット変換は関数とウェーブレット関数の畳み込みに対応します。畳み込みは周波数領域での乗算として実装できます。これにより、次の実装アプローチが実現されます。 $y(t)$
- FFTによる信号のフーリエ変換 $y(k)$
- 離散スケーリング係数の選択 $c_{n}$
- この係数によるウェーブレット基底関数のスケーリングと、それに続くこの関数のFFT $c_{n}$
- 最初のステップの変換された信号YFFTとの乗算
- 積を時間領域に逆変換すると、異なる離散値および離散値に対して次のようになります。 $Y_{W}(c,\tau )$ $\tau$ $c_{n}$
- 2番目のステップに戻り、すべての離散スケーリング値が処理されるまで $c_{n}$
特定の目的のために、さまざまな種類のウェーブレット変換があります。ウェーブレット関連の変換の完全なリストも参照してください。一般的なものを以下に示します:メキシカンハットウェーブレット、ハールウェーブレット、ドーブシーウェーブレット、三角ウェーブレット。
電力システムにおける故障検出^[22]
領域内で滑らかさが大きく変化する関数の局所適応型統計推定、より具体的にはウェーブレット領域内で疎な関数の推定。^[23]

時間因果ウェーブレット

時間信号をリアルタイムで処理するには、ウェーブレットフィルタが将来の信号値にアクセスしないことと、時間遅延を最小限に抑えることが不可欠です。時間因果ウェーブレット表現は、Szuら^{[24]とLindeberg}^[25]によって開発されており、後者の方法ではメモリ効率の高い時間再帰実装も含まれています。

シンクロスクイーズ変換

シンクロスクイーズド変換は、従来のウェーブレット変換で得られる時間周波数表現の時間分解能と周波数分解能を大幅に向上させることができる。^[26]^[27]

参照

二項QMF （ Daubechiesウェーブレットとも呼ばれる）
双直交近似コイフレット基底。これは、画像圧縮用のウェーブレットも近似コイフレット（近似直交）になり得ることを示している。
チャープレット変換
複素ウェーブレット変換
定数Q変換
連続ウェーブレット変換
ドーブシーウェーブレット
離散ウェーブレット変換
DjVu形式は画像圧縮にウェーブレットベースのIW44アルゴリズムを使用する
デュアルウェーブレット
ECW は、速度と処理効率を重視して設計されたウェーブレットベースの地理空間画像形式です。
ガボールウェーブレット
ハールウェーブレット
JPEG 2000、ウェーブレットベースの画像圧縮規格
最小二乗スペクトル解析
モルレウェーブレット
多重解像度解析
MrSID は、ロスアラモス国立研究所(LANL)でのオリジナルのウェーブレット圧縮研究から開発された画像形式です。
S変換
スケールオグラム、短時間フーリエ変換の代わりにウェーブレットを使用して生成されるスペクトログラムの一種
階層ツリーで分割を設定する
短時間フーリエ変換
定常ウェーブレット変換
時間周波数表現
ウェーブレット

参考文献

^ マイヤー、イヴ（1992）、ウェーブレットと演算子、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-42000-8
^ Chui, Charles K. (1992)、ウェーブレット入門、サンディエゴ、カリフォルニア州：Academic Press、ISBN 0-12-174584-8
^ ドーブシーズ、イングリッド（1992）、ウェーブレットに関する10の講義、SIAM、ISBN 978-0-89871-274-2
^ Akansu, Ali N.; Haddad, Richard A. (1992)、Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets、ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press、ISBN 978-0-12-047141-6
^ Ghaderpour, E.; Pagiatakis, SD; Hassan, QK (2021). 「変化検出と時系列分析の調査とその応用」.応用科学. 11 (13): 6141. doi : 10.3390/app11136141 . hdl : 11573/1655273 .
^ たとえば、JPEG 2000では、ロスレス (可逆) 変換に 5/3 ウェーブレットを使用し、ロスのある (不可逆) 変換に 9/7 ウェーブレットを使用することがあります。
^ Ramakrishnan, AG; Saha, S. (1997). 「ウェーブレットベースの線形予測による ECG コーディング」(PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 44 (12): 1253–1261. doi :10.1109/10.649997. PMID 9401225. S2CID 8834327.
^ 「Vorbis I 仕様」。Xiph.Org Foundation。2020年7月4日。2022年4月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年4月10日閲覧。Vorbis I は、修正離散コサイン変換に基づく順方向適応型モノリシック変換コーデックです。コーデックは、Vorbis II にハイブリッドウェーブレットフィルターバンクを追加できるように構成されており、局所的な時間イベントに適した変換を使用して、より優れた過渡応答と再現を提供します。
^ N. Malmurugan、A. Shanmugam、S. Jayaraman、VV Dinesh Chander。「ウェーブレットフットプリントを使用した新しい画像圧縮アルゴリズム」
^ Ho Tatt Wei および Jeoti, V. 「ECG 信号用のウェーブレットフットプリントベースの圧縮方式」 Ho Tatt Wei、Jeoti, V. (2004) 「ECG 信号用のウェーブレットフットプリントベースの圧縮方式」2004 IEEE リージョン 10 カンファレンス TENCON 2004。Vol. A. p. 283。doi :10.1109 / TENCON.2004.1414412。ISBN 0-7803-8560-8. S2CID 43806122。
^ J. Field, David (1987). 「自然画像の統計と皮質細胞の応答特性の関係」(PDF) . J. Opt. Soc. Am. A . 4 (12): 2379–2394. Bibcode :1987JOSAA...4.2379F. doi :10.1364/JOSAA.4.002379. PMID 3430225.
^ Villasenor, John D. (1995 年8 月)。「画像圧縮のためのウェーブレットフィルタ評価」。IEEE Transactions on Image Processing。4 ( 8): 1053–60。Bibcode : 1995ITIP ....4.1053V。doi : 10.1109/83.403412。PMID 18291999 。
^ シモンチェリ、EP;ウェストバージニア州フリーマン。アデルソン、EH。ヒーガー、DJ (1992)。「シフト可能なマルチスケール変換」。IEEE 情報理論トランザクション。38 (2): 587–607。土井：10.1109/18.119725。S2CID 43701174。
^ Bruns, Andreas (2004). 「フーリエ、ヒルベルト、ウェーブレットベースの信号解析：これらは本当に異なるアプローチなのか？」Journal of Neuroscience Methods . 137 (2): 321–332. doi :10.1016/j.jneumeth.2004.03.002. PMID 15262077. S2CID 21880274.
^ クランツ、スティーブン G. (1999)。調和解析のパノラマ。アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-031-1。
^ Martin, E. (2011). 「ボディエリアネットワーク加速度計による歩幅推定の新手法」2011 IEEE バイオメディカルワイヤレステクノロジー、ネットワーク、センシングシステムに関するトピカルカンファレンスpp. 79–82. doi :10.1109/BIOWIRELESS.2011.5724356. ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID 37689047。
^ Liu, Jie (2012). 「機械の初期故障検出のための切り捨て振動信号のシャノンウェーブレットスペクトル解析」.計測科学技術. 23 (5): 1–11. Bibcode :2012MeScT..23e5604L. doi :10.1088/0957-0233/23/5/055604. S2CID 121684952.
^ Tomás, R.; Li, Z.; Lopez-Sanchez, JM; Liu, P.; Singleton, A. (2016年6月1日). 「InSAR時系列データからの季節変動を分析するためのウェーブレットツールの使用：Huangtupo地滑りのケーススタディ」. Landslides . 13 (3): 437–450. Bibcode :2016Lands..13..437T. doi :10.1007/s10346-015-0589-y. ISSN 1612-5118.
^ Akansu, AN; Serdijn, WA; Selesnick, IW (2010). 「ウェーブレットの新しい応用: レビュー」(PDF) . Physical Communication . 3 : 1–18. doi :10.1016/j.phycom.2009.07.001.
^ Sheybani, E.; Javidi, G. (2009 年 12 月)。「ワイヤレスセンサーネットワークデータセットの次元削減とノイズ除去」。2009年第 2 回国際コンピューターおよび電気工学会議。第 2 巻。674 ～ 677 ページ。doi : 10.1109/ ICCEE.2009.282。ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID 17066179。
^ Sheybani, EO; Javidi, G. (2012 年 5 月)。「強化された SAR イメージングのためのマルチ解像度フィルターバンク」。2012国際システム情報学会議 (ICSAI2012)。pp. 2702–2706。doi : 10.1109 / ICSAI.2012.6223611。ISBN 978-1-4673-0199-2.S2CID 16302915 。
^ Silva, KM; Souza, BA; Brito, NSD (2006 年 10 月)。「ウェーブレット変換と ANN に基づく伝送ラインの障害検出と分類」IEEE Transactions on Power Delivery 21 ( 4): 2058–2063。doi : 10.1109 /TPWRD.2006.876659。S2CID 36881450 。
^ Wasserman, LA (2005).ノンパラメトリック統計のすべて。
^ Szu, Harold H.; Telfer, Brian A.; Lohmann, Adolf W. (1992). 「Causal analytical wavelet transform」.光工学. 31 (9): 1825. Bibcode :1992OptEn..31.1825S. doi :10.1117/12.59911.
^ Lindeberg, T. (2023年1月23日). 「時間的信号と過去の時間の時間因果的かつ時間再帰的なスケール共変スケール空間表現」.生物サイバネティクス. 117 (1–2): 21–59. doi : 10.1007/s00422-022-00953-6 . PMC 10160219. PMID 36689001 .
^ Daubechies, Ingrid; Lu, Jianfeng; Wu, Hau-Tieng (2009 年 12 月 12 日)。「Synchrosqueezed Wavelet Transforms: a Tool for Empirical Mode Decomposition」。arXiv : 0912.2437 [ math.NA]。
^ Qu, Hongya; Li, Tiantian; Chen, Genda (2019年1月1日). 「任意の時系列に最適なパラメータを備えた同期スクイーズ適応ウェーブレット変換」.機械システムと信号処理. 114 : 366–377. Bibcode :2019MSSP..114..366Q. doi : 10.1016/j.ymssp.2018.05.020 . S2CID 126007150.

さらに読む

Maan, Jeetendrasingh; Prasad, Akhilesh (2024年5月1日). 「指数Whittaker変換を伴う波束変換とウェーブレット畳み込み積」. The Ramanujan Journal . 64 (1): 19–36. doi :10.1007/s11139-023-00793-3. ISSN 1572-9303.
Prasad, Akhilesh; Maan, Jeetendrasingh; Verma, Sandeep Kumar (2021). 「インデックス Whittaker 変換に関連するウェーブレット変換」.応用科学における数学的手法. 44 (13): 10734–10752. Bibcode :2021MMAS...4410734P. doi :10.1002/mma.7440. ISSN 1099-1476. S2CID 235556542.

外部リンク

Amara Graps (1995 年 6 月)。「ウェーブレット入門」IEEE 計算科学および工学2 ( 2): 50–61. doi :10.1109/99.388960。
Robi Polikar (2001 年 1 月 12 日)。「ウェーブレットチュートリアル」。
ルネ・プシンガーによるウェーブレットの簡潔な入門

[1] マイヤー、イヴ（1992）、ウェーブレットと演算子、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-42000-8

[2] Chui, Charles K. (1992)、ウェーブレット入門、サンディエゴ、カリフォルニア州：Academic Press、ISBN 0-12-174584-8

[3] ドーブシーズ、イングリッド（1992）、ウェーブレットに関する10の講義、SIAM、ISBN 978-0-89871-274-2

[4] Akansu, Ali N.; Haddad, Richard A. (1992)、Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets、ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press、ISBN 978-0-12-047141-6

[5] Ghaderpour, E.; Pagiatakis, SD; Hassan, QK (2021). 「変化検出と時系列分析の調査とその応用」.応用科学. 11 (13): 6141. doi : 10.3390/app11136141 . hdl : 11573/1655273 .

[6] たとえば、JPEG 2000では、ロスレス (可逆) 変換に 5/3 ウェーブレットを使用し、ロスのある (不可逆) 変換に 9/7 ウェーブレットを使用することがあります。

[7] Ramakrishnan, AG; Saha, S. (1997). 「ウェーブレットベースの線形予測による ECG コーディング」(PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 44 (12): 1253–1261. doi :10.1109/10.649997. PMID 9401225. S2CID 8834327.

[8] 「Vorbis I 仕様」。Xiph.Org Foundation。2020年7月4日。2022年4月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年4月10日閲覧。Vorbis I は、修正離散コサイン変換に基づく順方向適応型モノリシック変換コーデックです。コーデックは、Vorbis II にハイブリッドウェーブレットフィルターバンクを追加できるように構成されており、局所的な時間イベントに適した変換を使用して、より優れた過渡応答と再現を提供します。

[9] N. Malmurugan、A. Shanmugam、S. Jayaraman、VV Dinesh Chander。「ウェーブレットフットプリントを使用した新しい画像圧縮アルゴリズム」

[10] Ho Tatt Wei および Jeoti, V. 「ECG 信号用のウェーブレットフットプリントベースの圧縮方式」 Ho Tatt Wei、Jeoti, V. (2004) 「ECG 信号用のウェーブレットフットプリントベースの圧縮方式」2004 IEEE リージョン 10 カンファレンス TENCON 2004。Vol. A. p. 283。doi :10.1109 / TENCON.2004.1414412。ISBN 0-7803-8560-8. S2CID 43806122。

[11] J. Field, David (1987). 「自然画像の統計と皮質細胞の応答特性の関係」(PDF) . J. Opt. Soc. Am. A . 4 (12): 2379–2394. Bibcode :1987JOSAA...4.2379F. doi :10.1364/JOSAA.4.002379. PMID 3430225.

[12] ^ Villasenor, John D. (1995 年8 月)。「画像圧縮のためのウェーブレットフィルタ評価」。IEEE Transactions on Image Processing。4 ( 8): 1053–60。Bibcode : 1995ITIP ....4.1053V。doi : 10.1109/83.403412。PMID 18291999 。

[13] シモンチェリ、EP;ウェストバージニア州フリーマン。アデルソン、EH。ヒーガー、DJ (1992)。「シフト可能なマルチスケール変換」。IEEE 情報理論トランザクション。38 (2): 587–607。土井：10.1109/18.119725。S2CID 43701174。

[14] Bruns, Andreas (2004). 「フーリエ、ヒルベルト、ウェーブレットベースの信号解析：これらは本当に異なるアプローチなのか？」Journal of Neuroscience Methods . 137 (2): 321–332. doi :10.1016/j.jneumeth.2004.03.002. PMID 15262077. S2CID 21880274.

[15] クランツ、スティーブン G. (1999)。調和解析のパノラマ。アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-031-1。

[16] Martin, E. (2011). 「ボディエリアネットワーク加速度計による歩幅推定の新手法」2011 IEEE バイオメディカルワイヤレステクノロジー、ネットワーク、センシングシステムに関するトピカルカンファレンスpp. 79–82. doi :10.1109/BIOWIRELESS.2011.5724356. ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID 37689047。

[17] Liu, Jie (2012). 「機械の初期故障検出のための切り捨て振動信号のシャノンウェーブレットスペクトル解析」.計測科学技術. 23 (5): 1–11. Bibcode :2012MeScT..23e5604L. doi :10.1088/0957-0233/23/5/055604. S2CID 121684952.

[18] Tomás, R.; Li, Z.; Lopez-Sanchez, JM; Liu, P.; Singleton, A. (2016年6月1日). 「InSAR時系列データからの季節変動を分析するためのウェーブレットツールの使用：Huangtupo地滑りのケーススタディ」. Landslides . 13 (3): 437–450. Bibcode :2016Lands..13..437T. doi :10.1007/s10346-015-0589-y. ISSN 1612-5118.

[19] Akansu, AN; Serdijn, WA; Selesnick, IW (2010). 「ウェーブレットの新しい応用: レビュー」(PDF) . Physical Communication . 3 : 1–18. doi :10.1016/j.phycom.2009.07.001.

[20] Sheybani, E.; Javidi, G. (2009 年 12 月)。「ワイヤレスセンサーネットワークデータセットの次元削減とノイズ除去」。2009年第 2 回国際コンピューターおよび電気工学会議。第 2 巻。674 ～ 677 ページ。doi : 10.1109/ ICCEE.2009.282。ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID 17066179。

[21] Sheybani, EO; Javidi, G. (2012 年 5 月)。「強化された SAR イメージングのためのマルチ解像度フィルターバンク」。2012国際システム情報学会議 (ICSAI2012)。pp. 2702–2706。doi : 10.1109 / ICSAI.2012.6223611。ISBN 978-1-4673-0199-2.S2CID 16302915 。

[22] Silva, KM; Souza, BA; Brito, NSD (2006 年 10 月)。「ウェーブレット変換と ANN に基づく伝送ラインの障害検出と分類」IEEE Transactions on Power Delivery 21 ( 4): 2058–2063。doi : 10.1109 /TPWRD.2006.876659。S2CID 36881450 。

[23] Wasserman, LA (2005).ノンパラメトリック統計のすべて。

[24] Szu, Harold H.; Telfer, Brian A.; Lohmann, Adolf W. (1992). 「Causal analytical wavelet transform」.光工学. 31 (9): 1825. Bibcode :1992OptEn..31.1825S. doi :10.1117/12.59911.

[25] Lindeberg, T. (2023年1月23日). 「時間的信号と過去の時間の時間因果的かつ時間再帰的なスケール共変スケール空間表現」.生物サイバネティクス. 117 (1–2): 21–59. doi : 10.1007/s00422-022-00953-6 . PMC 10160219. PMID 36689001 .

[26] Daubechies, Ingrid; Lu, Jianfeng; Wu, Hau-Tieng (2009 年 12 月 12 日)。「Synchrosqueezed Wavelet Transforms: a Tool for Empirical Mode Decomposition」。arXiv : 0912.2437 [ math.NA]。

[27] Qu, Hongya; Li, Tiantian; Chen, Genda (2019年1月1日). 「任意の時系列に最適なパラメータを備えた同期スクイーズ適応ウェーブレット変換」.機械システムと信号処理. 114 : 366–377. Bibcode :2019MSSP..114..366Q. doi : 10.1016/j.ymssp.2018.05.020 . S2CID 126007150.