位相空間定式化

位相空間定式化は、位置変数と運動量変数を位相空間で同等の立場に置く量子力学の定式化です。位相空間定式化の 2 つの重要な特徴は、量子状態が準確率分布(波動関数、状態ベクトル、または密度行列の代わりに) によって記述され、演算子の乗算がスター積に置き換えられることです。

この理論は、1946年にヒルブランド・グローネウォルドが博士論文で完全に展開し^{[1] 、}ジョー・モヤルが独立して^[2]、ヘルマン・ワイル^[3]とユージン・ウィグナー^[4]による初期のアイデアを基に構築しました。

位相空間定式化とは対照的に、シュレーディンガー描像では位置または運動量の表現が使用されます (位置と運動量空間も参照)。

位相空間定式化の主な利点は、演算子形式化を回避することで量子力学をハミルトン力学に可能な限り類似させ、「ヒルベルト空間の『負担』の量子化を『解放』する」ことである。^[5]この定式化は本質的に統計的であり、量子力学と古典的な統計力学の間に論理的な接続を提供し、両者の自然な比較を可能にする（古典的な限界を参照）。位相空間の量子力学は、特定の量子光学アプリケーション（光位相空間を参照）やデコヒーレンスの研究、およびさまざまな特殊な技術的問題の研究で好まれることが多いが、それ以外の場合、この形式化は実際の状況ではあまり一般的に使用されていない。^[6]

位相空間における量子力学の発展の基礎となる概念的なアイデアは、コンツェビッチの変形量子化（コンツェビッチの量子化公式を参照）や非可換幾何学などの数学的な派生分野に分岐しました。

量子状態の位相空間分布f ( x ,  p )は準確率分布である。位相空間定式化では、位相空間分布は波動関数や密度行列を参照することなく、量子系の基本的で原始的な記述として扱うことができる。^[7]

分布を表す方法はいくつかあり、すべて相互に関連しています。^{[8] [9]} 最も注目すべきは、最初に発見されたウィグナー表現W ( x ,  p )です。^[4] その他の表現には（文献で普及している順に） 、グラウバー–スダルシャン P、^{[10] [11]} フシミ Q、^[12]カークウッド–リハチェク、メータ、リヴィエ、およびボルン–ジョーダン表現があります。^{[13] [14]} これらの代替表現は、ハミルトニアンが特定の形式（グラウバー–スダルシャン P 表現の正規順序など）を取るときに最も役立ちます。ウィグナー表現が最も一般的であるため、特に指定がない限り、この記事では通常ウィグナー表現を使用します。

位相空間分布は、2 n次元位相空間の確率密度に似た特性を持っています。たとえば、一般に複素数値である波動関数とは異なり、位相空間分布は実数値です。位置間隔内にある確率は、たとえば、ウィグナー関数をすべての運動量と位置間隔にわたって積分することによって理解できます。

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.}$

 ( x ,  p )が観測量を表す演算子である場合、ウィグナー変換によってA ( x , p )として位相空間にマッピングできます。逆に、この演算子はワイル変換によって復元できます。

位相空間分布に対する観測量の期待値は^{[2] [15]}

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.}$

ただし、注意点があります。外見は似ていますが、W ( x ,  p ) は 真の結合確率分布ではありません。これは、確率論の第 3 公理で要求されているように、その下の領域が相互に排他的な状態を表さないためです。さらに、一般に、 純粋な状態であっても負の値を取ることがありますが、例外として (オプションでスクイーズされた)コヒーレント状態が挙げられます。これは、第 1 公理に違反しています。

このような負の値の領域は「小さい」ことが証明できます。つまり、数ħより大きいコンパクトな領域に拡張することはできず、したがって古典的な限界では消えます。これらは不確定性原理によって保護されており、不確定性原理はħより小さい位相空間領域内での正確な局在を許可しないため、このような「負の確率」の逆説性は少なくなります。方程式の左辺が演算子に関するヒルベルト空間の期待値として解釈される場合、量子光学の文脈では、この方程式は光学的等価定理として知られています。（ウィグナー関数の特性と解釈の詳細については、そのメイン記事を参照してください。）

量子力学に対するもう1つの位相空間アプローチは、典型的にはシーガル・バーグマン変換を用いて、位相空間上の波動関数（準確率密度だけでなく）を定義しようとするものである。不確定性原理と両立させるために、位相空間波動関数は任意の関数であってはならず、さもなければ位相空間の任意の小さな領域に局在化される可能性がある。むしろ、シーガル・バーグマン変換はの正則関数である。位相空間波動関数に関連付けられた準確率密度があり、それは位置波動関数のHusimi Q 表現である。 ${\displaystyle x+ip}$

位相空間定式化において標準的な演算子乗算に代わる基本的な非可換二項演算子は、記号★で表されるスター積である。^[1]位相空間分布の各表現には、異なる特徴的なスター積がある。具体的には、この議論をウィグナー・ワイル表現に関連するスター積に限定する。

表記の便宜上、左微分と右微分の概念を導入する。関数fとgのペアに対して、左微分と右微分は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}f{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}g&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)g,\\f{\vec {\partial }}_{x}g&=f\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right).\end{aligned}}}$

スター積の 微分定義は

${\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,}$

ここで、指数関数の引数はべき級数として解釈できます。追加の微分関係により、これをfとgの引数の変化で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}$

★積を畳み込み積分形式で定義することもでき、 ^{[16]基本的には}フーリエ変換を通じて定義できる。

${\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.}$

（例えば、^[7]ガウス分布は双曲的に合成される：

${\displaystyle \exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b}(x^{2}+p^{2}){\big )}={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left(-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}(x^{2}+p^{2})\right),}$

または

${\displaystyle \delta (x)\star \delta (p)={\frac {2}{h}}\exp \left(2i{\frac {xp}{\hbar }}\right),}$

等。）

エネルギー固有状態分布は、スターゲン状態、★ -ゲン状態、スターゲン関数、または★ -ゲン関数として知られており、関連するエネルギーはスターゲン値または★ -ゲン値として知られています。これらは、時間に依存しないシュレーディンガー方程式と同様に、 ★ -ゲン値方程式によって解かれます。 ^{[17] [18]}

${\displaystyle H\star W=E\cdot W,}$

ここで、Hはハミルトニアン、つまり単純な位相空間関数であり、ほとんどの場合、古典的なハミルトニアンと同一です。

位相空間分布の時間発展は、リウヴィル流の量子修正によって与えられる。[ 2 ] ^{[ 9] [19]} この式は、量子リウヴィル方程式の密度行列バージョンであるフォンノイマン方程式にウィグナー変換を適用することによって得られる。

位相空間分布とそれに関連する星積の任意の表現では、これは

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),}$

あるいは、特にウィグナー関数の場合、

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}$

ここで{{ , }}はモヤル括弧、量子交換子のウィグナー変換であり、{ , }は古典的なポアソン括弧である。^[2]

これは対応原理の簡潔な例証となります。この方程式は、 ħ → 0の極限で明らかに古典的なリウヴィル方程式に簡約されます。 しかし、フローの量子拡張では、位相空間内の点の密度は保存されません。確率流体は「拡散」し、圧縮可能であるように見えます。^[2] そのため、量子軌道の概念はここでは微妙な問題です。^[20] 量子位相フローの非局所性を理解するには、以下のモースポテンシャルの動画を参照してください。

注：不確定性原理によって局在に課せられる制約を考慮して、ニールス・ボーアは微視的スケールでのそのような軌道の物理的存在を強く否定した。形式的な位相空間軌道を用いることで、経路積分法^[21]と量子特性法^[22]を用いてウィグナー関数の時間発展問題を厳密に解くことができるが、どちらの場合も厳しい実用上の障害がある。

ウィグナー・ワイル表現における1次元空間上の単純調和振動子のハミルトニアンは

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.}$

静的ウィグナー関数の★ -genvalue方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)^{2}\right)W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{x}^{2}\right)\right)W\\&\quad {}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}}$

まず、 ★ -genvalue方程式 の虚数部を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot W=0}$

これは、 ★生成状態を単一の引数の関数として 記述できることを意味します。

${\displaystyle W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).}$

この変数変換により、 ★ -genvalue方程式の実部を修正ラゲール方程式（エルミート方程式ではない！）の形で記述することが可能となり、その解はラゲール多項式^[18]で表すことができる。

${\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega },}$

Groenewold ^[1]によって導入され、関連する★ -genvalues

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$

調和振動子の場合、任意のウィグナー分布の時間発展は単純である。初期W ( x ,  p ;  t = 0) = F ( u )は、位相空間で単純に剛体回転することによって与えられた振動子ハミルトニアンによって駆動される上記の発展方程式によって発展する。^[1]

${\displaystyle W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0).}$

通常、エネルギーE ≫ ħωの「隆起」（またはコヒーレント状態）は、マクロな量を表し、位相空間で均一に回転する古典的な物体、単純な機械的振動子のように見えます（アニメーション図を参照）。このような物体のすべての位相（開始位置はt = 0）にわたって積分すると、連続した「柵」が、上記の静的★生成状態F ( u ) に似た時間に依存しない構成を生み出します。これは、大規模作用システムの古典的な極限の直感的な視覚化です。 ^[6]

固有関数は、回転対称（つまり時間不変）の純粋状態であるという特徴も持ちます。つまり、 を満たす形式の関数です。 ${\displaystyle W(x,p)=f({\sqrt {x^{2}+p^{2}}})}$${\displaystyle W\star W=(2\pi \hbar )^{-1}W}$

粒子が最初は最小不確実性ガウス状態にあり、位置と運動量の期待値は両方とも位相空間の原点を中心としていると仮定する。このような自由伝播状態のウィグナー関数は

${\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}$

ここで、αはガウス分布の初期幅を表すパラメータであり、τ = m / α ² ħです。

最初は、位置と運動量に相関はありません。したがって、3 次元では、位置ベクトルと運動量ベクトルが互いに垂直になる可能性は、平行になる可能性の 2 倍になると予想されます。

しかし、位置と運動量は状態が進化するにつれてますます相関するようになる。なぜなら、分布の原点から離れた位置の部分に到達するにはより大きな運動量が必要となるからである。漸近的に、

${\displaystyle W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.}$

(この相対的な「圧縮」は、座標空間における自由波束の広がりを反映しています。)

実際、粒子の運動エネルギーは漸近的に半径方向のみに向くことが示されており、これは標準的な量子力学の概念である基底状態の非ゼロ角運動量が方向独立性を示すことと一致している。^[24]

${\displaystyle K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)}$

${\displaystyle K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.}$

モースポテンシャルは、二原子分子の振動構造を近似するために使用されます。

トンネル効果は、量子粒子が上空を飛ぶのに十分なエネルギーを持たないにもかかわらず、障壁を通過するという特徴的な量子効果です。この効果は古典力学には存在しません。