対称対数微分との関係 量子フィッシャー情報は、期待値に等しい。L ϱ 2 {\displaystyle L_{\varrho }^{2}} L ϱ {\displaystyle L_{\varrho }} は対称対数微分 です。
同等の表現 ユニタリ符号化操作の場合ϱ （ θ ） = exp （ − 私 A θ ） ϱ 0 exp （ + 私 A θ ） 、 {\displaystyle \varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{0}\exp(+iA\theta ),} [ 8 ]
F Q [ ϱ 、 A ] = − 2 ∫ 0 ∞ tr （ exp （ − ρ 0 t ） [ ϱ 0 、 A ] exp （ − ρ 0 t ） [ ϱ 0 、 A ] ） d t 、 {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=-2\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}\left(\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\right)\ dt,} どこ[ 、 ] {\displaystyle [\ ,\ ]} クロネッカー積 とベクトル化の 観点からも表現できます。[ 9 ]
F Q [ ϱ 、 A ] = 2 ベクター （ [ ϱ 0 、 A ] ） † （ ρ 0 * ⊗ 私 + 私 ⊗ ρ 0 ） − 1 ベクター （ [ ϱ 0 、 A ] ） 、 {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\,{\text{vec}}([\varrho _{0},A])^{\dagger }{\big (}\rho _{0}^{*}\otimes {\rm {I}}+{\rm {I}}\otimes \rho _{0}{\big )}^{-1}{\text{vec}}([\varrho _{0},A]),} どこ* {\displaystyle ^{*}} は複素共役 を表し、† \displaystyle ^{\dagger }} は共役転置 を表します。この式は可逆密度行列に対して成り立ちます。非可逆密度行列の場合、上記の逆行列はムーア・ペンローズ擬似逆行列 に置き換えられます。あるいは、可逆状態の量子フィッシャー情報を計算することもできます。ρ ν = （ 1 − ν ） ρ 0 + ν π {\displaystyle \rho _{\nu }=(1-\nu )\rho _{0}+\nu \pi } π {\displaystyle \pi } 密度行列 であり、次に極限を実行する。ν → 0 + {\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}} ρ 0 \displaystyle \rho _{0}} π {\displaystyle \pi } 私 d e n t 私 t y / 薄暗い H {\displaystyle {\rm {Identity}}/\dim {\mathcal {H}}}
ブール計量および量子忠実度との一般化と関係 密度行列の任意の微分可能なパラメータ化に対してϱ （ θ ） {\displaystyle \varrho ({\boldsymbol {\theta }})} θ = （ θ 1 、 … 、 θ n ） {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\dots ,\theta _{n})}
F Q 私 j [ ϱ （ θ ） ] = 2 ∑ k 、 l 再 （ ⟨ k | ∂ 私 ϱ | l ⟩ ⟨ l | ∂ j ϱ | k ⟩ ） λ k + λ l 、 {\displaystyle F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]=2\sum _{k,l}{\frac {\operatorname {Re} (\langle k\vert \partial _{i}\varrho \vert l\rangle \langle l\vert \partial _{j}\varrho \vert k\rangle )}{\lambda _{k}+\lambda _{l}}},} どこ∂ 私 \displaystyle \partial _{i}} 偏微分 を表す。θ 私 \displaystyle \theta _{i}} 再 {\displaystyle \operatorname {Re} } λ k \displaystyle \lambda _{k}} | k ⟩ {\displaystyle \vert k\rangle } θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}
この定義は、密度行列のランクが変化する特異点を除いて、Bures メトリック の 4 倍と同一です(それらは、λ k + λ l {\displaystyle \lambda _{k}+\lambda _{l}} （突然ゼロになる。）この関係を通じて、量子忠実度 とも結びついている。F （ ϱ 、 σ ） = （ t r [ ϱ σ ϱ ] ） 2 {\displaystyle F(\varrho ,\sigma )=\left(\mathrm {tr} \left[{\sqrt {{\sqrt {\varrho }}\sigma {\sqrt {\varrho }}}}\right]\right)^{2}} [ 10 ]
F （ ϱ θ 、 ϱ θ + d θ ） = 1 − 1 4 ∑ 私 、 j （ F Q 私 j [ ϱ （ θ ） ] + 2 ∑ λ k （ θ ） = 0 ∂ 私 ∂ j λ k ） d θ 私 d θ j + O （ d θ 3 ） 、 {\displaystyle F(\varrho _{\boldsymbol {\theta }},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}})=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}{\Big (}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]+2\!\!\sum _{\lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0}\!\!\partial _{i}\partial _{j}\lambda _{k}{\Big )}d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{3}),} 内なる総和がすべてを網羅するk {\displaystyle k} λ k （ θ ） = 0 {\displaystyle \lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0} [ 11 ]
F （ ϱ θ − d θ / 2 、 ϱ θ + d θ / 2 ） = 1 − 1 4 ∑ 私 、 j F Q 私 j [ ϱ （ θ ） ] d θ 私 d θ j + O （ d θ 3 ） 。 {\displaystyle F\left(\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}-d{\boldsymbol {\theta }}/2},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}/2}\right)=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{3}).} のためにn = 1 {\displaystyle n=1}
量子フィッシャー情報行列は、より広範な量子統計距離のファミリーの一部である。[ 12 ]
凸性特性 量子フィッシャー情報は、純粋状態の分散の4倍に等しい。
F Q [ | Ψ ⟩ 、 H ] = 4 （ Δ H ） Ψ 2 {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\vert \Psi \rangle ,H]=4(\Delta H)_{\Psi }^{2}} 混合状態の場合、確率がパラメータに依存しないとき、つまり、p （ θ ） = p {\displaystyle p(\theta )=p}
F Q [ p ϱ 1 （ θ ） + （ 1 − p ） ϱ 2 （ θ ） 、 H ] ≤ p F Q [ ϱ 1 （ θ ） 、 H ] + （ 1 − p ） F Q [ ϱ 2 （ θ ） 、 H ] 。 {\displaystyle F_{\rm {Q}}[p\varrho _{1}(\theta )+(1-p)\varrho _{2}(\theta ),H]\leq pF_{\rm {Q}}[\varrho _{1}(\theta ),H]+(1-p)F_{\rm {Q}}[\varrho _{2}(\theta ),H].} 量子フィッシャー情報は、凸関数であり、純粋状態の分散の 4 倍に等しい最大の関数です。つまり、分散の凸の屋根の 4 倍に等しくなります[ 14 ] [ 15 ] 。
F Q [ ϱ 、 H ] = 4 情報 { p k 、 | Ψ k ⟩ } ∑ k p k （ Δ H ） Ψ k 2 、 {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]=4\inf _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2},} ここで、下限値は密度行列のすべての分解についてである。
ϱ = ∑ k p k | Ψ k ⟩ ⟨ Ψ k | 。 {\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .} ご了承ください| Ψ k ⟩ {\displaystyle \vert \Psi _{k}\rangle } [ 16 ]
F Q [ ϱ 、 H ] = ミニ ϱ 12 2 T r [ （ H ⊗ 私 d e n t 私 t y − 私 d e n t 私 t y ⊗ H ） 2 ϱ 12 ] 、 {\displaystyle F_{Q}[\varrho ,H]=\min _{\varrho _{12}}2{\rm {Tr}}[(H\otimes {\rm {Identity}}-{\rm {Identity}}\otimes H)^{2}\varrho _{12}],} そのため ϱ 12 {\displaystyle \varrho _{12}} 分離可能状態 であり、
T r 1 （ ϱ 12 ） = T r 2 （ ϱ 12 ） = ϱ 。 {\displaystyle {\rm {Tr}}_{1}(\varrho _{12})={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})=\varrho .} 後に上記の記述は、一般的な（必ずしも対称ではない）分離可能状態に対する最小化の場合にも証明された。[ 17 ]
最大 ϱ 12 ∈ S e p （ ϱ ） ⟨ H ⊗ H ⟩ ϱ 12 = ⟨ H 2 ⟩ ϱ − 1 4 F Q [ ϱ 、 H ] 、 {\displaystyle \max _{\varrho _{12}\in {\rm {Sep}}(\varrho )}\langle H\otimes H\rangle _{\varrho _{12}}=\langle H^{2}\rangle _{\varrho }-{\frac {1}{4}}F_{Q}[\varrho ,H],} どこS e p （ ϱ ） {\displaystyle {\rm {Sep}}(\varrho )} ϱ {\displaystyle \varrho } H {\displaystyle H} スピン鎖 の分離可能な状態の最小値を与えることができる。 [ 18 ]
確率がθ {\displaystyle \theta } [ 19 ]
F Q [ ∑ 私 p 私 （ θ ） ϱ 私 （ θ ） ] ≤ ∑ 私 p 私 （ θ ） F Q [ ϱ 私 （ θ ） ] + F C [ { p 私 （ θ ） } ] 、 {\displaystyle F_{\rm {Q}}{\Big [}\sum _{i}p_{i}(\theta )\varrho _{i}(\theta ){\Big ]}\leq \sum _{i}p_{i}(\theta )F_{\rm {Q}}[\varrho _{i}(\theta )]+F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}],} どこF C [ { p 私 （ θ ） } ] = ∑ 私 ∂ θ p 私 （ θ ） 2 p 私 （ θ ） {\displaystyle F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}]=\sum _{i}{\frac {\partial _{\theta }p_{i}(\theta )^{2}}{p_{i}(\theta )}}}
複合システムの不等式 多粒子系の量子計測を研究するためには、複合系における量子フィッシャー情報の挙動を理解する必要がある。[ 20 ]
F Q [ ϱ 1 ⊗ ϱ 2 、 H 1 ⊗ 私 d e n t 私 t y + 私 d e n t 私 t y ⊗ H 2 ] = F Q [ ϱ 1 、 H 1 ] + F Q [ ϱ 2 、 H 2 ] {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{1}\otimes \varrho _{2},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}+{\rm {Identity}}\otimes H_{2}]=F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}]+F_{\rm {Q}}[\varrho _{2},H_{2}]} 保持する。
還元状態については、
F Q [ ϱ 12 、 H 1 ⊗ 私 d e n t 私 t y 2 ] ≥ F Q [ ϱ 1 、 H 1 ] 、 {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{12},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}_{2}]\geq F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}],} どこϱ 1 = T r 2 （ ϱ 12 ） {\displaystyle \varrho _{1}={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})}
量子もつれとの関係 量子計測学 と量子情報科学 の間には強い関連性がある。多粒子系の場合、N {\displaystyle N} [ 21 ]
F Q [ ϱ 、 J z ] ≤ N {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N} 分離可能な状態の場合、
J z = ∑ n = 1 N j z （ n ） 、 {\displaystyle J_{z}=\sum _{n=1}^{N}j_{z}^{(n)},} そしてj z （ n ） {\displaystyle j_{z}^{(n)}} 角運動量 成分である。一般的な量子状態の最大値は次式で与えられる。
F Q [ ϱ 、 J z ] ≤ N 2 。 {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N^{2}.} したがって、量子計測において最高の精度を達成するには量子もつれが必要である。さらに、 もつれ深さを持つ量子状態の場合 k {\displaystyle k}
F Q [ ϱ 、 J z ] ≤ s k 2 + r 2 {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq sk^{2}+r^{2}} 保持する、s = ⌊ N / k ⌋ {\displaystyle s=\lfloor N/k\rfloor } N / k , {\displaystyle N/k,} r = N − s k {\displaystyle r=N-sk} N {\displaystyle N} k {\displaystyle k} multipartite entanglement is needed to achieve a better and better accuracy in parameter estimation.[ 22] [ 23] [ 24]
F Q [ ϱ , J z ] ≤ N k . {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq Nk.} Hence, a lower bound on the entanglement depth is obtained as
F Q [ ϱ , J z ] N ≤ k . {\displaystyle {\frac {F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]}{N}}\leq k.} A related concept is the quantum metrological gain , which for a given Hamiltonian is defined as the ratio of the quantum Fisher information of a state and the maximum of the quantum Fisher information for the same Hamiltonian for separable states
g H ( ϱ ) = F Q [ ϱ , H ] F Q ( s e p ) ( H ) , {\displaystyle g_{\mathcal {H}}(\varrho )={\frac {{\mathcal {F}}_{Q}[\varrho ,{\mathcal {H}}]}{{\mathcal {F}}_{Q}^{({\rm {sep}})}({\mathcal {H}})}},}
where the Hamiltonian is
H = h 1 + h 2 + . . . + h N , {\displaystyle {\mathcal {H}}=h_{1}+h_{2}+...+h_{N},}
and h n {\displaystyle h_{n}} nth spin. The metrological gain is defined by an optimization over all local Hamiltonians as
g ( ϱ ) = max H g H ( ϱ ) . {\displaystyle g(\varrho )=\max _{\mathcal {H}}g_{\mathcal {H}}(\varrho ).}
The error propagation formula gives a lower bound on the quantum Fisher information
F Q [ ϱ , H ] ≥ ⟨ i [ H , M ] ⟩ ϱ 2 ( Δ M ) 2 {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq {\frac {\langle i[H,M]\rangle _{\varrho }^{2}}{(\Delta M)^{2}}}} where M {\displaystyle M} [ 25] M {\displaystyle M} [ 26]
For the case of unitary dynamics, the quantum Fisher information is the convex roof of the variance. Based on that, one can obtain lower bounds on it, based on some given operator expectation values using semidefinite programming . The approach considers an optimization of the two-copy space.[ 27]
There are numerical methods that provide an optimal lower bound for the quantum Fisher information based on the expectation values for some operators, using the theory of Legendre transforms and not semidefinite programming.[ 28] N {\displaystyle N} Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) state
F Q [ ϱ , J z ] N 2 ≥ ( 1 − 2 F G H Z ) 2 , {\displaystyle {\frac {F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]}{N^{2}}}\geq (1-2F_{\rm {GHZ}})^{2},} where for the fidelity with respect to the GHZ state
F G H Z = T r ( ϱ | G H Z ⟩ ⟨ G H Z | ) ≥ 1 / 2 {\displaystyle F_{\rm {GHZ}}={\rm {Tr}}(\varrho |{\rm {GHZ}}\rangle \langle {\rm {GHZ}}|)\geq 1/2} holds, otherwise the optimal lower bound is zero.
So far, we discussed bounding the quantum Fisher information for a unitary dynamics. It is also possible to bound the quantum Fisher information for the more general, non-unitary dynamics.[ 29]
For systems in thermal equibirum, the quantum Fisher information can be obtained from the dynamic susceptibility.[ 30]
ウィグナー・ヤナセ歪度情報は[ 31 ]と定義される。
私 （ ϱ 、 H ） = T r （ H 2 ϱ ） − T r （ H ϱ H ϱ ） 。 {\displaystyle I(\varrho ,H)={\rm {Tr}}(H^{2}\varrho )-{\rm {Tr}}(H{\sqrt {\varrho }}H{\sqrt {\varrho }}).} したがって、私 （ ϱ 、 H ） {\displaystyle I(\varrho ,H)} ϱ 。 {\displaystyle \varrho .}
量子フィッシャー情報とウィグナー・ヤナセ歪情報の場合、不等式
F Q [ ϱ 、 H ] ≥ 4 私 （ ϱ 、 H ） {\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq 4I(\varrho ,H)} 純粋状態においては等号が成り立つ。
分散との関係 密度行列の任意の分解についてp k {\displaystyle p_{k}} | Ψ k ⟩ {\displaystyle \vert \Psi _{k}\rangle } [ 14 ]
（ Δ H ） 2 ≥ ∑ k p k （ Δ H ） Ψ k 2 ≥ 1 4 F Q [ ϱ 、 H ] {\displaystyle (\Delta H)^{2}\geq \sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}\geq {\frac {1}{4}}F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]} 両方の不等式がタイトである場合、次の不等式が成り立ちます。つまり、2 番目の不等式が飽和する分解が存在し、これは、量子フィッシャー情報が、上で議論した 4 を超える分散の凸屋根であると言うことと同じです。また、1 番目の不等式が飽和する分解も存在し、これは分散がそれ自身の凹屋根であることを意味します[ 14 ] 。
（ Δ H ） 2 = すする { p k 、 | Ψ k ⟩ } ∑ k p k （ Δ H ） Ψ k 2 。 {\displaystyle (\Delta H)^{2}=\sup _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}.}
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![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69f7312fc239501ff1042cedcacc8fdc1fb4cc6)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\sum _{k,l}{\frac {(\lambda _{k}-\lambda _{l})^{2}}{(\lambda _{k}+\lambda _{l})}}\vert \langle k\vert A\vert l\rangle \vert ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a117ee651c3e437ed9fdfbf0a98f6fc06621bc0b)
![{\displaystyle (\Delta \theta )^{2}\geq {\frac {1}{mF_{\rm {Q}}[\varrho ,A]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd58500b34e942cd182fefcb625b78291d0b888)
![{\displaystyle F[B,\theta ]=\sum _{b}{\frac {1}{p(b|\theta )}}\left({\frac {\partial p(b|\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6f68a37963b7d2af55f8d3a22ba4d3c2f51ccf)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=\sup _{B}F[B,\theta ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df0fd1c78000d8b852feeaed216e0d5ea570aa9)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=-2\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}\left(\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\right)\ dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead8f322f7f9281a785504720bbb07e67e64dfff)
![{\displaystyle [\ ,\ ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7717dae012f042ad66888075df87a1ebac4392a)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\,{\text{vec}}([\varrho _{0},A])^{\dagger }{\big (}\rho _{0}^{*}\otimes {\rm {I}}+{\rm {I}}\otimes \rho _{0}{\big )}^{-1}{\text{vec}}([\varrho _{0},A]),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c46ae778cbfa473d01c01af41af8fcbecc6fc6)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]=2\sum _{k,l}{\frac {\operatorname {Re} (\langle k\vert \partial _{i}\varrho \vert l\rangle \langle l\vert \partial _{j}\varrho \vert k\rangle )}{\lambda _{k}+\lambda _{l}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b2c230d0b450912d6b2900b2144418533ce384)
![{\displaystyle F(\varrho ,\sigma )=\left(\mathrm {tr} \left[{\sqrt {{\sqrt {\varrho }}\sigma {\sqrt {\varrho }}}}\right]\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a6d14cccafcafef64dc944680c5f38ff27c83f)
![{\displaystyle F(\varrho _{\boldsymbol {\theta }},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}})=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}{\Big (}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]+2\!\!\sum _{\lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0}\!\!\partial _{i}\partial _{j}\lambda _{k}{\Big )}d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28f7a74a7ee2300153dc82cce232fb4a004a62a)
![{\displaystyle F\left(\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}-d{\boldsymbol {\theta }}/2},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}/2}\right)=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{3}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b485f29d32bfcd7d8878488dfe972cd02d0bb470)
![${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\vert \Psi \rangle ,H]=4(\Delta H)_{\Psi }^{2}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473a5b67920a57a59cde5d7a40f5abfb3cb01525)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[p\varrho _{1}(\theta )+(1-p)\varrho _{2}(\theta ),H]\leq pF_{\rm {Q}}[\varrho _{1}(\theta ),H]+(1-p)F_{\rm {Q}}[\varrho _{2}(\theta ),H].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4d7950ed81f5e17bf9462bc9ed94d0ff72e0c0)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]=4\inf _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a77a0ac571c7e07abd81bc725e0953560433640)
![{\displaystyle F_{Q}[\varrho ,H]=\min _{\varrho _{12}}2{\rm {Tr}}[(H\otimes {\rm {Identity}}-{\rm {Identity}}\otimes H)^{2}\varrho _{12}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f4cbffae22735796e314009fffd6508c11cc77)
![{\displaystyle \max _{\varrho _{12}\in {\rm {Sep}}(\varrho )}\langle H\otimes H\rangle _{\varrho _{12}}=\langle H^{2}\rangle _{\varrho }-{\frac {1}{4}}F_{Q}[\varrho ,H],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f62644ef1771b7000919dcd939b5b12d77cb5ec)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}{\Big [}\sum _{i}p_{i}(\theta )\varrho _{i}(\theta ){\Big ]}\leq \sum _{i}p_{i}(\theta )F_{\rm {Q}}[\varrho _{i}(\theta )]+F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928ddc9511517827bc12117917d34daf0b953ef1)
![{\displaystyle F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}]=\sum _{i}{\frac {\partial _{\theta }p_{i}(\theta )^{2}}{p_{i}(\theta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300509e0b2911ade396b93e7893bdfabb2645454)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{1}\otimes \varrho _{2},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}+{\rm {Identity}}\otimes H_{2}]=F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}]+F_{\rm {Q}}[\varrho _{2},H_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d65e4c1e675d863fdd4d04c9a5518bc2cb79cc0)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{12},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}_{2}]\geq F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da537cc5f481cafc94830896be697f9f9ffeb648)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58554f599bb336c8f08f010396933e13524fcf4)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebecec8c52e04e6338aa5037f5c0d138edba0b21)
![\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq sk^{2}+r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1906ae1418cbb5d12e230ad27d3ffd49c18104ad)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq Nk.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e6e9d784defb8613400b42548018eaf224787e)
![{\displaystyle {\frac {F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]}{N}}\leq k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe70e3d1b065989620f6529ee4d6a9714a7db0f)
![{\displaystyle g_{\mathcal {H}}(\varrho )={\frac {{\mathcal {F}}_{Q}[\varrho ,{\mathcal {H}}]}{{\mathcal {F}}_{Q}^{({\rm {sep}})}({\mathcal {H}})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0a52b5451d3a9b761f2c85693111df851f259a)
![{\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq {\frac {\langle i[H,M]\rangle _{\varrho }^{2}}{(\Delta M)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adc41b358958c546c8baae727a6af388aa05262)
![{\displaystyle {\frac {F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]}{N^{2}}}\geq (1-2F_{\rm {GHZ}})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a4dc031271dd4ece048fc5287caa6d783165c4)
![\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq 4I(\varrho ,H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f393178cd0e4d8619fdee6f31af334259dec83a9)
![{\displaystyle (\Delta H)^{2}\geq \sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}\geq {\frac {1}{4}}F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdcb539fe370f41589ff302c4711943cd436132)
![{\displaystyle (\Delta A)^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe334085ae12ff34e503becec984704398228fe)
![{\displaystyle (\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y})^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc30d32d9cadf18ab3a33e7ca95914982058a16c)