標準座標

数学と古典力学において、正準座標は位相空間上の座標の集合であり、任意の時点における物理システムを記述するために使用できます。正準座標は古典力学のハミルトン定式化で使用されます。密接に関連する概念は量子力学にも登場します。詳細については、ストーン-フォン・ノイマンの定理と正準交換関係を参照してください。

ハミルトン力学がシンプレクティック幾何学によって一般化され、正準変換が接触変換によって一般化されるように、古典力学における正準座標の 19 世紀の定義は、多様体の余接束上の座標 (位相空間の数学的概念) のより抽象的な 20 世紀の定義に一般化される可能性があります。

古典力学では、正準座標はハミルトン形式で使用される位相空間の座標および座標です。正準座標は、基本的なポアソン括弧関係を満たします。 ${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}}$

標準座標の典型的な例は、 が通常の直交座標であり、 が運動量の成分である場合です。したがって、一般に、座標は「共役運動量」と呼ばれます。 ${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

正準座標は、ラグランジアン形式の一般化座標からルジャンドル変換によって得ることができます。また、別の正準座標セットから正準変換によって得ることもできます。

標準座標は、多様体の余接バンドル上の特別な座標セットとして定義されます。これらは通常、またはのセットとして記述され、xまたはqは基礎となる多様体上の座標を示し、pは共役運動量を示します。これらは、多様体の 点qにおける余接バンドルの1 形式です。${\displaystyle \left(q^{i},p_{j}\right)}$${\displaystyle \left(x^{i},p_{j}\right)}$

標準座標の一般的な定義は、標準一形式が次の形式で記述 できる余接束上の座標の集合である。

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

全微分まで。この形式を保存する座標変換は標準変換です。これらはシンプレクティック多様体上の座標変換であるシンプレクティック同型写像の特殊なケースです。

以下の説明では、多様体は実多様体であり、接ベクトルに作用する余接ベクトルは実数を生成すると仮定します。

多様体Qが与えられたとき、Q上のベクトル場 X（接束TQの切断）は、接空間と余接空間の双対性により、余接束に作用する関数として考えることができる。つまり、関数を定義する。

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

そのような

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

は、内のすべての余接ベクトルpに対して成り立ちます。ここで、 は、点qにおける多様体Qの接空間内のベクトルです。関数は、Xに対応する運動量関数と呼ばれます。 ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$${\displaystyle X_{q}}$${\displaystyle T_{q}Q}$${\displaystyle P_{X}}$

局所座標では、点qにおけるベクトル場Xは次のように表される。

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

ここで、 はTQ上の座標系である。共役運動量は次の式で表される。 ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

ここで、はベクトルに対応する運動量関数として定義されます。 ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

はと一緒になって余接束上の座標系を形成します。これらの座標は標準座標と呼ばれます。 ${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle T^{*}Q}$

ラグランジアン力学では、一般化座標と呼ばれる別の座標セットが使用されます。これらは通常、一般化位置および一般化速度と呼ばれるとともにとして表されます。ハミルトニアンが余接束上で定義されると、一般化座標はハミルトン・ヤコビ方程式によって標準座標に関連付けられます。 ${\displaystyle \left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)}$${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

• ゴールドスタイン、ハーバート、プール、チャールズ P. Jr.、サフコ、ジョン L. (2002)。古典力学 (第 3 版)。サンフランシスコ: アディソン ウェスレー。pp. 347–349。ISBN 0-201-65702-3。
• Ralph AbrahamとJerrold E. Marsden、『Foundations of Mechanics』(1978) Benjamin-Cummings、ロンドンISBN 0-8053-0102-Xセクション3.2を参照してください。