ウムドイトゥングペーパー

ハイゼンベルクの論文が新しい量子論を形成する上で重要な側面の一つは、電子の位置や周期といった観測不可能な量を使用せず、遷移確率やスペクトル周波数といった観測可能なパラメータのみを使用するという意図的な選択であった。^{[ 17 ] [ 19 ]} これは古典力学から離れるというハイゼンベルクの論文の革新の一つと見なされてきたが、^{[ 20 ]}量子系は古典極限において古典系のように振る舞うという対応原理をハイゼンベルクの議論の主要な推進力と見なす者もいる。 ^{[ 21 ] [ 22 ]}ウムドイトゥング論文の発表の1か月前にラルフ・クローニヒに宛てた彼の手紙は、論文とほぼ同じ構成になっているが、観測可能な量への哲学的焦点よりもフーリエ係数の対応関係を強調している。^{[ 23 ]}

古典的には、定常状態における電子の軌道は${\displaystyle n}$ある特性周波数のフーリエ級数として表現できる$\omega (n)$$${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}_{\alpha }(n)e^{i\alpha \omega (n)t},}$$どこ${\vec {X}}_{-\alpha }(n)={\vec {X}}_{\alpha }^{*}(n)$確実にするために$x$実数値である（${\vec {X}}^{*}$は、​${\vec {X}}$) ^{[ 24 ]}

ハイゼンベルクはこの方程式を量子状態からのジャンプという観点から再解釈した。${\displaystyle n}$他のすべての州へ${\displaystyle n-\alpha }$^{[ 25 ] [ 26 ]}

どこ${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$は放出/吸収される光の周波数を表し、${\displaystyle {\vec {X}}(n,n-\alpha )}$これは、ジャンプからの光の強度を表し、遷移の確率に関係する。

ハイゼンベルクは次のように述べている。${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$ボーアモデル計算を使用すると、$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )={\frac {1}{\hbar }}[W(n)-W(n-\alpha )]}$$どこ${\displaystyle W(n)}$は、特定の定常状態のエネルギーである。${\displaystyle n}$[ ^{27 ]​}

ハイゼンベルクのフーリエ再解釈の正当性は、軌道周波数の古典的表現と量子的表現を比較することで確認できる。古典的には、作用角変数を用いると、次のことがわかる。$${\displaystyle \alpha \omega =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {E(J+\alpha \epsilon )-E(J)}{\epsilon }},\quad \alpha \in \mathbb {Z} }$$として${\displaystyle dE/dJ=\omega }$対照的に、ボーアモデルでは、$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )={\frac {E(n\hbar )-E((n-\alpha )\hbar )}{\hbar }},\quad (E(J)=E(n\hbar )).}$$ 対応原理を用いる$${\displaystyle \omega ={\frac {dE}{dJ}}\to {\frac {\Delta E}{\Delta J}}}$$見つけることができる$${\displaystyle (n-(n-\alpha ))\omega =\alpha \omega (n)\approx {\frac {E(n\hbar )-E((n-\alpha )\hbar )}{\hbar }}=\omega (n,n-\alpha ),\quad |\alpha -n|\ll \alpha .}$$使用${\displaystyle J=n\hbar }$古い量子論から。^{[ 28 ]}この対応関係は${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$そして${\displaystyle \alpha \omega (n)}$また、強度間の対応関係も示唆している。${\displaystyle {\vec {X}}(n,n-\alpha )}$そして${\displaystyle {\vec {X}}_{\alpha }(n)}$接続において$${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}_{\alpha }(n)e^{i\alpha \omega (n)t}\longleftrightarrow x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}(n,n-\alpha )e^{i\omega (n,n-\alpha )t}.}$$

このフーリエの再解釈は、ハイゼンベルクの見解においても正当化され、ボーアモデルが予測した周期運動をする電子は、単一の固有放射周波数を持たないことになる。${\displaystyle \omega (n)}$電子の周期運動の周波数に対応して、定常状態${\displaystyle n}$それはこれまで実験的に測定されたことがなかった。ハイゼンベルクの再解釈によれば、電子の運動は実験的に観測されたスペクトル周波数のみを持つことになる。${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$電子軌道は周期運動の構成要素として扱われた。しかし、ハイゼンベルクは、この論文の発表によって電子軌道は物理的に意味のあるものとして放棄されたと指摘している。^{[ 29 ]}

ハイゼンベルクは、量子論における周波数の振る舞いの基本的な部分としてリュードベリ・リッツ結合原理を用いている。$${\displaystyle \omega (n,\alpha )+\omega (n,\beta )=\omega (n,\alpha +\beta ),}$$古典的には${\textstyle \omega (n,\alpha )=\alpha \omega (n)}$ハイゼンベルクはリッツ結合原理を書き出した。$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta )=\omega (n,n-\beta ).}$$[ ^{30 ]​}

従来、2つの位置フーリエ級数を掛け合わせると、新しいフーリエ級数が得られます。$${\displaystyle \sum _{\tau }a_{\tau }e^{i\omega \tau t}\times \sum _{\tau }b_{\tau }e^{i\omega \tau t}=\sum _{\tau }c_{\tau }e^{i\omega \tau t}}$$どこ$${\displaystyle c_{\tau }=\sum _{\tau '+\tau ''=\tau }a_{\tau '}b_{\tau ''}.}$$^{[ 31 ]}

ハイゼンベルクはこの古典的な事例から、2つの量子級数を掛け合わせると、同じ形の別の量子級数が得られるはずだと類推した。言い換えれば、ハイゼンベルクは、量子級数が次のように書ける場合、$${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}(n,n-\alpha )e^{i\omega (n,n-\alpha )t},}$$それから $${\displaystyle x^{2}=\sum _{\beta =-\infty }^{\infty }{\vec {B}}(n,n-\beta )e^{i\omega (n,n-\beta )t}.}$$

通常の乗算​​では新しい量子数列を形成することはできないが、ハイゼンベルクは乗算を意図的に再解釈し、新しい量子乗算規則に従うものとした。$${\displaystyle {\vec {B}}(n,n-\beta )=\sum _{\alpha }{\vec {X}}(n,n-\alpha )\times {\vec {X}}(n-\alpha ,n-\beta ).}$$^{[ 1 ] : 223–224 [ 23 ]}

これは$${\displaystyle e^{i\omega (n,n-\alpha )t}\times e^{i\omega (n-\alpha ,n-\beta )t}=e^{it(\omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta ))}=e^{it\omega (n,n-\beta )}}$$以前のリュードベリ・リッツ結合規則を使用する${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta )=\omega (n,n-\beta )}$すべての周波数${\displaystyle \omega (n,n-\beta )}$新シリーズについては正しい。^{[ 22 ]}

以前の乗算のケースから一般化すると、${\displaystyle x^{2}}$ハイゼンベルクは、強度の古典的な計算の量子力学的類似物である、新しい非可換乗法規則を書き出した。^{[ 17 ] : 266 [ 32 ] : 5 [ 25 ]}

無限の系列が存在する可能性がある${\displaystyle {\vec {A}}}$用語とその対応${\displaystyle {\vec {B}}}$用語。これらの乗算のそれぞれには、電子のエネルギー状態間の連続的な下降遷移に関連する2つの測定値が因子として含まれています。この種の規則は、行列力学を日常生活で馴染みのある物理学と区別するものです。なぜなら、重要な値は、電子がどのエネルギー状態または「軌道」で始まり、どのエネルギー状態で終わるかであり、電子が一方の状態または他方の状態にある間に何をしているかではないからです。

もし${\displaystyle {\vec {A}}}$そして${\displaystyle {\vec {B}}}$どちらも量子遷移の振幅のリストを参照しており、例えば計算は次のように進められます。

状態からエネルギーへの変化の周波数を掛け合わせる${\textstyle n}$述べる${\textstyle n-a}$状態から状態へのエネルギー変化の周波数によって${\textstyle n-a}$述べる${\textstyle n-b}$それに、状態からのエネルギー変化の周波数を掛けて得られる積を加える。${\textstyle n-a}$述べる${\textstyle n-b}$状態から状態へのエネルギー変化の周波数によって${\textstyle n-b}$述べる${\textstyle n-c}$などなど。つまり、象徴的に言えば：

${\displaystyle f(n,n-a)f(n-a,n-b)+f(n-a,n-b)f(n-b,n-c)+\cdots }$

（使用されている慣例によれば、${\textstyle n-a}$より高いエネルギー状態を表す${\textstyle n}$なので、${\textstyle n}$に${\textstyle n-a}$これは、電子が入射光子からエネルギーを受け取り、より高い軌道に上昇したことを示し、一方、${\textstyle n-a}$に${\textstyle n}$これは、電子がより低い軌道に落下し、光子を放出する様子を表す。）

ハイゼンベルクはもともと、同じ種類の2つの測定値（振幅）を掛け合わせるためにこの方程式を考案したので、掛け合わせる順序は関係ありませんでした。しかし、ハイゼンベルクは、同じスキームを使って運動量などの2つの変数を掛け合わせようとすると、${\textstyle p}$、変位、${\textstyle q}$すると「重大な困難が生じる」^{[ 17 ]： 266}行列を乗算すると、${\textstyle p}$マトリックスによって${\textstyle q}$行列を乗算するのとは異なる結果になります${\textstyle q}$マトリックスによって${\textstyle p}$違いは${\textstyle i\hbar }$どこ${\textstyle \hbar }$は換算プランク定数です。

ハイゼンベルクはまた、古い量子論では、観測可能な量はニュートンの第二法則から解かれると指摘している。$${\displaystyle {\ddot {x}}+f(x)=0}$$ そして ウィルソン・ゾンマーフェルト量子化規則$${\displaystyle \oint p\,dq=\oint m{\dot {x}}\,dx=\oint m{\dot {x}}^{2}\,dt=J=nh,}$$どこ${\displaystyle f(x)}$は単位質量あたりの力関数であり、ハイゼンベルクは、新しいフーリエの再解釈により、${\displaystyle x}$同じニュートン方程式を使用して、観測可能な量を解くことができます。^{[ 22 ]}

これらの古典的な方程式が量子力学でも引き続き使用される可能性があるという考えは、ハイゼンベルクの論文の最も重要なアイデアの1つと見なされてきた。^{[ 33 ]}

ハイゼンベルクは、測定可能な強度と周波数のみに依存する力学理論の正当化の一環として、分散の研究から発見されたトーマス・ライヒ・クーンの和則を導き出しました^{[ 27 ]。}

のために${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }a(n,n-\alpha )e^{i\omega (n,n-\alpha )t}}$[ ^{22 ]​}

ハイゼンベルクはさらに、次のように記述される非調和振動子のエネルギー準位を研究した。${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0}$概念的に単純な調和振動子では彼の新しい乗法規則は必要なかっただろうから。^{[ 34 ]}一方、古典的な考察では、${\displaystyle E_{n}=n\hbar \omega _{0}}$しかし、彼の論文で展開された理論を用いた量子的な考察では、次数まで${\displaystyle \lambda ^{2}}$彼は、$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{0}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$$わずか6か月前にロバート・S・マリケンが分光実験からすでに推測していた零点エネルギーの存在を説明する。 ^{[ 35 ] [ 36 ]： 149} 依存性の欠如${\displaystyle \lambda }$調和振動子のエネルギー準位に使用できる方程式を記述しました（${\displaystyle \lambda =0}$ハイゼンベルクは、この方程式を角周波数で回転する電子にも拡張した。${\displaystyle \omega }$原子核の周りを慣性モーメントで${\displaystyle I=ma^{2}}$^{[ 34 ]}を見つける$${\displaystyle \omega _{n,n-1}={\frac {h}{2\pi ma^{2}}}n}$$そしてエネルギーのために${\displaystyle W}$$${\displaystyle W={\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}ma^{2}}}\left(n^{2}+n+{\frac {1}{2}}\right)}$$これは、半整数量子数を導入したアドルフ・クラッツァーによるシアン化物スペクトルバンドの実験的観察と一致している。 ^{[ 24 ]}

さらに、ハイゼンベルクは、エネルギー保存則が自身の理論によって裏付けられていることを示した。^{[ 37 ]}

当時、人々が水素放射線について最も理解したかったことは、そのスペクトルにおける線の強度をどのように予測または説明するかということだった。ハイゼンベルク自身は当時知らなかったが、彼が考案した量子論的計算の新しい手法を表現するための一般的な形式は、2つの行列とその乗算方法の手順として役立つ可能性がある。^{[ 17 ]： Ch 12}

Umdeutungの論文には行列については言及されていません。ハイゼンベルクの偉大な進歩は、「水素放射の関連する物理的性質（遷移周波数と振幅）を原理的に一意に決定できるスキーム」^{[ 32 ] : 2}でした。

ハイゼンベルクは「Umdeutung」論文を書き終えると、必要な修正を上級同僚に依頼し、休暇に出かけた。マックス・ボルンは、ハイゼンベルクが厄介で困惑させられた方程式と非可換方程式について頭を悩ませていた。数日後、彼はこれらの方程式が行列を書き出すための指示に等しいことに気づいた。^{[ 38 ]}

…例を考察することで…[ハイゼンベルク]はこの規則を発見した…これは1925年の夏のことだった。ハイゼンベルクは休暇を取り…論文を私に渡して出版を依頼した…ハイゼンベルクの乗法規則は私を納得させず、1週間の集中的な思考と試行錯誤の後、私は突然ある代数理論を思い出した…。このような二次配列は数学者にはよく知られており、明確な乗法規則と結びついて行列と呼ばれている。私はこの規則をハイゼンベルクの量子条件に適用し、対角要素については一致することを発見した。残りの要素が何であるかは容易に推測できた。すなわち、零である。そして、すぐに奇妙な公式が私の目の前に現れた。$${\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}}$$

この方程式は正準交換関係と呼ばれ、記号は${\displaystyle Q}$は変位の行列です。${\displaystyle P}$は運動量行列、iはマイナス 1 の平方根、hはプランク定数です。^{[ 39 ] [ 32 ]： A}

ボーンはこの方程式を$${\displaystyle Q_{nn'}=a(n,n')e^{i\omega (n,n')t}}$$$${\displaystyle P_{nn'}=m{\frac {dQ_{nn'}}{dt}}=im\omega (n,n')a(n,n')e^{i\omega (n,n')t},}$$これにより、彼はハイゼンベルクの複雑な量子化条件を単純化することができた^{[ 40 ]}$${\displaystyle h=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }\{|a(n,n+\alpha )|^{2}\omega (n,n+\alpha )-|a(n,n-\alpha )|^{2}\omega (n,n-\alpha )\}}$$$${\displaystyle \implies h=2\pi i\sum _{n'=-\infty }^{\infty }(P_{nn'}Q_{n'n}-Q_{nn'}P_{n'n})}$$$${\displaystyle \implies {\frac {h}{2\pi i}}=\sum _{n'=-\infty }^{\infty }(P_{nn'}Q_{n'n}-Q_{nn'}P_{n'n}),}$$そこで彼は、${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$行列乗算を克服した。^{[ 15 ]}

ボーンは論文を読んだとき、その定式化が行列の体系的な言語に転写および拡張できるものであると認識した。ボーンは助手であり元教え子のパスカル・ジョーダンの助けを借りて、すぐに純粋な行列代数と拡張への転写を開始し、その結果を出版のために提出した。彼らの原稿はハイゼンベルクの論文からわずか60日後に出版のために受理された。^{[ 6 ]} 3人の著者全員による、理論を多次元に拡張した続編論文が年末までに出版のために提出された。^{[ 7 ]}

1925年8月に校正刷りを受け取ったポール・ディラックは、非可換法則が十分に展開されていないことに気づき、同じ結果をより論理的な形で表現する代数式を考案した。^{[ 41 ]}彼の洞察は、量子力学の発展における新たな生産的な方向性につながった。^{[ 42 ]}

1926年にベルリン大学で行われた自身の新しい量子力学に関する会議で、ハイゼンベルクは、観測可能な量のみから理論を構築するという自身の手法は特殊相対性理論の精神に沿ったものであると説明した。ハイゼンベルクは自伝『物理学とその先』の中で、会議の後、アルベルト・アインシュタインがこのアプローチを批判し、観測可能な要素自体がすでに理論的仮定に依存しているため、純粋な観測から理論を構築することはできないと主張したと述べている。^{[ 37 ]}

スティーブン・ワインバーグは1993年に、ハイゼンベルクの論文を「純粋な魔法」と評した。ハイゼンベルクが各数学的ステップを正当化する際に用いた動機を文書で示していないため、ハイゼンベルクの枠組みの予測が成功したにもかかわらず、読者は「困惑」してしまうからである。^{[ 43 ]}彼の論文をより分かりやすく説明しようとする試みが数多く行われてきた。^{[ 3 ]}

ユネスコは、ハイゼンベルクの論文発表100周年を記念して、2025年を量子科学技術の記念年と宣言した。^{[ 44 ]}