モヤル製品

数学において、モヤル積（ホセ・エンリケ・モヤルにちなんで命名。ヘルマン・ワイルとヒルブランド・J・グローネウォルドにちなんでスター積またはワイル・グローネウォルド積とも呼ばれる）は位相空間スター積の一例である。これは、関数上の結合法則を満たす非可換積★である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ポアソン括弧を備えたもの（シンプレクティック多様体への一般化については後述）。これは、普遍包絡代数の「記号代数」の★積の特殊な場合である。

モヤル積はホセ・エンリケ・モヤルにちなんで名付けられましたが、ワイル・グローネウォルドが1946年の博士論文でワイル書簡を鋭く評価した際に導入したことから、ワイル・グローネウォルド積と呼ばれることもあります^{[ 1 ] 。モヤル自身は、有名な論文[ 2 ]}の中でこの積について知らなかったようで、伝記^{[ 3 ]}にも示されているように、ディラックとの伝説的な書簡でもこの積を知らなかったことが決定的に明らかになっています。モヤルにちなんで名付けられるようになったのは、彼の平坦な位相空間量子化の図式に敬意を表して、1970年代になってからのようです^{[ 4 ] 。}

滑らかな関数fとgの積$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$形式をとる $${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),}$$ ここで、各C _{n は}、次式で特徴付けられる、ある特定のn階双微分演算子である（明示的な式については下記を参照）。

• ${\displaystyle f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar ),}$点ごとの積の変形 ― 上記の式に暗黙的に含まれている。
• ${\displaystyle f\star gg\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{\{f,g\}\},}$ポアソン括弧の変形は、モヤル括弧と呼ばれる。
• ${\displaystyle f\star 1=1\star f=f,}$変形前の代数の1は、新しい代数においても恒等式となる。
• ${\displaystyle {\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}},}$複素共役は反線形反自己同型写像​​である。

なお、実数の値をとる関数を取りたい場合は、別のバージョンでは、2 番目の条件のiが削除され、4 番目の条件も削除されます。

多項式関数に限定すると、上記の代数はワイル代数A _nと同型であり、この2つはn変数の多項式空間のワイル写像（または2 n次元のベクトル空間の対称代数）の代替的な実現を提供する。

明示的な式を示すために、定数ポアソン双ベクトルΠを次の点に当てはめる。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$: $${\displaystyle \Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},}$$ ここで、Π ^ijは各i、jに対して実数である。2 つの関数fとgのスター積は、 それら両方に作用する 擬微分演算子として定義できる。$${\displaystyle f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\partial _{i}\partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,}$$ ここでħは換算プランク定数であり、ここでは形式的なパラメータとして扱われる。

これは、記号代数におけるベレジン公式^{[ 5 ]}として知られるものの特殊なケースであり、閉じた形式^{[ 6 ]}を与えることができる（これはベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式から導かれる）。閉じた形式は、指数関数を使用することで得られる。 $${\displaystyle f\star g=m\circ e^{{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),}$$ ここで、mは乗算マップ、m ( a ⊗ b ) = abであり、指数はべき級数として扱われます。 $${\displaystyle e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}.}$$

つまり、C _nの式は $${\displaystyle C_{n}={\frac {i^{n}}{2^{n}n!}}m\circ \Pi ^{n}.}$$

前述のように、多くの場合、上記のiの出現箇所をすべて削除すると、式は自然と実数に限定されます。

関数fとgが多項式である場合、上記の無限和は有限和となり（通常のワイル代数の場合に帰着する）、その点に留意してください。

モヤル積と、普遍包絡代数の「記号代数」の定義で使用される一般化された★積との関係は、ワイル代数がハイゼンベルク代数の普遍包絡代数であるという事実から導かれる（ただし、中心は単位元に等しい）。

任意のシンプレクティック多様体において、少なくとも局所的には、ダルブーの定理により、シンプレクティック構造を一定にするように座標を選択することができます。そして、関連するポアソン双ベクトルを用いることで、上記の式を考えることができます。この式が多様体全体上の関数として（局所的な式としてだけでなく）大域的に機能するためには、シンプレクティック多様体にねじれのないシンプレクティック接続を付与する必要があります。これにより、シンプレクティック多様体はフェドソフ多様体となります。

任意のポアソン多様体（ダルブーの定理が適用されない場合）に対するより一般的な結果は、コンツェビッチの量子化公式によって与えられる。

★積の構成と有用性に関する簡単な明示的な例(2 次元ユークリッド位相空間の最も単純な場合) は、ウィグナー-ワイル変換に関する記事で示されています。2 つのガウス関数は、双曲線正接法則に従ってこの★積と合成されます。 ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \exp \left[-a\left(q^{2}+p^{2}\right)\right]\star \exp \left[-b\left(q^{2}+p^{2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}\left(q^{2}+p^{2}\right)\right].}$$同様に、$${\displaystyle e^{-\tanh(a){\frac {q^{2}+p^{2}}{\hbar }}}\star e^{-\tanh(b){\frac {q^{2}+p^{2}}{\hbar }}}={\frac {\tanh(a+b)}{\tanh(a)+\tanh(b)}}e^{-\tanh(a+b){\frac {q^{2}+p^{2}}{\hbar }}}}$$古典的な限界は${\displaystyle \hbar \to 0,a/\hbar \to \alpha ,b/\hbar \to \beta }$は${\displaystyle e^{-\alpha (q^{2}+p^{2})}e^{-\beta (q^{2}+p^{2})}=e^{-(\alpha +\beta )(q^{2}+p^{2})}}$予想通り。

しかし、位相空間とヒルベルト空間の間のすべての対応規定は、それ自身の固有★積を誘導する。^{[ 8 ] [ 9 ]}

同様の結果は、セガル・バーグマン空間およびハイゼンベルク群のシータ表現でも見られる。生成演算子a ^∗ = zおよび消滅演算子a = ∂ / ∂zは複素平面（それぞれハイゼンベルク群の上半平面）に作用するものと理解され、位置演算子および運動量演算子は次のように与えられる。${\displaystyle q={\frac {a+a^{*}}{2}}}$そして${\displaystyle p={\frac {aa^{*}}{2i}}}$この状況は、位置が実数値であると仮定する場合とは明らかに異なりますが、ハイゼンベルク代数とその包絡線であるワイル代数の全体的な代数構造についての洞察を与えてくれます。

位相空間積分の中では、モヤル型のスター積を1 つだけ省略することができ、 ^{[ 10 ]}部分積分で明らかなように、単純な乗算になります。 $${\displaystyle \int dx\,dp\;f\star g=\int dx\,dp~f~g,}$$ これにより、位相空間トレースの周期性が明らかになる。これは上記の特定のモヤル積に特有の性質であり、フシミのスター積など、他の対応規則のスター積には当てはまらない。