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量子不確定性とは、物理システムの記述における見かけ上の必然的な不完全性であり、量子物理学の標準的な記述の特徴の一つとなっている。量子物理学以前は、
量子不確定性は、観測量の測定結果の集合上の確率分布によって定量的に特徴づけることができる。この分布はシステムの状態によって一意に決定され、さらに量子力学はこの確率分布を計算するための方法を提供する。
測定における不確定性は量子力学の新たな発見ではなく、測定誤差が不確定な結果をもたらす可能性があることは、実験家によって早くから確立されていた。18世紀後半には、測定誤差は十分に理解され、より優れた装置によって低減できるか、統計的誤差モデルによって説明できることが知られていた。しかし、量子力学における不確定性は、誤差や擾乱とは全く関係のない、はるかに根本的な性質のものである。
量子不確定性を適切に説明するには、測定理論が必要です。量子力学の始まり以来、多くの理論が提案されてきましたが、量子測定は理論物理学と実験物理学の両方で活発な研究分野であり続けています。[ 1 ]おそらく、数学理論への最初の体系的な試みは、ジョン・フォン・ノイマンによって開発されました。彼が調査した種類の測定は、現在では射影測定と呼ばれています。その理論は、最近開発された自己共役演算子の射影値測度の理論（フォン・ノイマンと独立にマーシャル・ストーンによって開発）と、量子力学のヒルベルト空間定式化（フォン・ノイマンはこれをポール・ディラックに帰属させた）に基づいています。
この定式化では、物理システムの状態は、複素数体上のヒルベルト空間Hにおける長さ 1 のベクトルに対応します。観測量は、 H上の自己共役（すなわちエルミート）演算子Aによって表されます。H が有限次元の場合、スペクトル定理により、 Aは固有ベクトルの正規直交基底を持ちます。システムが状態ψにある場合、測定直後、システムはAの固有ベクトルeである状態を占め、観測値λは方程式Ae = λeの対応する固有値になります。このことから、一般に測定は非決定論的であることがすぐにわかります。さらに、量子力学は、初期システム状態がψである場合の可能な結果の確率分布 Pr を計算する方法を提供します。確率は ここで、E ( λ )は固有値λを持つAの固有ベクトルの空間への射影である。
この例では、スピン自由度のみを考慮する単一のスピン1/2粒子（電子など）を考えます。対応するヒルベルト空間は2次元複素ヒルベルト空間C 2であり、各量子状態はC 2内の単位ベクトル（位相を除いて一意）に対応します。この場合、状態空間は右図に示すように、球面として幾何学的に表現できます。
パウリのスピン行列これらは自己共役で あり、3つの座標軸に沿ったスピン測定に対応する。
パウリ行列の固有値はすべて+1、-1です。
したがって、州では σ 1は確定値 +1 を持ちますが、σ 3の測定値はそれぞれ確率 1/2 で +1または-1 のいずれかになります。実際には、 σ 1とσ 3の両方の測定値が確定値を持つ状態は存在しません。
上記の不確定性に関する主張については、様々な疑問が生じる可能性がある。
フォン・ノイマンは 1) という問題を定式化し、彼が提案する形式主義を受け入れるならば、答えが「いいえ」でなければならない理由を論証した。しかし、ベルによれば、フォン・ノイマンの形式的な証明は彼の非形式的な結論を正当化するものではなかった。 [ 2 ] 1) に対する決定的なが部分的な否定的な答えは実験によって確立されている。ベルの不等式が破られるため、そのような隠れた変数は局所的ではない（ベルのテスト実験を参照）。
2) の答えは、特に測定には擾乱が伴うため、擾乱の理解の仕方に依存します (ただし、これは不確定性原理とは異なる観測者効果であることに注意してください)。それでも、最も自然な解釈では、答えはやはりいいえです。これを確認するには、2 つの測定シーケンスを考えます。(A) はσ 1のみを測定し、(B) は状態ψのスピンシステムのσ 3のみを測定します。(A) の測定結果はすべて +1 ですが、(B) の測定の統計的分布は、依然として +1、-1 に等しい確率で分かれています。
量子不確定性は、運動量が確定的に測定された粒子の場合にも説明できます。この場合、その位置をどれだけ正確に特定できるかには根本的な限界があります。この量子不確定性原理は、他の変数でも表現できます。たとえば、エネルギーが確定的に測定された粒子の場合、そのエネルギーをどれだけ長く保持できるかをどれだけ正確に特定できるかには根本的な限界があります。量子不確定性に関わる大きさは、プランク定数（6.626 070 15 × 10 −34 J⋅Hz −1 [3 ] )。
量子不確定性とは、システムの状態が、その測定可能なすべての特性に対して一意の値の集合を決定しないという主張である。実際、コーヘン・スペッカーの定理によれば、量子力学の形式においては、与えられた量子状態に対して、これらの測定可能な特性（観測量）のそれぞれが確定値（明確な値）を持つことは不可能である。観測量の値は、システムの状態によって一意に決定される確率分布に従って、非決定論的に得られる。状態は測定によって破壊されるため、値の集合を参照する場合、この集合内の各測定値は、新たに準備された状態を用いて取得されなければならないことに注意されたい。
この不確定性は、物理システムの記述における本質的な不完全性の一種とみなすことができる。ただし、上述の不確定性は、量子状態ではなく測定値にのみ適用されることに注意されたい。例えば、上述のスピン1/2の例では、σ1の測定を、σ1が+1となる粒子のみを保持するフィルターとして使用することで、システムを状態ψに準備することができる。フォン・ノイマン（いわゆる）公準により、測定直後、システムは確実に状態ψにある。
しかし、アルバート・アインシュタインは、量子状態は物理システムの完全な記述にはなり得ないと考えており、量子力学を受け入れることは決してなかったと一般的に考えられている。実際、アインシュタイン、ボリス・ポドルスキー、ネイサン・ローゼンは、量子力学が正しいとすれば、現実世界がどのように機能するかについての古典的な見方（少なくとも特殊相対性理論以降）はもはや成り立たないことを示した。この見方には、次の2つの考え方が含まれていた。
古典的見解のこの破綻は、EPR思考実験の結論の一つであった。この実験では、現在ではアリスとボブと呼ばれる2人の遠隔地の観測者が、スピン一重項状態と呼ばれる特殊な状態に設定された一対の電子のスピンを独立して測定した。EPRは量子論の形式的な枠組みを用いて、アリスがx方向のスピンを測定すると、ボブのx方向の測定結果が確実に決定されるのに対し、アリスの測定直前のボブの測定結果は統計的にしか決定されないという結論に至った。このことから、x方向のスピンの値は現実の要素ではないか、あるいはアリスの測定の影響が無限の速度で伝播するかのいずれかが導かれる。
純粋状態にある量子系の不確定性について説明しました。混合状態は、純粋状態の統計的混合によって得られる、より一般的な状態です。混合状態の場合、測定の確率分布を決定するための「量子レシピ」は、次のように決定されます。
A を量子力学系の観測量とする。AはH上の稠密に定義された自己共役作用素によって与えられる。Aのスペクトル測度は、条件によって定義される射影値測度である。
Rの任意のボレル部分集合Uに対して。混合状態Sが与えられた場合、Sの下でのAの分布を次のように導入します。
これは、 Rのボレル部分集合上で定義される確率測度であり、 SでA を測定することによって得られる確率分布です。
量子不確定性とは、測定前に個々の量子系で発生する、その存在を推測する情報（またはその欠如）として理解されることが多い。 量子ランダム性とは、その不確定性の統計的現れであり、何度も繰り返される実験の結果で確認できる。しかし、量子不確定性とランダム性の関係は微妙であり、異なる見方をすることもできる。[ 4 ]
古典物理学では、コイン投げやサイコロ投げなどの偶然の実験は、初期条件を完全に知っていれば結果を完全に予測できるという意味で決定論的です。「ランダム性」は、最初の投げや投げる際の物理的情報の無知に起因します。これとは正反対に、量子物理学の場合、コーヘンとスペッカーの定理[ 5 ] 、ジョン・ベルの不等式[ 6 ] 、アラン・アスペの実験的証拠[ 7 ] [ 8 ]はすべて、量子ランダム性がそのような物理的情報に起因しないことを示しています。
2008年、Tomasz Paterekらは数学的情報で説明を提供した。彼らは、量子ランダム性は、入力設定が量子システムに論理的独立性を導入する測定実験の出力のみであることを証明した。[ 9 ] [ 10 ]
論理的独立性は、数理論理学においてよく知られた現象である。これは、互いに証明も反証もしない数学的命題（同じ言語）の間に存在する、論理的な関連性がゼロであることを指す。[ 11 ]
Paterek らの研究では、研究者らは量子ランダム性とブール命題の形式体系における論理的独立性を結びつける関係性を示している。光子偏光を測定する実験において、Paterek らは予測可能な結果を論理的に依存する数学的命題と相関させ、ランダムな結果を論理的に独立した命題と相関させる統計を示している。[ 12 ] [ 13 ]
