一般位相幾何学用語集

これは、位相幾何学として知られる数学の分野で使われる用語集です。位相幾何学の異なる領域の間に絶対的な区別はありませんが、ここでは一般的な位相幾何学に焦点を当てています。以下の定義は、代数的位相幾何学、微分位相幾何学、および幾何学的位相幾何学にも不可欠です。代数的位相幾何学に固有の用語の一覧については、代数的位相幾何学の用語集を参照してください。

この用語集内のすべての空間は、特に明記しない限り、 位相空間であると想定されます。

完全に閉鎖

H-closedを参照

アクセス可能

見る。${\displaystyle T_{1}}$

蓄積ポイント

限界点を参照してください。

アレクサンドロフ位相幾何学

空間Xの位相がアレクサンドロフ位相(または有限生成)であるとは、 X内の任意の開集合の交差が開集合である場合、またはそれと同値として、任意の閉集合の和が閉集合である場合、またはそれと同値として、開集合がposetの上集合である場合である。^[1]

ほぼ個別

すべての開集合が閉じている場合、空間はほぼ離散的です (したがって clopen)。ほぼ離散的な空間は、まさに有限生成の 0 次元空間です。

α-閉じた、α-開いた

位相空間Xの部分集合Aがα開集合であるとは、そのような集合の補集合がα閉集合であるということである。^[2]${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)}$

アプローチスペース

アプローチ空間は、ポイントツーポイントではなく、ポイントツーセットの距離に基づくメトリック空間の一般化です。

ベールスペース

これには 2 つの異なる一般的な意味があります。

1. 稠密な開集合の任意の可算な集合の交差が稠密である場合、その空間はベール空間と呼ばれます。ベール空間を参照してください。
2. ベール空間は、点ごとに収束する位相を持つ、自然数から自然数へのすべての関数の集合です。ベール空間 (集合論)を参照してください。

ベース

開集合の集合Bが位相の基底(または基数) であるとは、 内のすべての開集合が内の集合の和集合である場合を指します。位相はを含む上の最小の位相であり、 によって生成されると言われます。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

基礎

ベースを参照してください。

βオープン

セミプレオープンを参照してください。

b-オープン、b-クローズ

位相空間の部分集合がb開集合であるとは、b開集合の補集合がb閉集合であることを意味する。^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}$

ボレル代数

位相空間上のボレル代数は、すべての開集合を含む最小の-代数です。これは、を含む上のすべての -代数の共通部分を取ることで得られます。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$

ボレル集合

ボレル集合はボレル代数の要素です。

境界

集合の境界（または境界）は、集合の閉包からその内部を引いたものです。同様に、集合の境界は、その閉包とその補集合の閉包の交差です。集合の境界は、またはで表されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial A}$${\displaystyle bd}$ ${\displaystyle A}$

境界付き

距離空間内の集合は、その直径が有限であれば有界です。同様に、集合は有限半径の開いた球体に含まれる場合も有界です。距離空間内の値を取る関数は、その像が有界集合である場合に有界です。

位相空間のカテゴリ

カテゴリTop は、 位相空間をオブジェクトとして持ち、連続写像を射として持ちます。

コーシー数列

距離空間 ( M、d ) 内のシーケンス { x n } がコーシーシーケンスであるとは、_すべての正の実数 r に対して、すべての整数m、n > Nに対してd ( x _m、x _n ) < r を満たす整数Nが存在する場合をいいます。

クローペンセット

集合が開集合かつ閉集合である場合、その集合は閉開集合である。

クローズドボール

( M , d ) が距離空間である場合、閉球は形式D ( x ; r ) := { y in M  : d ( x , y ) ≤ r } の集合です。ここで、x はM内にあり、r は球の半径である正の 実数です。半径rの閉球は閉r球です。すべての閉球は、 dによってMに誘導される位相における閉集合です。閉球D ( x ; r ) は開球B ( x ; r ) の閉包と等しくない場合があることに注意してください。

閉じた集合

集合の補集合が位相の要素である場合、その集合は閉じています。

クローズド関数

ある空間から別の空間への関数は、すべての閉集合の像が閉じている場合に閉じています。

閉鎖

集合の閉包とは、元の集合を含む最小の閉集合のことです。これは、それを含むすべての閉集合の共通集合に等しくなります。集合 S の閉包の要素は、Sの閉包点です。

クロージャ演算子

クラトフスキー閉包公理を参照してください。

より粗いトポロジ

Xが集合であり、T 1_とT 2_がX上の位相である場合、T _{1 が}T ₂に含まれるときは、 T ₁はT _2より粗い（または小さい、弱い） 。一部の著者、特にアナリストは「強い」という用語を使用するので注意してください。

コメアグレ

空間Xの部分集合Aがコメアガー( comeager )であるとは、その補集合X \ Aがメアガーである場合を指します。残差とも呼ばれます。

コンパクト

すべての開被覆に有限部分被覆がある場合、その空間はコンパクトです。すべてのコンパクト空間はリンデレーフかつパラコンパクトです。したがって、すべてのコンパクトハウスドルフ空間は正規です。準コンパクトも参照してください。

コンパクトオープントポロジー

2つの空間XとYの間の連続写像すべての集合C ( X , Y )上のコンパクト開位相は次のように定義されます。Xのコンパクト部分集合KとYの開部分集合Uが与えられたとき、V ( K , U )はC ( X , Y )内のすべての写像fのうちf ( K )がUに含まれる集合を表します。そのようなV ( K , U )の集合はコンパクト開位相の部分基底です。

完了

すべてのコーシー列が収束する場合、距離空間は完全です。

完全にメートル法化可能/完全にメートル法化可能

完全なスペースを参照してください。

完全に正常

任意の 2 つの分離された集合が互いに素な近傍を持つ場合、その空間は完全に正規です。

完全に正常なハウスドルフ

完全に正規なハウスドルフ空間 (またはT ₅空間) は、完全に正規な T ₁空間です。(完全に正規な空間がハウスドルフであるのは、それが T _1である場合のみであるため、用語は一貫しています。) すべての完全に正規なハウスドルフ空間は、正規なハウスドルフです。

完全に規則的

C が閉集合であり、x がCにない点である場合に、Cと { x } が機能的に分離されているとき、その空間は完全に正則です。

完全にT ₃

Tychonoff を参照してください。

成分

「接続コンポーネント/パス接続コンポーネント」を参照してください。

接続

空間が連結であるとは、互いに素な空でない開集合のペアの和集合ではない場合です。同様に、唯一の閉開集合が空間全体と空集合である場合、空間は連結であるとも言えます。

連結成分

空間の連結成分は、最大の空でない連結部分空間です。各連結成分は閉じており、空間の連結成分の集合はその空間の分割です。

連続

ある空間から別の空間への関数は、すべての開集合の逆像が開である場合に連続です。

連続体

空間がコンパクトで連結されたハウスドルフ空間である場合、その空間は連続体と呼ばれます。

収縮可能

空間Xが収縮可能であるのは、X上の恒等写像が定数写像に同相である場合です。すべての収縮可能な空間は単連結です。

共積トポロジー

{ X _i } が空間の集合であり、Xが{ X _i } の（集合論的な）非結合和である場合、 X上の余積位相（または非結合和位相、X _iの位相和）は、すべての注入写像が連続する最も細かい位相です。

コアコンパクト空間

宇宙空間

ある可分な距離空間の連続 像。[ ^3]

可算連鎖条件

空でない、対ごとに互いに素な開集合のすべての族が可算である場合、空間X は可算連鎖条件を満たします。

可算コンパクト

すべての可算開被覆に有限部分被覆がある場合、その空間は可算コンパクトです。すべての可算コンパクト空間は擬コンパクトであり、弱可算コンパクトです。

可算局所有限

空間Xの部分集合の集合は、それがXの部分集合の局所有限集合の可算集合の和集合である場合、可算局所有限（またはσ 局所有限）である。

カバー

空間の部分集合の集合は、その集合の和が空間全体となる場合、その空間の被覆（またはカバー）になります。

カバー

表紙をご覧ください。

カットポイント

X が複数の点を持つ連結空間である場合、部分空間X − { x } が連結されていない場合、 Xの点xは切断点になります。

δクラスターポイント、δクローズド、δオープン

位相空間Xの点x が部分集合Aの δ クラスター点であるとは、 Xにおけるxのすべての開近傍Uに対して成り立つことをいう。部分集合 A が δ 閉であるとは、部分集合Aがその δ クラスター点の集合に等しいときであり、部分集合 A の補集合が δ 閉であるとは、部分集合 A が δ 開であるとは、部分集合 A の補集合が δ 閉であるとは限らない。^[4]${\displaystyle A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset }$

密なセット

集合が稠密であるとは、すべての空でない開集合と空でない交差を持つ場合です。同様に、集合の閉包が空間全体である場合、集合は稠密です。

密集した集合

集合が孤立点を持たない場合、その集合はそれ自体稠密である。

密度

_{位相空間の稠密な部分集合の最小濃度。密度ℵ 0}の集合は可分空間である。^[5]

派生セット

Xが空間であり、S がXの部分集合である場合、 XにおけるSの導来集合はXにおけるSの極限点の集合です。

開発可能なスペース

発展した位相空間。^[6]

発達

位相空間の開被覆の可算な集合であり、任意の閉集合Cとその補集合内の任意の点pに対して、その集合内に被覆が存在し、その被覆内のpのすべての近傍はCと互いに素である。^[6]

直径

( M、d ) が距離空間であり、SがMのサブセットである場合、 Sの直径は距離d ( x、y )の上限です。ここで、 xとy はS全体にわたります。

離散メトリック

集合X上の離散計量は関数d  : X × X  →  Rであり、 X内のすべてのx、yに対して、x ≠ yの場合にはd ( x、x ) = 0 かつd ( x、y ) = 1 が成り立ちます。離散計量はX上に離散位相を誘導します。

離散空間

空間Xが離散的であるとは、 Xのすべての部分集合が開集合であることを意味する。Xが離散位相を持つという。^[7]

離散トポロジー

離散空間を参照してください。

非結合和集合トポロジー

共積トポロジーを参照してください。

分散点

X が複数の点を持つ連結空間である場合、部分空間X − { x } が遺伝的に連結されていない（連結成分が 1 点集合のみである）とき、 Xの点xは分散点である。

距離

メトリック空間を参照してください。

ダウカースペース

劣等生帽子（トポロジー）

取り巻き

均一空間を参照してください。

外観

集合の外部は、その補集合の内部です。

F _σセット

Fσ集合は閉集合の可算な和集合_である。^[8]

フィルター

参照:位相におけるフィルター。空間X上のフィルターは、次の条件が満たされる Xのサブセットの空でないファミリFです。

1. 空集合はFに存在しません。
2. Fの任意の有限個の要素の交差もFに含まれます。
3. AがFにあり、B が A を含む場合、BはFにあります。

最終的なトポロジー

集合X上で、への関数の族に関して、それらの関数が連続になるようなX上の最細かな位相がある。^[9]${\displaystyle X}$

微細位相幾何学（ポテンシャル理論）

ユークリッド空間 上では、すべてのサブハーモニック関数（すべてのスーパーハーモニック関数と同値）を連続にする最も粗い位相。 ^[10]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

より細かいトポロジー

Xが集合であり、T 1_とT 2_がX上の位相である場合、T _{2 が}T _{1 を}含むなら、T _{2 は}T _1よりも細かい（または大きい、強い）です。 一部の著者、特にアナリストは「弱い」という用語を使用するので注意してください。

有限生成

アレクサンドロフ位相幾何学を参照してください。

最初のカテゴリー

Meagre を参照してください。

第一可算名詞

すべての点が可算な局所基数を持つ場合、その空間は第一可算です。

フレシェ

T ₁を参照。

フロンティア

境界を参照してください。

フルセット

複素平面のコンパクトな部分集合Kは、その補集合が連結されている場合、完全であると呼ばれます。たとえば、閉じた単位円は完全ですが、単位円は完全ではありません。

機能的に分離

空間X内の2つの集合AとBは、連続写像f : X  →[0,1]が存在してf ( A )=0かつf ( B )=1である場合に機能的に分離されている。

G _δセット

Gδ集合または内極限集合は開集合の可算な共通集合_である。^[8]

Gδ空間_​

すべての閉集合がGδ集合である空間。^[8 _]

一般的なポイント

閉集合の一般点とは、その閉集合がその点を含む単独集合の閉包となる点である。^[11]

ハウスドルフ

ハウスドルフ空間（またはT ₂空間）は、2 つの異なる点ごとに互いに交わらない近傍を持つ空間です。すべてのハウスドルフ空間は T ₁です。

H-閉じた

ある空間が、それを含むすべてのハウスドルフ空間において閉じている場合、その空間は H 閉、つまりハウスドルフ閉、あるいは絶対閉であると言えます。

ヘミコンパクト

コンパクト部分集合の列が存在し、すべてのコンパクト部分集合がそのうちの 1 つに含まれる場合、その空間は半コンパクトです。

遺伝的にP

ある空間が何らかの性質Pに対して遺伝的にP であるためには、すべての部分空間もP である必要があります。

遺伝性

空間の性質が遺伝的であるとは、空間がその性質を持つときはいつでも、その空間のすべての部分空間もその性質を持つということを意味する。^[12]例えば、第二可算性は遺伝的性質である。

同相写像

XとY が空間である場合、 XからYへの同相写像は、 fとf ⁻¹が連続するような全単射関数f  :  X  →  Yです。このとき、空間XとYは同相であるといわれます。位相幾何学の観点から、同相空間は同一です。

均質

空間Xが同次であるとは、 X内の任意のxとyに対して、 f ( x ) = yとなる同相写像f  : X  →  Xが存在する場合です。直感的には、空間はどの点においても同じに見えます。すべての位相群は同次です。

ホモトピックマップ

2つの連続写像 f , g  : X  →  Yがホモトピック（Yにおいて）であるとは、連続写像H  : X × [0, 1] →  Yが存在し、 Xのすべてのxに対してH ( x , 0) = f ( x ) かつH ( x , 1) = g ( x )が成り立つ場合を指します。ここで、X × [0, 1] には積位相が与えられています。関数Hはfとg の間のホモトピー（Yにおいて）と呼ばれます。

ホモトピー

ホモトピックマップを参照してください。

ハイパーコネクテッド

空間が超連結であるとは、2つの空でない開集合が互いに素でないことである^[13] 。すべての超連結空間は連結である^{[13] 。}

識別マップ

商マップを参照してください。

識別スペース

商空間を参照してください。

非分断空間

自明なトポロジーを参照してください。

無限次元トポロジー

ヒルベルト多様体とQ 多様体、つまりそれぞれヒルベルト空間とヒルベルト立方体上にモデル化された (一般化された) 多様体を参照してください。

内部制限セット

Gδ集合。[ ⁸ _]

インテリア

集合の内部は、元の集合に含まれる最大の開集合です。これは、そこに含まれるすべての開集合の和集合に等しくなります。集合Sの内部の要素は、 Sの内部点です。

内部ポイント

インテリアを参照してください。

孤立点

点x は、単集合{ x } が開いている場合、孤立点となります。より一般的には、S が空間Xの部分集合であり、x がSの点である場合、{ x } がS上の部分空間位相で開いている場合、 x はSの孤立点となります。

等尺同型性

M ₁とM _{2 が}距離空間である場合、 M _1からM ₂への等長同型は、全単射な等長写像f  : M ₁  →  M ₂です。このとき、距離空間は等長同型であるといわれます。距離空間理論の観点からは、等長同型の空間は同一です。

等長法

( M ₁ , d ₁ ) と ( M ₂ , d ₂ ) が距離空間である場合、M _1からM ₂への等長写像は関数f  : M ₁  →  M ₂であり、M ₁のすべてのx、yに対してd ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x、y )が成り立ちます。すべての等長写像は単射ですが、すべての等長写像が全射であるとは限りません。

コルモゴロフ公理

T _{0 を}参照してください。

クラトフスキー閉包公理

クラトフスキー閉包公理は、 Xの各部分集合をその閉包に 導く関数が満たす公理の集合である。

1. 等張性: すべての集合はその閉包に含まれます。
2. 冪等性: 集合の閉包の閉包は、その集合の閉包に等しい。
3. 二項和集合の保存: 2 つの集合の和集合の閉包は、それらの閉包の和集合です。
4. 空集合の保存: 空集合の閉包は空です。

c がXのべき集合からそれ自身への関数である場合、それがKuratowski 閉包公理を満たすなら、c は閉包演算子です。Kuratowski 閉包公理は、閉集合をこの演算子の固定点として宣言することで、 X上のトポロジーを定義するために使用できます。つまり、集合Aは、 c ( A ) = Aの場合にのみ閉じています。

コルモゴロフ位相

T _Kol = {R, }∪{(a,∞): aは実数}; ペア(R,T _Kol )はコルモゴロフ直線と呼ばれます。${\displaystyle \varnothing }$

L スペース

L空間は遺伝的に分離不可能な遺伝的 リンデレーフ空間である。ススリン直線はL空間である。^[14]

より大きなトポロジ

「より細かいトポロジ」を参照してください。

限界点

空間X内の点xが部分集合Sの極限点であるとは、 x を含むすべての開集合に、x以外のSの点も含まれる場合です。これは、 xのすべての近傍に、 x以外のSの点が含まれることを要求するのと同じです。

限界点コンパクト

弱可算コンパクトを参照してください。

リンデレフ

すべての開被覆に可算な部分被覆がある場合、その空間はLindelöfです。

ローカルベース

空間Xの点xの近傍の集合B は、 xのすべての近傍にBの何らかの要素が含まれる場合、 xにおける局所基底（または局所基底、近傍基底、近傍基底）です。

地域ベース

ローカルベースを参照してください。

局所的（P）空間

空間が「局所的に (P)」であるという定義には 2 つあり、(P) は位相的または集合論的性質です。各点には性質 (P) を持つ近傍がある、または各点には各要素が性質 (P) を持つ近傍基がある、という定義です。最初の定義は通常、局所コンパクト、可算コンパクト、距離化可能、分離可能、可算と解釈され、2 番目の定義は局所的に連結であると見なされます。^[15]

局所的に閉じた部分集合

位相空間のサブセットであり、開いたサブセットと閉じたサブセットの交差です。同様に、これはその閉包の相対的に開いたサブセットです。

局所的にコンパクト

空間が局所コンパクトであるとは、すべての点がコンパクトな近傍を持つことを意味する。各点がコンパクトな近傍からなる局所基底を持つという別の定義が時々使われるが、これらはハウスドルフ空間では同値である。^[15] すべての局所コンパクトなハウスドルフ空間はチコノフである。

ローカル接続

空間が局所的に連結しているとは、あらゆる点が連結された近傍からなる局所基底を持つことを意味する。^[15]

局所的に密集している

プレオープンを参照してください。

局所的に有限

空間の部分集合の集合は、すべての点に、有限個の部分集合とのみ空でない交差を持つ近傍がある場合に、局所有限である。可算局所有限、点有限も参照。

ローカルにメートル法化可能/ローカルにメートル法化可能

空間が局所的に距離化可能であるとは、あらゆる点が距離化可能な近傍を持つことを意味する。^[15]

ローカルパス接続

空間が局所的にパス連結であるとは、あらゆる点がパス連結な近傍からなる局所基底を持つ場合を言う。^[15] 局所的にパス連結な空間は、パス連結である場合にのみ連結である。

ローカルに単純接続

すべての点が単連結な近傍からなる局所基底を持つ場合、その空間は局所単連結です。

ループ

x が空間X内の点である場合、X内のxにおけるループ（または基点xを持つX内のループ）は、 f (0) = f (1) = xとなるX内のパスfです。同様に、 X内のループは、単位円S ^1からXへの連続写像です。

貧弱な

Xが空間でA がXの部分集合である場合、A がどこにも稠密でない集合の可算和である場合、 A はXにおいて貧弱である（またはXの第1カテゴリである）。 A がXにおいて貧弱でない場合、A はXの第2カテゴリである。^[16]

メタコンパクト

すべての開被覆が点有限開細分を持つ場合、空間はメタコンパクトです。

メトリック

メトリック空間を参照してください。

メトリック不変

計量不変量は、等長同型性の下で保存される特性です。

メトリックマップ

XとY がそれぞれ計量d _Xとd _{Y を}持つ距離空間である場合、計量写像はXからYへの関数fであり、 X内の任意の点xとyに対して、d _Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _X ( x , y ) が成り立ちます。上記の不等式がX内のすべてのxとyに対して厳密である場合、計量写像は厳密に計量的です。

メートル法空間

距離空間( M , d )は、 M内のすべてのx、y、zに対して次の公理を満たす関数d  :  M  ×  M  →  Rを備えた集合Mです。

1. d ( x , y ) ≥ 0 である。
2. d ( x , x ) = 0 となる。
3. d ( x , y ) = 0 ならば   x   = y （     識別不能なものの同一性）
4. d ( x , y ) = d ( y , x ) (対称性)
5. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) (三角不等式)

関数d はM上の計量であり、d ( x , y ) はxとy の間の距離です。 Mのすべての開球の集合はM上の位相の基底です。これはdによって誘導されるM上の位相です。すべての計量空間はハウスドルフかつパラコンパクトです (したがって、正規かつチコノフです)。すべての計量空間は第 1 可算です。

メトリゼーション可能/メトリゼーション可能

空間が距離化可能である場合、それは距離空間に同相です。すべての距離化可能空間はハウスドルフかつパラコンパクトです (したがって、正規かつチコノフです)。すべての距離化可能空間は第一可算です。

モノリス

空でない超連結コンパクト空間X には、最大の適切な開部分集合が存在します。この部分集合はモノリスと呼ばれます。

ムーア空間

ムーア空間は展開可能な 正則ハウスドルフ空間である。^[6]

ほぼオープン

プレオープンを参照してください。

近隣地域/近隣

点xの近傍は、点x を含む開集合を含む集合です。より一般的には、集合Sの近傍は、集合Sを含む開集合を含む集合です。したがって、点xの近傍は、単集合 { x }の近傍です。(この定義では、近傍自体は開いている必要はありません。多くの著者は、近傍が開いていることを要求しています。慣例に注意してください。)

近隣ベース/ ベース

ローカルベースを参照してください。

点xの近傍システム

空間内の点xにおける近傍システムとは、 xのすべての近傍の集合です。

ネット

空間Xのネットは、有向集合AからXへの写像です。 AからXへのネットは通常 ( x _α ) と表記されます。ここで、 α はAにわたるインデックス変数です。すべてのシーケンスはネットであり、A は通常の順序を持​​つ自然数の有向集合とします。

普通

任意の2つの互いに交わらない閉集合が互いに交わらない近傍を持つとき、その空間は正規空間である。 ^[8] すべての正規空間は1の分割を許容する。

ノーマルハウスドルフ

正規ハウスドルフ空間(またはT ₄空間) は正規 T ₁空間です。(正規空間がハウスドルフとなるのは、それが T _1である場合のみであるため、用語は一貫しています。) すべての正規ハウスドルフ空間はチコノフです。

密集していない

どこにも稠密でない集合とは、その閉包の内部が空である集合のことである。

カバーを開く

開被覆とは開集合からなる被覆である。^[6]

オープンボール

( M , d ) が距離空間である場合、開球は形式B ( x ; r ) := { y in M  : d ( x , y ) < r } の集合です。ここで、x はM内にあり、r は球の半径である正の 実数です。半径rの開球は開r球です。すべての開球は、 dによって誘導されるM上の位相における開集合です。

オープン状態

オープンプロパティを参照してください。

オープンセット

開集合は位相の要素です。

オープン機能

ある空間から別の空間への関数は、すべての開集合の像が開いている場合、開いている関数です。

オープンプロパティ

位相空間内の点の特性は、その特性を持つ点が開集合を形成する場合、「開」であるという。このような条件は、多くの場合共通の形をとり、その形は開条件であると言える。たとえば、距離空間では、上記のように開球を定義し、「厳密な不等式は開条件である」と言う。

オルトコンパクト

すべての開被覆に内部を保存する開細分がある場合、その空間はオルトコンパクトです。

パラコンパクト

空間がパラコンパクトとは、すべての開被覆が局所有限な開細分化を持つ場合である。パラコンパクトはメタコンパクトを意味する。^[17] パラコンパクトハウスドルフ空間は正規である。^[18]

統一の分割

空間Xの単位分割とは、Xから [0, 1] への連続関数の集合であり、任意の点には、有限個を除くすべての関数が 0 となる近傍があり、空間全体のすべての関数の合計が 1 となるような関数です。

パス

空間X内のパスは、閉単位区間[0, 1]からXへの連続写像fである。点f (0)はfの始点であり、点f (1)はfの終点である。^[13]

パス接続

空間Xがパス連結であるとは、 X内の任意の2点x、yに対して、 xからyへのパスf 、すなわち始点f (0) = x、終点f (1) = yとなるパスが存在する場合である。パス連結された空間はすべて連結である。^[13]

パス接続コンポーネント

空間のパス連結成分は最大の空でないパス連結部分空間である。空間のパス連結成分の集合はその空間の分割であり、連結成分への分割よりも細かい。 ^[13]空間Xのパス連結成分の集合はπ0 ( X )_と表記される。

まったく正常

_{G δ}でもある通常の空間。^[8]

π 基数

空でない開集合の集合Bが位相 τ のπ基底であるとは、 τ 内のすべての空でない開集合にBの集合が含まれる場合をいう。^[19]

ポイント

点は位相空間の要素です。より一般的には、点は基礎となる位相構造を持つ任意の集合の要素です。たとえば、距離空間や位相群の要素も「点」です。

閉鎖のポイント

「閉鎖」を参照してください。

研磨

空間がポーランド空間であるとは、それが可分かつ完全に距離化可能である場合、つまり、可分かつ完全な距離空間に同相である場合です。

ポリアディック

空間が多項式であるとは、局所コンパクトで非コンパクトなハウスドルフ空間の1 点コンパクト化のべき乗の連続像である場合に言います。

多位相空間

ポリトポロジカル空間とは、任意のインデックス集合である上の位相の族とともに、包含関係によって線形順序付けられた集合 です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\tau _{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$

Pポイント

位相空間の点は、その近傍のフィルターが可算な交差の下で閉じている場合、P 点です。

プレコンパクト

「比較的コンパクト」を参照してください。

プレオープンセット

位相空間Xの部分集合Aが前開集合であるとは、次の条件を満たすときである。^[4]${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)}$

プロディスクリートトポロジー

積A ^G上の離散位相とは、各因子Aに離散位相が与えられたときの積位相である。 ^[20]

製品トポロジー

が空間の集合であり、X がの（集合論的）直積である場合、X上の積位相は、すべての射影マップが連続する最も粗い位相です。${\displaystyle \left(X_{i}\right)}$${\displaystyle \left(X_{i}\right),}$

適切な機能/マッピング

空間Xから空間Yへの連続関数fが適切であるとは、 Yの任意のコンパクト部分空間Cに対して がX内のコンパクト集合である場合をいいます。${\displaystyle f^{-1}(C)}$

近接空間

近接空間 ( X ,  d ) は、次の特性を満たすXのサブセット間の二項関係dを備えた集合Xです。

Xのすべての部分集合A、B、Cについて、

1. A d BはB d Aを意味する
2. A d BはAが空でないことを意味する
3. AとBの交差が空でない場合、 A d B
4. A d ( B  C )の場合のみ( A d BまたはA d C )${\displaystyle \cup }$ 
5. Xのすべての部分集合Eについて、 ( A d EまたはB d E )が成り立つ場合、 A d ( X − B )が成り立つ必要がある。

擬似コンパクト

空間上のすべての実数値連続関数が有界である場合、その空間は擬コンパクトです。

擬似計測

擬似距離空間を参照してください。

擬似空間

擬距離空間 ( M , d ) は、識別不能なものの同一性を除き、距離空間のすべての条件を満たす実数値関数を備えた集合Mです。つまり、擬距離空間内の点は、同一でなくても「無限に近い」場合があります。関数dはM上の擬距離です。すべての距離は擬距離です。${\displaystyle d:M\times M\to \mathbb {R} }$

穴だらけの近所/穴だらけの近所

点xのパンクチャード近傍は、xから{ x } を引いた近傍です。たとえば、区間(−1, 1) = { y  : −1 < y < 1} は実数直線上のx = 0の近傍なので、この集合は0 のパンクチャード近傍です。${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}}$

準コンパクト

コンパクトを参照してください。著者の中には、「コンパクト」をハウスドルフ分離公理を含むものとして定義する人もいます。彼らは、この用語集で単に「コンパクト」(ハウスドルフ公理なし) と呼ぶものを意味するために、準コンパクトという用語を使用しています。この慣習は、フランス語、およびフランス語の影響を強く受けた数学の分野で最もよく見られます。

商マップ

XとY が空間であり、f がXからYへの全射である場合、Yのすべての部分集合Uに対して、U がYで開いていることと、f ^{- 1} ( U ) がXで開いていることは同値である、というとき、 f は商写像 (または同一視写像) である。言い換えると、Y はf強位相を持つ。同様に、が商写像 である場合と、それが写像 の超限合成である場合とで同値である。ここで、は部分集合である。これはfが開関数であることを意味しないことに注意してください。  ${\displaystyle f}$${\displaystyle X\rightarrow X/Z}$${\displaystyle Z\subset X}$

商空間

Xが空間、Yが集合、f  :  X  →  Y が任意の全射関数である場合、fによって誘導されるY上の商位相は、 fが連続する最も細かい位相です。空間Xは商空間または識別空間です。定義により、fは商写像です。この最も一般的な例は、 Yが同値類の集合でf が自然射影写像であるとして、X上の同値関係を考えることです。この構成は、部分空間位相の構成と双対です。

改良

被覆K は、 Kのすべての要素がLのいずれかの要素のサブセットである場合に、被覆Lの精緻化です。

通常

C が閉集合であり、x がCにない点である場合に、Cとx が互いに交わらない近傍を持つとき、その空間は正則である。

レギュラーハウスドルフ

空間が正則 T _{0空間である場合、その空間は}正則ハウスドルフ(またはT ₃ ) です。(正則空間がハウスドルフであるのは、それが T _0である場合のみであるため、用語は一貫しています。)

定休日

空間Xの部分集合は、その閉包の内部と等しい場合、正則開集合である。また、正則閉集合はその内部の閉包と双対的に等しい。^[21] 非正則開集合の例としては、 通常の位相を持つR内の集合U = (0,1) ∪ (1,2)が挙げられる。これは、 1 がUの閉包の内部にあるが、Uには含まれていないためである。空間の正則開部分集合は完全なブール代数を形成する。^[21]

比較的コンパクト

空間Xの部分集合Y は、 YのXにおける閉包がコンパクトである場合に、Xにおいて相対コンパクトです。

残余

Xが空間であり、A がXのサブセットである場合、Aの補集合がXにおいて貧弱であれば、 A はXにおいて残余です。comeagreまたはcomeagerとも呼ばれます。

解決可能

位相空間は、 2 つの互いに素な稠密な部分集合の和集合として表現できる場合、分解可能であると呼ばれます。

リムコンパクト

空間がリムコンパクトであるとは、その空間の境界がコンパクトである開集合の基底を持つ場合です。

S空間

S空間は遺伝的にリンデレフではない遺伝的に 分離可能な空間である。^[14]

散らばっている

空間Xが散在しているとは、 Xの空でない部分集合AのすべてにA内で孤立した点が含まれる場合である。

スコット

ポスセット上のスコット位相とは、有向結合によってアクセスできない上集合が開集合となる位相である。 ^[22]

第2カテゴリー

Meagre を参照してください。

第二可算

空間が第二可算または完全に分離可能であるとは、その位相に対して可算な基底を持つ場合である。^[8]すべての第二可算空間は第一可算、分離可能、およびリンデレーフである。

半局所的に単連結

空間Xが半局所単連結であるとは、 X内のすべての点xに対して、 xの近傍Uが存在し、U内のxにおけるすべてのループがX内の定数ループxと同相であるような場合です。すべての単連結空間とすべての局所単連結空間は、半局所単連結です。(局所単連結と比較してください。ここでは、ホモトピーがXに存在することが許可されていますが、局所単連結の定義では、ホモトピーはUに存在する必要があります。)

セミオープン

位相空間Xの部分集合Aが半開集合であるとは、次の条件を満たすとき言う。^[23]${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}$

セミプレオープン

位相空間Xの部分集合Aが半前開集合と呼ばれるのは、^[2]${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)}$

準定期

正則な開集合が基底を形成する場合、空間は半正則です。

分離可能

空間が可分であるとは、それが可算な稠密部分集合を持つ場合である。^{[8] [16]}

分離した

2 つの集合AとB は、それぞれが他方の閉包と互いに素である場合に分離されます。

連続コンパクト

すべてのシーケンスに収束する部分シーケンスがある場合、空間は順次コンパクトです。すべての順次コンパクト空間は可算コンパクトであり、すべての第 1 可算で可算コンパクトな空間は順次コンパクトです。

短い地図

メトリックマップを見る

シンプルに接続

空間が単連結であるとは、空間がパス連結であり、すべてのループが定数写像に同型である場合を指します。

より小さなトポロジ

より粗いトポロジを参照してください。

冷静

厳密な空間では、すべての既約閉部分集合はちょうど1点の閉包である。つまり、唯一の一般点を持つ。^[24]

星

位相空間の与えられた被覆内の点のスターは、その点を含む被覆内のすべての集合の和集合です。スターの改良を参照してください。

${\displaystyle f}$-強力なトポロジー

を位相空間の写像とする。任意の部分集合 に対して、がで開であり、かつ がで開である場合に限り、が -強位相を持つという。${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\subset Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$

より強力なトポロジー

「より細かいトポロジー」を参照してください。一部の著者、特にアナリストは「より弱いトポロジー」という用語を使用するので注意してください。

路盤

開集合のコレクションは、位相の部分基底（または部分基底）であるとは、位相内のすべての空でない真開集合が、部分基底内の集合の有限積の和集合である場合です。 が集合Xの部分集合のコレクションである場合、によって生成されるX上の位相は、この位相を含む最小の位相であり、空集合Xと の要素の有限積の和集合すべてで構成されます。 したがって、 はそれが生成する位相の部分基底です。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}};}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

基礎

サブベースを参照してください。

サブカバー

被覆K は、 Kのすべての要素がLのメンバーである場合に、被覆Lの部分被覆 (または部分被覆)です。

サブカバー

Subcover を参照してください。

準最大空間

位相空間のすべての部分集合が局所的に閉じている場合、つまりすべての部分集合が開集合と閉集合の交差である場合、その位相空間は準最大であると言われます。

位相空間の特性としての準最大性に関するいくつかの事実を以下に示します。

• すべてのドアのスペースは最大未満です。
• すべての準最大空間は弱準最大であり、つまりすべての有限集合は局所的に閉じている。
• あらゆる最大下空間は解決不可能である。^[25]

サブスペース

T が空間X上の位相であり、AがXの部分集合である場合、Tによって誘導されるA上の部分空間位相は、 T内の開集合とAのすべての交差から構成されます。この構成は、商位相の構成と双対です。

サスリン線

₀秒

空間がT ₀ (またはコルモゴロフ) であるとは、空間内の異なる点xとyのすべてのペアに対して、 x を含むがy を含まない開集合が存在するか、 y を含むがx を含まない開集合が存在する場合です。

1 ₁

空間がT ₁ (またはフレシェ空間またはアクセス可能空間) であるとは、空間内の異なる点xとyのすべてのペアに対して、 x を含みy を含まない開集合が存在する場合です。(T ₀と比較してください。ここでは、開集合に含まれる点を指定できます。) 同様に、空間のすべてのシングルトンが閉じている場合、その空間は T _{1です。すべての T 1空間は T 0}です。

T2_​

ハウスドルフ空間を参照してください。

T3_​

Regular Hausdorff を参照してください。

T _3½

チコノフ空間を参照してください。

T4_​

Normal Hausdorff を参照してください。

T5_​

完全に正常なハウスドルフを参照してください。

トップ

位相空間のカテゴリを参照してください。

θクラスターポイント、θクローズ、θオープン

位相空間Xの点xが部分集合Aのθクラスター点であるとは、 X内の点xのすべての開近傍Uに対してであることを意味する。部分集合Aがθ閉であるとは、部分集合Aがそのθクラスター点の集合に等しい場合であり、部分集合Aの補集合がθ閉である場合にθ開である。^[23]${\displaystyle A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset }$

位相不変量

位相不変量は、同相の下で保存される特性です。たとえば、コンパクト性と連結性は位相特性ですが、有界性と完全性は位相特性ではありません。代数的位相学は、位相空間上の位相不変な抽象代数構造の研究です。

位相空間

位相空間( X , T )とは、次の公理を満たすXの部分集合の集合Tを備えた集合X のことである。

1. 空集合とX はTにあります。
2. T内の任意の集合の集合の和集合もT内にあります。
3. T内の任意の集合のペアの共通部分もT内にあります。

コレクションT はX上の位相です。

位相和

共積トポロジーを参照してください。

位相的に完全

完全に距離化可能な空間（つまり、完全な距離空間に同相な位相空間）は、しばしば位相完全と呼ばれます。この用語は、チェフ完全空間や完全に均一化可能な空間にも使用されることがあります。

トポロジー

位相空間を参照してください。

完全に制限された

距離空間Mが全有界であるとは、任意のr > 0 に対して、半径rの開球によるMの有限被覆が存在する場合を指します。距離空間がコンパクトであるためには、それが完全かつ全有界である必要があります。

完全に切断された

空間が 1 つ以上の点と接続された部分集合を持たない場合、その空間は完全に切断されています。

自明なトポロジー

集合X上の自明な位相（または非離散位相）は、空集合と空間X全体から構成されます。

ティコノフ

チコノフ空間(または完全に正則なハウスドルフ空間、完全に T ₃空間、T _3.5空間) は、完全に正則な T ₀空間です。(完全に正則な空間は、T ₀である場合にのみハウスドルフであるため、用語は一貫しています。) すべてのチコノフ空間は正則なハウスドルフです。

超接続

2つの空でない閉集合が互いに素でない場合、その空間は超連結である。^[13]すべての超連結空間はパス連結である。

ウルトラメトリック

計量が超計量であるとは、三角不等式の次のより強いバージョンを満たす場合です。M内のすべてのx、y、zに対して、d ( x、z ) ≤ max( d ( x、y )、d ( y、z ))。

一様同型性

XとY が一様空間である場合、 XからYへの一様同型は、 fとf ⁻¹が一様連続となるような全単射関数f  : X → Yです。このとき、これらの空間は一様同型であるとされ、同じ一様特性を共有します。

統一可能/ 統一可能

空間は均一化可能であり、均一空間に同相である場合にその空間は均一化可能である。

均一空間

均一空間とは、次の公理を満たす直積X × Xの部分集合の空でない集合Φを備えた集合Xである。

1. U がΦ に含まれる場合、U には{ ( x , x ) | x in X } が含まれます。
2. Uが Φ に含まれる場合、{ ( y , x ) | ( x , y ) in U } も Φ に含まれる
3. Uが Φ に属し、V がU を含むX × Xの部分集合である場合、V はΦ に属する。
4. UとVがΦに属する場合、U∩VはΦに属する
5. U がΦ に含まれる場合、 Φ に含まれるV が存在し、 ( x , y ) と ( y , z ) がVに含まれるときは常に ( x , z ) がUに含まれる。

Φ の要素は、側近と呼ばれ、 Φ 自体はX上の均一構造と呼ばれます。均一構造は、 X上の位相を誘導します。この位相では、 xの基本近傍は、U ∈Φ に対して { y  : ( x , y )∈ U }という形式の集合です。

均一な構造

均一空間を参照してください。

弱いトポロジー

集合上の弱い位相は、その集合から位相空間への関数の集合に関して、すべての関数を連続にする集合上の最も粗い位相である。

弱いトポロジー

「粗いトポロジー」を参照してください。一部の著者、特にアナリストは「強いトポロジー」という用語を使用するので注意してください。

弱可算コンパクト

すべての無限部分集合に極限点がある場合、その空間は弱可算コンパクト（または極限点コンパクト）である。

遺伝性が弱い

空間の性質が弱遺伝的であるとは、空間がその性質を持つときはいつでも、その空間のすべての閉じた部分空間もその性質を持つ場合を言います。たとえば、コンパクト性とリンデレーフの性質はどちらも弱遺伝的性質ですが、どちらも遺伝的ではありません。

重さ

空間 Xの重みは、 X が基数 κ を基底とする最小の基数κです。(位相全体が基底を形成し、基数のクラスが整列しているため、このような基数が存在することに注意してください。)

良好なコネクション

「超接続」を参照してください。(一部の著者は、この用語を超接続コンパクト空間のみに使用しています。)

ゼロ次元

空間が0次元であるとは、その空間が閉開集合の基底を持つ場合である。^[26]

• 集合と関数に関する定義については、素朴集合論、公理集合論、および関数を参照してください。
• 主題領域の簡単な歴史と説明についてはトポロジーをご覧ください
• 基本的な定義と例のための位相空間
• 一般的なトポロジーのトピックのリスト
• 一般位相幾何学の例の一覧

トポロジ固有の概念

• コンパクトなスペース
• つながる空間
• 連続
• メートル法空間
• 分離されたセット
• 分離公理
• 位相空間
• 均一空間

その他の用語集

• 代数的位相幾何学の用語集
• 微分幾何学と位相幾何学の用語集
• 数学の分野用語集
• リーマン幾何学と計量幾何学の用語集

• ハート、クラース・ピーター。永田純一；ヴォーン、ジェリー E. (2004)。一般的なトポロジーの百科事典。エルゼビア。ISBN 978-0-444-50355-8。
• クネン、ケネス、ヴォーン、ジェリー E. 編 (1984)。集合論的位相学ハンドブック。ノースホランド。ISBN 0-444-86580-2。
• 永田純一（1985）。現代の一般的なトポロジ。北オランダ数学図書館。 Vol. 33 (改訂第 2 版)。アムステルダム - ニューヨーク - オックスフォード: 北オランダ。ISBN 0080933793.ZBL0598.54001  。​
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J. アーサー・ジュニア(1978)。位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-486-68735-3. MR  0507446。
• ビッカース、スティーブン(1989)。トポロジー ビア ロジック。ケンブリッジ理論計算機科学論文集。第 5 巻。ISBN 0-521-36062-5.ZBL0668.54001  。​
• ウィラード、スティーブン (1970)。一般位相幾何学。アディソン・ウェズレー数学シリーズ。マサチューセッツ州レディング:アディソン・ウェズレー。ISBN 978-0-201-08707-9.ZBL0205.26601  。​ドーバー復刻版としても入手可能。

• トポロジーの定義の用語集