集合の族

集合論および関連する数学分野では、「ファミリー」または「コレクション」は、集合、インデックス付き集合、多重集合、タプル、またはクラスを意味するために使用されます。通常、「集合のファミリー」のようなフレーズで使用されます。なぜなら、「集合の集合」を使用すると、その後の「集合」の使用が、包含集合なのか、メンバー集合のいずれかなのかが混乱する可能性があるからです。一般的な使用例は、「ある集合Sの部分集合のファミリー」です。集合のファミリーは、集合ファミリーまたは集合システムとも呼ばれます。有限集合の部分集合の有限ファミリー。${\displaystyle S}$はハイパーグラフとも呼ばれる。極値集合論の主題は、特定の制約を満たす集合族の最大および最小の例に関するものである。

与えられた集合のすべての部分集合の集合${\displaystyle S}$は、​${\displaystyle S}$は で表されます。${\displaystyle \wp (S)}$⁠ .パワーセット${\displaystyle \wp (S)}$与えられた集合の${\displaystyle S}$は上の集合の族である${\displaystyle S}$⁠ .

サブセット${\displaystyle S}$持っている${\displaystyle k}$要素は${\displaystyle k}$- のサブセット⁠${\displaystyle S}$⁠ . その${\displaystyle k}$-部分集合${\displaystyle S^{(k)}}$集合の${\displaystyle S}$集合の族を形成する。

させよう${\displaystyle S=\{a,b,c,1,2\}}$⁠。集合族の例${\displaystyle S}$（多重集合の意味で）は次のように与えられる。${\displaystyle F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\}}$⁠、そこで⁠${\displaystyle A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\}}$⁠、そして⁠${\displaystyle A_{4}=\{a,b,1\}}$⁠ .

クラス${\displaystyle \operatorname {Ord} }$すべての順序数は、大きな集合族です。つまり、それ自体は集合ではなく、真のクラスです。

集合の部分集合の任意の族${\displaystyle S}$それ自体は冪集合の部分集合である${\displaystyle \wp (S)}$重複する要素がない場合。

重複のない集合の族は、すべての集合の真クラス（宇宙）のサブクラスである。

フィリップ・ホールによるホールの結婚定理は、空でない有限集合族（重複可）が異なる代表のシステムを持つための必要十分条件を与える。

もし$\displaystyle {\mathcal {F}}}$集合の族であれば${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}}F}$は、 のすべての集合の和集合を表します。$\displaystyle {\mathcal {F}}}$特に、​${\displaystyle \cup \varnothing =\varnothing }$家族なら誰でも$\displaystyle {\mathcal {F}}}$セットのファミリーは$\displaystyle \cup \mathcal {F}}$また、任意のスーパーセット上のファミリーでもある。$\displaystyle \cup \mathcal {F}}$⁠ .

の家族の痕跡$\displaystyle {\mathcal {F}}}$サブセットの${\displaystyle S}$部分集合について${\displaystyle T\subseteq S}$は${\displaystyle \{A\cap T,A\in {\mathcal {F}}\}}$。

数学の他の分野におけるある種の対象は、集合の族と同等である。なぜなら、それらはある種の対象の集合の集まりとして純粋に記述できるからである。

• ハイパーグラフ（集合システムとも呼ばれる）は、頂点の集合と、任意の集合であるハイパーエッジの集合によって構成される。ハイパーグラフのハイパーエッジは集合の族を形成し、任意の集合の族は、それらの集合の和集合を頂点とするハイパーグラフとして解釈できる。
• 抽象単体複体とは、線分、三角形、四面体、および高次元単体を面と面を合わせて結合して形成される形状である単体複体の概念を組み合わせ論的に抽象化したものです。抽象単体複体では、各単体は単にその頂点の集合として表されます。重複のない有限集合の族で、その族内の任意の集合の部分集合もその族に属するものは、抽象単体複体を形成します。
• 連結構造は、点の集合、線の集合、およびどの点がどの線に属するかを指定する（任意の）二項関係（連結関係と呼ばれる）から構成されます。連結構造は、集合の族（たとえ2つの異なる線が同じ点の集合を含んでいても）、各線に属する点の集合によって指定することができ、任意の集合の族はこのように連結構造として解釈できます。
• バイナリブロックコードは、それぞれが同じ長さの0と1の文字列である符号語の集合から構成されます。各符号語のペアのハミング距離が大きい場合、誤り訂正符号として使用できます。ブロックコードは、各符号語を1を含む位置の集合として記述することで、集合の族として記述することもできます 。
• 位相空間は、${\displaystyle (X,\tau )}$どこ${\displaystyle X}$は集合（その要素は点と呼ばれる）であり、$\displaystyle \tau }$は上のトポロジーです。${\displaystyle X}$⁠ は、上の集合の族（その要素は開集合と呼ばれる）で${\displaystyle X}$空集合も含む${\displaystyle \varnothing }$そして${\displaystyle X}$それ自体であり、任意の集合の和集合と有限集合の共通部分に関して閉じている。

スペルナー族とは、どの集合も他のどの集合も含まない集合族のことである。スペルナーの定理は、スペルナー族の最大サイズを制限する。

ヘリー族とは、空集合の共通部分を持つ任意の最小部分族のサイズが有限であるような集合族のことである。ヘリーの定理は、有限次元のユークリッド空間における凸集合はヘリー族を形成すると述べている。

抽象単体複体は集合族である${\displaystyle F}$（有限集合からなる）下方閉集合である。すなわち、集合のすべての部分集合は${\displaystyle F}$また、${\displaystyle F}$マトロイドは、拡張特性と呼ばれる追加特性を持つ抽象的な単体複体です。

すべてのフィルターは集合の集合である。

凸性空間とは、（包含関係に関して）任意の鎖の交差と和集合に関して閉じている集合族のことである。

集合族の他の例としては、独立システム、グリードイド、アンチマトロイド、ボルノロジー空間などがある。

• 集合の代数– 集合に関する恒等式と関係 
• クラス（集合論）– 数学における集合の集まりで、その要素の性質に基づいて定義できるもの 
• 組み合わせ設計– 有限集合の対称的な配置 
• δ環– 数えられる交点に関して閉じた環 
• 集合体– 測度論における代数的概念であり、集合の代数とも呼ばれる。 
• 一般化量化子– 形式意味論において集合の集合を表す式 
• インデックス付きファミリー– インデックスセットに関連付けられたオブジェクトの集合 
• λシステム（ディンキンシステム）– 補集合と可算個の非交和に関して閉じた族 
• π系– 交差に関して閉じている集合の族 
• 集合の環– 結合と相対補集合に関して閉じた族 
• ラッセルのパラドックス– 集合論におけるパラドックス（または、自身を含まない集合の集合） 
• σ代数– 集合代数の代数的構造 
• σ環– 可算和集合に関して閉じている集合の族 

• ビッグス、ノーマン L. (1985)、『離散数学』、オックスフォード：クラレンドン・プレス、ISBN 0-19-853252-0
• ブルアルディ、リチャード A. (2010)、『入門組合せ論』（第 5 版）、アッパー サドル リバー、ニュージャージー州：プレンティス ホール、ISBN 978-0-13-602040-0
• フレッド・S・ロバーツ; Tesman、Barry (2009)、Applied Combinatorics (第 2 版)、ボカラトン: CRC Press、ISBN 978-1-4200-9982-9

• ウィキメディア・コモンズにあるセト族に関連するメディア