位相空間 の 部分集合は、 その 閉包の 内部 に等しいとき、 正則開集合と 呼ばれる 。記号的に表現すると、 の場合 、または、同値として、 の場合である。 ここで 、 と は、それぞれ [1] の 内部、閉包、 境界を表す。
S
{\displaystyle S}
バツ
{\displaystyle X}
中級 （
S ¯
） = S
{\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=S}
∂ （
S ¯
） = ∂ S 、
{\displaystyle \partial ({\overline {S}})=\partial S,}
中級 S 、
{\displaystyle \operatorname {Int} S,}
S ¯
{\displaystyle {\overline {S}}}
∂ S
{\displaystyle \partial S}
S 。
{\displaystyle S.}
の 部分集合は、 その内部の閉包と等しいとき、 正則閉集合 と呼ばれる。記号的に表現すると、 の場合 、または、同値として、 の場合、である [1]
S
{\displaystyle S}
バツ
{\displaystyle X}
中級 S
¯
= S
{\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}
∂ （ 中級 S ） = ∂ S 。
{\displaystyle \partial (\operatorname {Int} S)=\partial S.}
例 が通常の ユークリッド位相 を持つ場合 、開集合は 正則開集合ではない。なぜなら、 の すべての 開区間 は正則開集合であり、すべての非退化閉区間（つまり、少なくとも2つの異なる点を含む閉区間）は正則閉集合であるからである。単集合は の閉部分集合である が、その内部が空集合であるため正則閉集合ではない 。
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
S = （ 0 、 1 ） ∪ （ 1 、 2 ）
{\displaystyle S=(0,1)\cup (1,2)}
中級 （
S ¯
） = （ 0 、 2 ） ≠ S 。
{\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=(0,2)\neq S.}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
{ x }
{\displaystyle \{x\}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∅ 、
{\displaystyle \varnothing,}
中級 { x }
¯
=
∅ ¯
= ∅ ≠ { x } 。
{\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} \{x\}}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \neq \{x\}.}
プロパティ の部分集合が 正則開集合となるのは、 におけるその補集合 が正則閉集合となる場合のみである。 [2] すべての正則開集合は 開集合であり、すべての正則閉集合は 閉集合 である 。
バツ
{\displaystyle X}
バツ
{\displaystyle X}
の 各 閉開部分集合 （ および それ自身を含む）は、同時に正規開部分集合であると同時に正規閉部分集合でもある。
バツ
{\displaystyle X}
∅
{\displaystyle \varnothing }
バツ
{\displaystyle X}
の閉部分集合の内部は の正規開部分集合であり 、同様に の開部分集合の閉包は の正規閉部分集合である [2] 2 つの正規開集合の共通部分（必ずしも和集合ではない）は正規開集合である。同様に、2 つの正規閉集合の和集合（必ずしも共通部分ではない）は正規閉集合である [2]
バツ
{\displaystyle X}
バツ
{\displaystyle X}
バツ
{\displaystyle X}
バツ 。
{\displaystyle X.}
におけるすべての正則開集合の集合は 完全なブール代数を 形成する 。 結合 演算は次 の ように与えられ 、補集合は 次のように与えられる。
バツ
{\displaystyle X}
あなた ∨ 五 = 中級 （
あなた ∪ 五
¯
） 、
{\displaystyle U\vee V=\operatorname {Int} ({\overline {U\cup V}}),}
あなた ∧ 五 = あなた ∩ 五
{\displaystyle U\land V=U\cap V}
¬ あなた = 中級 （ バツ ∖ あなた ） 。
{\displaystyle \neg U=\operatorname {Int} (X\setminus U).}
参照
注記
^ スティーン＆ゼーバッハ、6ページ ^ abc Willard、「3D、正則開集合と正則閉集合」、p. 29
参考文献 Lynn Arthur Steen および J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, New York, 1978. Dover Publications, New York, 1995 により再版。ISBN 0-486-68735 -X (Dover 版)。 ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。 ミネオラ、ニューヨーク ： ドーバー 出版 。ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240. 
