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位相幾何学において、ドンスハットは、立体三角形の3辺を1辺の向きを逆にして貼り合わせることで形成されるコンパクトな 位相空間である。単純に反対方向を向いた2辺を貼り合わせると、ドンスキャップによく似た円錐が得られるが、3辺目を貼り合わせると、キャップの底辺が底辺と点を結ぶ線と同一視される。[1]
名前
この名前は、 ECゼーマンに由来しています。彼は、閉じた単位区間との直積をとった後の任意の収縮可能な2次元複合体（例えば、ドンスハット）は収縮可能であるように見えることを観察しました。[1]この観察はゼーマン予想[2]として知られるようになり、ゼーマンによってポアンカレ予想を意味することが示されました。[1]
プロパティ
ダンスハットは収縮可能だが、折り畳み可能ではない。収縮可能性は、ダンスハットが3次元球に埋め込まれ、3次元球の変形がダンスハットに引き込まれることに注目すれば簡単にわかる。あるいは、ダンスハットは、2次元セルの境界を円に接着することによって得られるCW複合体であることにも注意されたい。接着写像は円上の恒等写像にホモトピー的であるため、複合体は円板とホモトピー同値である。対照的に、自由面がないため折り畳み可能ではない。[1]
参照
参考文献
- ^ abcd Zeeman, EC (1964). 「愚か者の帽子について」.トポロジー. 2 (4): 341–358. doi :10.1016/0040-9383(63)90014-4.
- ^ マトヴェエフ、セルゲイ (2007)。「1.3.4 ゼーマンの崩壊予想」。3次元多様体のアルゴリズム的位相と分類。数学におけるアルゴリズムと計算。第9巻。シュプリンガー。pp. 46–58。ISBN 9783540458999。