連続的にコンパクトな空間

数学において、位相空間 Xが順次コンパクトであるとは、 X内のすべての点の列に、X内の点に収束する収束部分列が存在する場合を指します。 ${\displaystyle X}$

あらゆる距離空間は自然に位相空間であり、距離空間の場合、コンパクト性とシーケンシャルコンパクト性の概念は同等です（可算選択を仮定した場合）。ただし、コンパクトではないシーケンシャルコンパクト位相空間と、シーケンシャルコンパクトではないコンパクト位相空間が存在します。

標準位相を持つすべての実数の空間は順次コンパクトではありません。すべての自然数に対してによって与えられる数列は、収束する部分列を持たない数列です。 ${\displaystyle (s_{n})}$${\displaystyle s_{n}=n}$ ${\displaystyle n}$

空間が距離空間である場合、それがコンパクトであるときのみ、それは順次コンパクトである。^[1]順序位相を持つ最初の非可算順序数は、コンパクトではない順次コンパクト位相空間の例である。閉じた単位区間のコピーの積は、順次コンパクトではないコンパクト空間の例である。^[2]${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$

位相空間は、のすべての無限部分集合が に極限点を持つとき極限点コンパクトであると言われ、すべての可算開被覆が有限部分被覆を持つとき可算コンパクトであると言われます。距離空間では、逐次コンパクト性、極限点コンパクト性、可算コンパクト性、コンパクト性の概念はすべて同等です (選択公理 を仮定する場合)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

順次（ハウスドルフ）空間では、順次コンパクト性は可算コンパクト性と同等である。^[3]

1点逐次コンパクト化という概念もあり、これは非収束シーケンスがすべて追加点に収束するという考え方である。^[4]

• ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 – 有限次元ユークリッド空間の有界列には収束する部分列がある
• フレシェ・ウリゾーン空間 – 位相空間の性質
• シーケンスカバーマップ
• シーケンシャル空間 – シーケンスによって特徴付けられる位相空間

• マンクレス、ジェームズ(1999)。トポロジー(第 2 版)。プレンティス ホール。ISBN 0-13-181629-2。
• Steen, Lynn A.およびSeebach, J. Arthur Jr. ; Counterexamples in Topology、 Holt, Rinehart and Winston (1970)。ISBN 0-03-079485-4。 
• ウィラード、スティーブン（2004）。一般位相幾何学。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。