可算連鎖条件

順序理論では、半順序集合 X は、X内のすべての強い反連鎖が可算である場合に、可算連鎖条件を満たす、またはcccであると言われます。

実際には、上向き可算連鎖条件と下向き可算連鎖条件の2 つの条件があります。これらは同等ではありません。可算連鎖条件は下向き可算連鎖条件を意味します。つまり、2 つの要素に共通の下限はありません。

これは、位相空間内の特定の開集合の連鎖や完全ブール代数の連鎖に関連した歴史的な理由から、より論理的な用語である「可算反連鎖条件」ではなく「可算連鎖条件」と呼ばれています。これらの連鎖条件は、連鎖条件が反連鎖条件と等価になることがあります。たとえば、κ が基数である場合、完全ブール代数では、κ の降順シーケンスの要素が存在しない場合にのみ、すべての反連鎖のサイズが κ 未満になるため、連鎖条件は反連鎖条件と等価になります。

部分順序と ccc を満たす空間は、マーティンの公理の記述で使用されます。

強制理論では、ccc 部分順序が使用されます。これは、そのような順序で任意の一般集合を強制すると、基数と共終性が保存されるためです。さらに、ccc プロパティは有限サポート反復によって保存されます (反復強制を参照)。強制のコンテキストでの ccc の詳細については、「強制 (集合論) § 可算連鎖条件」を参照してください。

より一般的には、κ が基数である場合、すべての反鎖のサイズが κ 未満であれば、poset はκ-鎖条件(κ-cc とも表記) を満たすと言われます。可算鎖条件は ℵ ₁ -鎖条件です。

位相空間は、 Xの空でない開部分集合の部分順序集合が可算連鎖条件を満たす場合、つまり、 Xの空でない開部分集合のペアワイズ分離集合がすべて可算である場合、可算連鎖条件またはススリンの条件を満たすと言われます。名前は ススリンの問題に由来しています。

• すべての可分位相空間はccc です。さらに、最大で可分空間の積空間は可分空間であり、したがって ccc です。${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$
• 距離空間は、分離可能な場合にのみ ccc です。
• 一般に、ccc 位相空間は分離可能である必要はありません。たとえば、積位相はccc ですが、分離可能ではありません。${\displaystyle \{0,1\}^{2^{2^{\aleph _{0}}}}}$
• パラコンパクト ccc 空間はLindelöfです。
• ccc 位相空間の例としては実数直線が挙げられます。