完全なブール代数

数学において、完全ブール代数は、すべての部分集合が上限（最小の上限）を持つブール代数です。完全ブール代数は、強制理論における集合論のブール値モデルの構築に使用されます。すべてのブール代数Aには、本質的に唯一の完備化、つまり、すべての要素がAのある部分集合の上限であるようなA を含む完全ブール代数があります。部分的に順序付けられた集合として、 Aのこの完備化はデデキント-マクニール完備化です。

より一般的には、κ が基数である場合、 κ 未満の基数のすべての部分集合に上限があるとき、 ブール代数はκ 完全であると呼ばれます。

• すべての有限ブール代数は完全です。
• 与えられた集合の部分集合の代数は完全なブール代数です。
• 任意の位相空間の正規開集合は、完全なブール代数を形成します。この例は、すべての強制ポセットが位相空間 (指定された要素以下のすべての要素の集合である集合で構成される位相の基底)と見なすことができるため、特に重要です。対応する正規開代数を使用して、ブール値モデルを形成できます。これは、指定された強制ポセットによる一般的な拡張と同等です。
• σ-有限 測度空間のすべての測度可能部分集合の代数は、空集合を法として、完全なブール代数である。測度空間がルベーグ測度可能集合のσ-代数を持つ単位区間である場合、ブール代数はランダム代数と呼ばれる。
• 可算基数を持つ位相空間内の希薄集合を法とするすべてのベール集合のブール代数は完全である。位相空間が実数である場合、この代数はカントール代数と呼ばれることがある。

• 有限であるか有限の補集合を持つ無限集合のすべての部分集合の代数はブール代数ですが、完全ではありません。
• 測度空間のすべての測定可能な部分集合の代数は ℵ ₁完全ブール代数ですが、通常は完全ではありません。
• 完全ではないブール代数の別の例としては、有限部分集合のイデアルFinで割った自然数のすべての集合のブール代数 P(ω) があります。結果として得られるオブジェクトは P(ω)/Fin と表記され、自然数のすべての集合の同値類で構成されます。ここで、関連する同値関係は、2 つの自然数集合は対称差が有限であれば同値である、というものです。ブール演算は同様に定義されます。たとえば、AとBが P(ω)/Fin の 2 つの同値類である場合、を の同値類と定義します。ここで、aとbはそれぞれAとBの何らかの (任意の) 要素です。${\displaystyle A\land B}$${\displaystyle a\cap b}$

ここで、a ₀、a ₁、…を自然数の互いに素な無限集合とし、A ₀、  A ₁、…をP(ω)/Finにおけるそれらの対応する同値類とします。すると、 P(ω)/FinにおけるA ₀、  A ₁ 、…の任意の上限Xが与えられた場合、 Xの代表値から各a _nの1つの要素を削除することで、より小さい上限を見つけることができます。したがって、 A _{n に}は上限がありません。

• 定義により、完全なブール代数のすべての部分集合には上限があります。したがって、すべての部分集合には下限(最大の下限) もあります。
• 完全なブール代数の場合、両方の無限分配法則は、それが何らかの集合のべき集合に同型である場合にのみ成立します。^{[引用が必要]}
• 完全なブール代数では、無限ド・モルガンの法則が成り立ちます。
• ブール代数は、その素イデアルのストーン空間が極限的に不連続である場合に限り完全である。

• シコルスキーの拡張定理は、Aがブール代数Bの部分代数である場合、 Aから完全なブール代数Cへの任意の準同型は、 BからCへの射に拡張できることを述べています。

ブール代数の完成は、いくつかの同等の方法で定義できます。

• Aの完備化とは、（同型性を除いて） AがBに稠密であるようなA を含む唯一の完全なブール代数Bです。これは、 Bのすべての非ゼロ要素に対して、より小さいAの非ゼロ要素が存在することを意味します。
• Aの完備化とは、（同型性を除いて） Bのすべての要素がAのある部分集合の上限となるようなA を含む唯一の完全なブール代数B のことです。

ブール代数Aの完成は、いくつかの方法で構築できます。

• 完備化は、 Aの素イデアルのストーン空間における正則開集合のブール代数である。 Aの各元x は、 x を含まない素イデアルの開集合（開いていて閉じているため正則）に対応する。
• 完備化は、 Aの正則カットのブール代数です。ここで、カットはA ^{+ (} Aのゼロでない元)のサブセットUであり、 q がUに含まれ、p  ≤  qであればpもUに含まれ、 p がUに含まれない場合は必ずr  ≤  pが存在し、 U にr ≤ の要素が存在しない 場合に正則であるといいます。 Aの各元p は、元 ≤ pのカットに対応します 。

Aが距離空間でB がその完備化である場合、 Aから完全な距離空間Cへの任意の等長写像は、 BからCへの唯一の等長写像に拡張できます。完全なブール代数に対する同様の記述は正しくありません。ブール代数Aから完全なブール代数Cへの準同型写像は、必ずしもAの完備化BからCへの完全ブール代数の (上限保存) 準同型写像に拡張できるわけではありません。(シコルスキーの拡張定理により、 BからCへのブール代数の準同型写像に拡張できますが、これは一般に完全なブール代数の準同型にはなりません。言い換えると、上限を保存する必要がないということです。)

選択公理が緩和されない限り、^[1] 集合によって生成される自由完全ブール代数は存在しない (集合が有限でない限り)。より正確には、任意の基数 κ に対して、κ より基数が 2 ^κ大きい完全ブール代数が存在します。これは可算な部分集合によって完全ブール代数として生成されます。たとえば、積空間κ ^ω内の正則開集合のブール代数です。ここでκ は離散位相を持ちます。可算な生成集合は、m、n の整数に対してすべての集合a _m、nで構成され、 x ( m ) <  x ( n )となる要素x  ∊  κ ^ωで構成されます。(このブール代数は、強制すると基数 κ が ω に収縮するため、 収縮代数と呼ばれます。)

特に、完全ブール代数から集合への忘却関手は連続であり、ブール代数のカテゴリが小完全であるにもかかわらず、左随伴関数を持ちません。これは、 Freyd の随伴関手定理の「解集合条件」が必要であることを示しています。

集合Xが与えられた場合、この集合によって生成される自由ブール代数Aを形成し、その完備化Bをとることができます。しかし、B はXによって生成される「自由」な完全ブール代数ではありません( Xが有限であるか AC が省略されている場合を除きます)。これは、Xから自由ブール代数Cへの関数は、一般にBからCへのブール代数の (上限保存) 射に拡張できないためです。

一方、任意の固定された基数 κ に対して、任意の与えられた集合によって生成される自由 (または普遍的) κ 完全ブール代数が存在します。

• 完全な格子
• 完全なヘイティング代数

• ジョンストン、ピーター T. (1982)。『ストーンスペース』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-33779-8。
• Koppelberg, Sabine (1989)。Monk, J. Donald; Bonnet, Robert (編)。ブール代数ハンドブック。第 1 巻。アムステルダム: North-Holland Publishing Co. pp. xx+ 312。ISBN 0-444-70261-X. MR  0991565。
• モンク、J. ドナルド、ボネット、ロバート編 (1989)。ブール代数ハンドブック。第 2 巻。アムステルダム: North-Holland Publishing Co. ISBN 0-444-87152-7. MR  0991595。
• モンク、J. ドナルド、ボネット、ロバート編 (1989)。ブール代数ハンドブック。第 3 巻。アムステルダム: North-Holland Publishing Co. ISBN 0-444-87153-5. MR  0991607。
• Stavi, Jonathan (1974). 「無限自由完全ブール代数を持つ ZF モデル」.イスラエル数学ジャーナル. 20 (2): 149–163. doi :10.1007/BF02757883. S2CID  119543439.
• ウラジミロフ、DA (2001) [1994]、「ブール代数」、数学百科事典、EMS プレス