散らばった空間

数学において、散在空間とは、空でない稠密な部分集合を含まない位相空間 Xのことである。^{[1] [2]同様に、} Xの 空でない部分集合A はすべてA内の孤立点を含む。

位相空間の部分集合は、それが部分空間位相を持つ散在空間である場合、散在集合と呼ばれます。

• あらゆる個別の空間が散在しています。
• 順序位相を持つすべての順序数は散在しています。実際、すべての空でない部分集合Aには最小要素が含まれており、その要素はA内で孤立しています。
• 特定の点位相、特にシェルピンスキー空間を持つ空間X は散在しています。これは、 T ₁空間ではない散在空間の例です。
• 散在集合の閉包は、必ずしも散在しているわけではありません。たとえば、ユークリッド平面の 単位円内の可算無限離散集合A を考えます。この集合では、境界に近づくにつれて点がどんどん密になります。たとえば、原点を中心とし、半径が 1 にどんどん近づいていく一連のn角形の頂点の和集合を考えます。すると、 Aの閉包には半径 1 の円全体が含まれますが、これはそれ自体が密です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• 位相空間Xにおいて、稠密な部分集合の閉包は完全集合である。したがって、Xが散在するのは、空でない完全集合を含まない場合のみである。
• 散在空間のすべての部分集合は散在している。散在していることは遺伝的性質である。
• すべての散在空間XはT ₀空間です。(証明: X内の2 つの異なる点x、yが与えられた場合、そのうちの少なくとも 1 つ、たとえばxは 内で孤立します。つまり、X内にy を含まないxの近傍が存在することになります。)${\displaystyle \{x,y\}}$
• T ₀空間では、2 つの散在集合の和集合は散在する。^{[3] [4]}ここでは T ₀仮定が必要であることに注意する。たとえば、非離散位相の場合、、およびは両方とも散在しているが、それらの和集合 は孤立点を持たないため散在しない。${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle \{a\}}$${\displaystyle \{b\}}$${\displaystyle X}$
• すべての T ₁散乱空間は完全に分離されています。
  (証明: C がXの空でない連結部分集合である場合、 C にはC内で孤立した点x が含まれます。したがって、シングルトンはC内で開いており( xは孤立しているため)、C内で閉じています(T ₁プロパティのため)。Cは連結であるため、 と等しくなければなりません。これは、 Xのすべての連結成分が単一の点を持つことを示しています。)${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x\}}$
• 2番目に可算な散在空間は可算である。^[5]
• あらゆる位相空間Xは、完全集合と散在集合の互いに素な和集合として一意に表すことができる。 ^{[6] [7]}
• すべての 2 番目の可算空間X は、完全集合と可算な散在開集合の互いに素な和集合として一意に表すことができます。
  (証明:完全 + 散在分解と、2 番目の可算な散在空間に関する上記の事実、および 2 番目の可算な空間の部分集合が 2 番目の可算であるという事実を使用します。)
  さらに、第二の可算なXのすべての閉部分集合は、 Xの完全部分集合とXの可算な散在部分集合の互いに交わらない和集合として一意に表すことができます。^[8] これは特に任意のポーランド空間において成り立ち、カントル-ベンディクソンの定理の内容です。

• Engelking、Ryszard、『一般トポロジー』、ヘルダーマン出版ベルリン、1989 年。ISBN 3-88538-006-4 
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア( 1995) [1978].位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-486-68735-3. MR  0507446。
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]、一般位相幾何学（ 1970年版のドーバー再版）、アディソン・ウェズリー