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位相幾何学および関連する数学分野では、考察対象となる位相空間の種類に関して、しばしばいくつかの制約が設けられます。これらの制約の一部は、分離公理によって与えられます。これらは、アンドレイ・チホノフにちなんで、チホノフ分離公理と呼ばれることもあります。
分離公理は、集合論におけるような基本公理ではなく、特定の種類の位相空間を区別するために指定できる定義的な性質である。分離公理は、ドイツ語の「 Trennungsaxiom 」 （分離公理）にちなんで「T」の文字で表され、添え字の数値が増加するほど、より強い性質を示す。
分離公理の正確な定義は時代とともに変化してきた。特に古い文献では、著者によって各条件の定義が異なる場合がある。
分離公理そのものを定義する前に、位相空間における分離集合（および分離点）の概念に具体的な意味を与えます。（分離集合は、次節で定義する分離空間とは異なります。）
分離公理は、互いに素な集合や異なる点を区別するために位相的な手段を用いることに関するものです。位相空間の要素が互いに異なる（つまり、等しくない）だけでは十分ではありません。位相的に区別可能である必要がある場合もあります。同様に、位相空間の部分集合が互いに素であるだけでは十分ではありません。様々な方法で分離されている必要がある場合もあります。分離公理はすべて、何らかの弱い意味で区別可能または分離されている点や集合は、より強い意味でも区別可能または分離されている必要があることを、何らかの形で述べています。
X を位相空間とする。このとき、X 内の 2 つの点xとyは、それらがまったく同じ近傍(または同等に同じ開近傍)を持たない場合に位相的に区別可能である。つまり、少なくとも一方の点の近傍は他方の点の近傍ではない (または同等に、一方の点が属するが他方の点が属さない開集合が存在する)。つまり、少なくとも一方の点は他方の点の閉包に属さない。
2 つの点xとy は、それぞれが他方の近傍ではない近傍を持つ場合、つまり、どちらも他方の閉包に属さない場合、分離されているとみなされます。より一般的には、Xの2 つの部分集合AとB は、それぞれが他方の閉包と互いに素である場合に分離されているとみなされますが、閉包自体は互いに素である必要はありません。同等に、各部分集合は、他方の部分集合と互いに素な開集合に含まれています。集合の分離に関する残りのすべての条件は、単一集合を使用することで、点 (または点と集合) にも適用できます。点xとy は、近傍、閉近傍、連続関数、正確には関数によって分離されているとみなされますが、それは、それらの単一集合 { x } と { y } が対応する基準に従って分離されている場合に限ります。
部分集合AとB は、互いに素な近傍を持つ場合、近傍によって分離されます。互いに素な閉近傍を持つ場合、閉近傍によって分離されます。空間Xから実数直線Rへの連続関数fが存在し、A がf −1 ({0}) の逆像の部分集合であり、B が f −1 ({1}) の部分集合である場合、連続関数によって分離されます。最後に、Aがf −1 ({0}) に等しく、 Bがf −1 ( {1} ) に等しいような、 XからRへの連続関数f が存在する場合、連続関数によって正確 に分離されます。
これらの条件は、強さの順に並べると次のようになります。位相的に区別可能な任意の2つの点は互いに異なり、分離された任意の2つの点は位相的に区別可能でなければなりません。分離された任意の2つの集合は互いに素でなければならず、近傍によって分離された任意の2つの集合は分離されていなければならず、以下同様です。
これらの定義はすべて、基本的に上記の予備的な定義に基づいています。
これらの名称の多くは、数学文献によっては別の意味を持つ場合があります。例えば、「normal」と「T 4」の意味が入れ替わることがあり、同様に「regular」と「T 3」なども入れ替わります。また、多くの概念には複数の名称がありますが、最初に挙げられている名称が最も曖昧さが少ないと考えられます。
これらの公理のほとんどには、同じ意味を持つ別の定義が存在します。ここで示されている定義は、前のセクションで定義された様々な分離概念を関連付ける一貫したパターンに従っています。その他の定義については、各記事を参照してください。
以下のすべての定義において、Xは位相空間である。
次の表は、分離公理とそれらの間の含意をまとめたものです。結合されたセルは同等の特性を表し、各公理は左側のセルの公理を含意し、T 1公理を仮定すると、各公理はそれより上のセルの公理も含意します (たとえば、すべての正規 T 1空間は完全正則でもあります)。
T 0公理は、ある性質に加算できる（完全正則性＋ T 0はチコノフ公理となる）だけでなく、ある性質から減算することもできる（ハウスドルフ公理－ T 0は R 1となる）という点で特殊です。これはかなり厳密な意味で成り立ちます。詳しくはコルモゴロフ商を参照してください。分離公理に適用すると、左下の表に示すような関係が得られます。この表では、コルモゴロフ商演算を用いて、T 0の条件を追加することで右側から左側へ、またその条件を削除することで左側から右側へと移行します。（この表の左側に括弧で示されている名称は、一般的に曖昧であるか、少なくともあまり知られていませんが、下の図では使用されています。）
T 0の包含または除外を除き、分離公理間の関係は右の図に示されています。この図では、条件の非 T 0バージョンはスラッシュの左側に、T 0バージョンは右側に示されています。文字は次のように略記に使用されます。「P」＝「完全に」、「C」＝「完全に」、「N」＝「通常」、「R」（添え字なし）＝「普通」。黒丸は、その位置のスペースに特別な名前がないことを示します。下部のダッシュは、条件がないことを示します。
この図では、2 つの特性を組み合わせることができます。図を上方向にたどって、両方の枝が交わるまで進むと、2 つの特性が一致します。たとえば、空間が完全正規 ("CN") かつ完全ハウスドルフ ("CT 2 ") である場合、両方の枝を上方向にたどると、"•/T 5 "という点が見つかります。完全ハウスドルフ空間は T 0であるため(完全正規空間はそうでない場合もあります)、スラッシュの T 0側を取ります。したがって、完全正規完全ハウスドルフ空間は T 5空間と同じです(上の表に示すように、完全正規ハウスドルフ空間としてより明確に知られています)。
図からわかるように、正規性と R 0が組み合わさると、右側の枝にある多くのノードを通るため、他の多くの性質も暗示されます。これらの性質の中で最もよく知られているのは正則性であるため、正規性と R 0の両方を満たす空間は、一般的に「正規正則空間」と呼ばれます。やや似たような形で、正規性と T 1の両方を満たす空間は、曖昧な「T」表記を避けたい人々によって「正規ハウスドルフ空間」と呼ばれることがよくあります。これらの慣例は、他の正則空間やハウスドルフ空間にも一般化できます。
【注：この図は、完全に正常な空間が常に規則的であるということを反映していません。編集者は現在この点について修正作業中です。】
位相空間には、分離公理に分類されることもある他の条件がいくつかありますが、これらは通常の分離公理には完全には当てはまりません。定義以外はここでは説明しませんので、それぞれの項目を参照してください。