地域に密着した空間

位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 X は、すべての点が開連結集合からなる近傍基底を許容する場合に局所連結であるとされます 。

より強い概念として、すべての点が開路連結集合からなる近傍基底を許容する場合、空間X は局所的に路連結です。

位相幾何学の歴史を通じて、連結性とコンパクト性は、最も広く研究されてきた位相的性質の 2 つである。実際、ユークリッド空間の部分集合においてもこれらの性質が研究され、それらがユークリッド計量の特定の形式から独立していることが認識されたことは、位相的性質の概念、ひいては位相空間の概念を明確にする上で大きな役割を果たした。しかし、ユークリッド空間 のコンパクト部分集合の構造はハイン・ボレルの定理によってかなり早い時期に理解されていたのに対し、の連結部分集合( n > 1 の場合) ははるかに複雑であることが判明した。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間 は局所的にコンパクト であるが、連結空間 (およびユークリッド平面 の連結部分集合) は必ずしも局所的に連結している必要はない (以下を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

これにより、20 世紀前半には豊富な研究が生まれ、位相学者は、局所的に連結された空間という概念のますます微妙で複雑なバリエーション間の関係を研究しました。例として、ある点における局所連結性の概念と、それが局所連結性にどのように関係しているかについては、この記事の後半で説明します。

20 世紀後半には、研究の傾向は、局所的にはよく理解されている (ユークリッド空間に局所的に同相である) が、大域的な振る舞いが複雑な、多様体のような空間のより熱心な研究へと移っていった。これは、多様体の基本的な点集合位相は比較的単純である (概念のほとんどの定義によれば、多様体は本質的に距離化可能であるため) が、その代数的位相ははるかに複雑であることを意味する。この現代的な観点からは、局所パス連結性のより強い特性がより重要であることが判明している。たとえば、空間が普遍被覆を許容するには、その空間は連結かつ局所パス連結でなければならない。

空間が局所連結であるためには、すべての開集合Uに対して、 Uの連結成分（部分空間位相）が開である必要があります。これにより、たとえば、局所連結空間から完全に連結されていない空間への連続関数は、局所的に一定である必要があります。実際、成分の開性は非常に自然なので、一般には当てはまらないことを必ず念頭に置いておく必要があります。たとえば、カントール空間は完全に連結されていませんが、離散的ではありません。

を位相空間とし、を点とする。${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$

空間が^[1]で局所連結であるとは、のすべての近傍がの連結した開近傍を含む場合、つまり、点が連結した開集合からなる近傍基底を持つ場合である。局所連結空間^{[2] [1]}は、その空間の各点で局所連結している空間である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

局所的な連結性は連結性を意味するものではありません (たとえば、 の 2 つの互いに重ならない開区間を考えてみましょう)。また、連結性は局所的な連結性を意味するものではありません (位相幾何学者の正弦曲線を参照してください)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

空間がで局所的にパス連結であるとは、 ^[1]で言うと、 のすべての近傍がのパス連結な開近傍を含む、つまり、点がパス連結な開集合からなる近傍基底を持つ場合である。局所的にパス連結な空間^{[3] [1]}は、その空間の各点で局所的にパス連結な空間である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

局所的に経路連結な空間は局所的に連結である。逆は成り立たない（単位正方形上の辞書式順序位相を参照）。

空間が[ ^{4] [5]}で連結である、または^[6]で弱局所連結であるとは、 のすべての近傍が の連結な（必ずしも開ではない）近傍を含む、つまり、点が連結集合からなる近傍基数を持つ場合である。空間が弱局所連結であるとは、その空間の各点で弱局所連結である場合である。以下に示すように、この概念は実際には局所連結であることと同じである。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

で局所連結な空間は、 で連結である。 逆は成り立たない。例えば、特定の点で連結だが、その点で局所連結ではない、減少するほうき空間の無限和で示される。 ^{[7] [8] [9]} しかし、空間がその各点で連結している場合、その空間は局所連結である。^[10]${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

空間が^[5]においてパス連結であるとは、 のすべての近傍に のパス連結な（必ずしも開いているとは限らない）近傍が含まれる場合、つまり、 の近傍基数がパス連結な集合から成る場合を言う。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

で局所経路連結な空間は、 で経路連結である 。逆は成り立たないことは、上記と同じ減少ほうき空間の無限和で示される。しかし、空間が各点で経路連結である場合、その空間は局所経路連結である。^{[11] [より良い情報源が必要]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

1. 任意の正の整数nに対して、ユークリッド空間は局所経路連結であり、したがって局所連結であり、また連結でもある。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
2. より一般的には、各点には凸（したがって連結）近傍の局所基底があるため、すべての局所凸位相ベクトル空間は局所連結です。
3. 実数直線の部分空間は局所的にパス連結であるが連結ではない。${\displaystyle S=[0,1]\cup [2,3]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$
4. 位相幾何学者の正弦曲線は、連結ではあるが局所的には連結ではないユークリッド平面の部分空間である。^[12]
5. 標準的なユークリッド位相を備えた有理数空間は、連結でも局所連結でもありません。${\displaystyle \mathbb {Q} }$
6. 櫛形空間はパス連結ですが、局所的にはパス連結されておらず、局所的にも連結されていません。
7. 可算無限集合にコフィニティブ位相が備わっている場合、それは局所連結（実際は超連結）であるが、局所パス連結ではない。^[13]
8. 単位正方形上の辞書式順序位相は連結かつ局所連結であるが、パス連結でも局所パス連結でもない。^[14]
9. キルヒ空間は連結かつ局所連結ですが、パス連結ではなく、どの点でもパス連結ではありません。実際、パスは完全に連結されていません。

第一可算 ハウスドルフ空間 が局所的にパス連結であることと、それがすべての連続パスの集合によって誘導される最終位相に等しいことと同値である。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C([0,1];X)}$${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ).}$

1. 局所連結性は、定義により、位相空間の局所的性質、すなわち位相的性質Pであり、空間X が性質Pを持つのは、 X内の各点x が性質Pを持つ集合の近傍基底を持つ場合のみである。したがって、局所的性質が持つすべての「メタ特性」は、局所連結性にも当てはまる。具体的には、次のとおりである。
2. 空間が局所的に連結であるためには、(開いた)連結部分集合の基底を許容する必要があります。
3. 空間の族の互いに素な和集合 が局所連結であるためには、各空間が局所連結である必要があります。特に、1 つの点は確実に局所連結であるため、任意の離散空間は局所連結であることがわかります。一方、離散空間は完全に不連結であるため、点が 1 つ以下の場合にのみ連結です。${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$${\displaystyle X_{i}}$
4. 逆に、完全に分離した空間が局所的に連結であるのは、それが離散的である場合のみです。これは、有理数が局所的に連結されていないという前述の事実を説明するために使用できます。
5. 空でない積空間が局所連結であるためには、各積が局所連結であり、有限個を除くすべての積が連結である必要がある。^[15]${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$
6. すべてのハイパーコネクテッド スペースはローカルに接続され、接続されています。

次の結果は定義からほぼすぐに得られますが、非常に役立ちます。

補題: X を空間とし、Xの部分集合の族とする。が空でないとする。このとき、それぞれが連結(それぞれ、パス連結)であれば、和集合も連結(それぞれ、パス連結)である。^[16]${\displaystyle \{Y_{i}\}}$${\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle \bigcup_{i}Y_{i}}$

ここ で位相空間X上の 2 つの関係を考えます。${\displaystyle x,y\in X,}$

${\displaystyle x\equiv_{c}y}$xとy の両方を含むXの連結部分集合が存在する場合、そして

${\displaystyle x\equiv_{pc}y}$xとy の両方を含むXのパス接続された部分集合がある場合。

明らかに、両方の関係は反射的かつ対称的です。さらに、xとy が連結された（それぞれパス連結された）部分集合Aに含まれ、yとzが連結された（それぞれパス連結された）部分集合Bに連結されている場合、補題は がx、y 、およびzを含む連結された（それぞれパス連結された）部分集合であることを意味します。したがって、各関係は同値関係であり、Xの同値類への分割を定義します。これら 2 つの分割を順に検討します。 ${\displaystyle A\cup B}$

X内のxに対して、となるすべての点yの集合はxの連結成分と呼ばれる。^[17] 補題は がx を含むXの唯一の最大連結部分集合であることを意味している。^[18]の閉包もx を含む連結部分集合であるため、^{[19] [20]}は閉じていることがわかる。^[21]${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle y\equiv_{c}x}$${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle C_{x}}$

X が有限個の連結成分しか持たない場合、各成分は閉集合の有限和の補集合となり、したがって開集合となる。一般に連結成分は必ずしも開集合である必要はない。なぜなら、例えば、カントール空間のように離散的ではない、完全に連結されていない空間（すなわち、すべての点xに対して）が存在するからである。しかし、局所連結空間の連結成分も開集合であり、したがって閉開集合となる。^[22] したがって、局所連結空間X はその相異なる連結成分の位相的に互いに素な和集合となる。逆に、 Xのすべての開部分集合Uに対して、 Uの連結成分が開集合である場合、X は連結集合の基底を持つため、局所連結となる。^[23]${\displaystyle C_{x}=\{x\}}$${\displaystyle \coprod C_{x}}$

同様に、 Xのxにおいて、となるすべての点yの集合はxのパス成分と呼ばれる。^[24]上で述べたように、 はx を含むXのすべてのパス連結部分集合の和集合でもあるので、補題により はそれ自体がパス連結である。パス連結集合は連結であるため、すべての${\displaystyle PC_{x}}$${\displaystyle y\equiv_{pc}x}$${\displaystyle PC_{x}}$${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}}$${\displaystyle x\in X.}$

しかし、パス連結集合の閉包はパス連結である必要はありません。たとえば、位相幾何学者の正弦曲線は、x > 0であるすべての点(x,sin(x))からなる開部分集合Uの閉包であり、Uは実数直線上の区間に同相なので、確実にパス連結です。さらに、位相幾何学者の正弦曲線Cのパス成分は、開いているが閉じていないUと、閉じているが開いていない です。 ${\displaystyle C\setminus U,}$

空間が局所的にパス接続されているため、すべての開部分集合Uに対してUのパス成分が開いている。^{[24]したがって、局所的にパス接続されている空間のパス成分は、} Xを互いに素な対の開集合に分割する。したがって、局所的にパス接続されている空間の開接続された部分空間は、必然的にパス接続されている。 ^[25] さらに、空間が局所的にパス接続されている場合は、局所的にも接続されているため、すべて に対して は接続されていて開いているので、パス接続されている、つまり、つまり 、局所的にパス接続されている空間では、成分とパス成分が一致する。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$

1. 辞書順序位相における集合 ( )には、(連結されているため) ちょうど 1 つの成分しかありませんが、パス成分は無数にあります。実際、形式の任意の集合は、Iに属する各aのパス成分です。${\displaystyle I\times I}$${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle \{a\}\times I}$
2. をから への連続写像とします(これは下限位相にあります)。 は連結であり、連続写像 の下の連結空間の像は連結でなければならないため、の下のの像は連結でなければなりません。したがって、の下のの像はの成分のサブセットでなければなりません。この像は空でないため、 ' からへの唯一の連続写像は定数写像です。実際、連結空間から完全に連結されていない空間への連続写像は定数でなければなりません。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }/}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell },}$

X を位相空間とする。X上の第3の関係を定義する。Xが開集合AとBに分離されておらず、x が A の要素であり、y が B の要素である場合。これはX上の同値関係であり、x を含む同値類はxの準成分と呼ばれる。^[18]${\displaystyle x\equiv _{qc}y}$${\displaystyle QC_{x}}$

${\displaystyle QC_{x}}$は、 Xを含むすべての閉開集合Xの共通部分集合としても特徴付けられる。^[18]従って、は閉じているが、一般には開いている必要はない。 ${\displaystyle QC_{x}}$

明らかに、すべての^[18]について、全体として、 xにおけるパス成分、成分、および準成分の間に次の包含関係があります。 ${\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}}$${\displaystyle x\in X.}$$${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}$$

もしXが局所連結ならば、上記のように、はxを含む閉開集合なので、 局所パス連結性は局所連結性を意味するので、局所パス連結空間の すべての点xにおいて、${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$${\displaystyle QC_{x}=C_{x}.}$$${\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.}$$

準成分が成分と一致する空間のもう一つのクラスは、コンパクトハウスドルフ空間のクラスである。^[26]

1. 準成分がその成分と等しくない空間の例としては、二重極限点を持つシーケンスが挙げられます。この空間は完全に分離されていますが、両方の極限点は同じ準成分内にあります。なぜなら、どちらか一方を含む任意の閉開集合にはシーケンスの末尾が必ず含まれ、したがってもう一方の点も必ず含まれるからです。
2. 空間は局所コンパクトかつハウスドルフですが、集合とは同じ準成分にある 2 つの異なる成分です。${\displaystyle (\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle \{0\}\times [-1,0)}$${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$
3. アレンス・フォート空間は局所連結ではないが、それでも成分と準成分は一致する。実際、すべての点xに対して一致する。^[27]${\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}}$

• 局所的に単純に接続された空間
• 半局所的に単連結
• マンデルブロ集合は局所的に連結していると推測される

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