完全に計測可能な空間

数学において、完全距離化可能空間^{[ 1 ]}（距離的に位相的に完全な空間^{[ 2 ]}）とは、 ( X , T )上に少なくとも1つの距離dが存在し、( X , d )が完全距離空間であり、dが位相Tを誘導するような位相空間(X , T)のことである。これは、距離化可能空間の特殊な場合である。

位相的に完全な空間という用語は、一部の著者によって完全に距離化可能な空間の同義語として使用されていますが、^{[ 3 ]}完全に均一化可能な空間^{[ 4 ]}やチェフ完全空間などの他のクラスの位相空間にも使用されることがあります。

完全距離化可能空間と完全距離空間の区別は、完全距離化可能空間の定義における「少なくとも１つの距離が存在する」という表現にあり、これは「距離が与えられる」という表現とは異なります（後者であれば完全距離空間の定義になります）。完全距離化可能空間上で（位相と互換性のあるすべての完全距離の中から）距離を選択すると、完全距離空間が得られます。言い換えれば、完全距離化可能空間の圏は位相空間の圏の部分圏ですが、完全距離空間の圏はそうではありません（むしろ、距離空間の圏の部分圏です）。完全距離化可能性は位相的性質であり、完全性は距離の性質です。^{[ 5 ]}

• 空間(0,1) ⊂ Rは、開単位区間であり、Rから継承された通常の距離を持つ完全な距離空間ではありませんが、 Rと同相であるため完全に距離化可能です。^{[ 6 ]}
• Rから継承された部分空間位相を持つ有理数の空間Qは距離化可能だが、完全には距離化可能ではない。^{[ 7 ]}

• 位相空間X は、 X が距離化可能であり、かつそのStone–Čech コンパクト化β XにおいてG _δである場合に限り、完全に距離化可能である。^{[ 8 ]}
• 完全距離化可能な空間Xの部分空間は、それがXにおいてG _δである場合に限り、完全距離化可能である。^{[ 9 ]}
• 空でない距離化可能な空間の可算積は、各因子が完全に距離化可能である場合に限り、積位相において完全に距離化可能である。 ^{[ 10 ]}したがって、空でない距離化可能な空間の積は、高々可算個の因子が複数の点を持ち、かつ各因子が完全に距離化可能である場合に限り、完全に距離化可能である。^{[ 11 ]}
• すべての距離空間には完備化があるため、それを稠密部分空間として含む完全距離空間が存在します。^{[ 12 ]}一般に、位相空間の位相と互換性のある異なる距離に関する完備化は位相的に異なる完備化を与える可能性があるため、このような完全距離空間は多数存在します。

位相だけでなく、位相群のような構造も持つ空間について語る場合、「完全に計量可能」という言葉の自然な意味は、位相を誘導するだけでなく、その付加的な構造とも互換性のある完全な計量が存在することにあると言えるでしょう。アーベル位相群や位相ベクトル空間の場合、「付加的な構造と互換性がある」とは、計量が並進に対して不変であることを意味するかもしれません。

しかし、アーベル位相群や位相ベクトル空間が完全に距離化可能であることについて話す場合、混乱が生じることはありません。位相空間として完全に距離化可能な（つまり、その位相を誘導する完全な距離を持つ）すべてのアーベル位相群（したがってすべての位相ベクトル空間も）は、その位相を誘導する不変な完全な距離も持つことが証明できます。^{[ 13 ]}

これは例えば、すべての完全距離化可能な位相ベクトル空間が完備であることを意味する。実際、位相ベクトル空間は、その一様性（位相と加算演算によって誘導される）が完備である場合に限り、完備であると言われる。位相を誘導する並進不変な距離によって誘導される一様性は、元の一様性と一致する。

• 完全なメートル空間
• 完全に均一化可能な空間
• 計測可能な空間