コアコンパクトスペース

一般的に位相幾何学および関連する数学分野において、コアコンパクト位相空間${\displaystyle X}$は、半順序開集合の集合が連続半順序集合である位相空間である。^{[ 1 ]}同様に、${\displaystyle X}$位相空間の圏Topにおいて指数化可能であれば、コアコンパクトである。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}これは、関手が ${\displaystyle X\times -:{\bf {{Top}\to {\bf {Top}}}}}$右随伴空間 を持つ。同様に、各位相空間に対して${\displaystyle Y}$連続関数の集合上に位相が存在する $\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$関数適用${\displaystyle X\times {\mathcal {C}}(X,Y)\to Y}$は連続であり、各連続マップ ${\displaystyle X\times Z\to Y}$連続マップにカリー化される可能性がある ${\displaystyle Z\to {\mathcal {C}}(X,Y)}$. これは、以下の条件を満たす場合に限りコンパクトオープントポロジーであることに注意してください^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$は局所的にコンパクトである。（この記事では、局所的にコンパクトとは、すべての点がコンパクトな近傍の近傍基底を持つことを意味する。これは、リンク先の記事の定義（3）である。）

別の同等の具体的な定義は、すべてのオープンな近隣地域${\displaystyle U}$ある点の${\displaystyle x}$開放的な近隣地域を含む${\displaystyle V}$の${\displaystyle x}$それははるかに低い${\displaystyle U}$;${\displaystyle V}$はるかに下回る（または比較的コンパクト）${\displaystyle U}$すべての開いたカバーが${\displaystyle U}$有限部分被覆を含む${\displaystyle V}$[ ^{1 ]}その結果、すべての局所コンパクト空間はコアコンパクトである。ハウスドルフ空間（またはより一般的には、ソバー空間[ 5 ]）の場合^、コアコンパクト空間^{は局所コンパクト}と同等である。この意味で、定義は非ハウスドルフの場合の局所コンパクト空間の定義をわずかに弱めたものである。

• 「コアはコンパクトだが、ローカルはコンパクトではない」。Stack Exchange。2016年6月20日。