多項式空間

数学において、多項式空間は、離散空間のアレクサンドロフ一点コンパクト化の位相冪の連続関数による像である位相空間である。

多項空間は、1970年にS.Mrówkaによって二項空間の一般化として初めて研究されました。^[1]この理論はRH Marty、János Gerlits、Murray G. Bellによってさらに発展し、^[2]後者はより一般的な中心空間の概念を導入しました。^[1]

位相空間Xの部分集合Kは、 Kのすべての開被覆に有限部分被覆が含まれるときコンパクトであると言われる。 x がXの何らかのコンパクトな部分集合の内部にあるとき、点x ∈ Xにおいて局所コンパクトであると言われる。X が局所コンパクト空間であるとは、空間内のすべての点で局所コンパクトであることを意味する。^[3]

真部分集合A ⊂ Xは、閉包Ā = Xのとき稠密であるといわれる。可算で稠密な部分集合を持つ空間は可分空間と呼ばれる。

非コンパクトかつ局所コンパクトなハウスドルフ位相空間 に対して、アレクサンドロフの1点コンパクト化を、 と表記される集合 を持つ位相空間として定義する。ここで、 は以下のように定義される位相である: ^{[2] [4]}${\displaystyle (X,\tau _{X})}$${\displaystyle \left\{\omega \right\}\cup X}$${\displaystyle \omega X}$${\displaystyle \omega \notin X}$${\displaystyle \tau_{\omegaX}}$

• ${\displaystyle \tau_{X}\subseteq \tau_{\omegaX}}$
• ${\displaystyle X\setminus C\cup \left\{\omega \right\}\in \tau _{\omega X}}$あらゆるコンパクト部分集合に対して。${\displaystyle C\subseteq X}$

を離散位相空間とし、を のアレクサンドロフ一点コンパクト化とする。ハウスドルフ空間が多項式であるとは、ある基数に対して、連続射影関数 が存在するときである。ここで、 はをそれ自身に回乗じて得られる積空間である。^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle f:\omega X^{\lambda }\rightarrow P}$${\displaystyle \omega X^{\lambda}}$${\displaystyle \omega X}$${\displaystyle \lambda}$

離散位相を持つ自然数の集合を取る。そのアレクサンドロフの1点コンパクト化は である。写像を持つ 同相写像を選択して定義する。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle h:\omega \mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \left[0,1\right]}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} +\\0,&{\text{if }}x=\omega \end{cases}}}$

定義から、Heine-Borel を使用せずに、コンパクト性の定義から直接、イメージ空間が多項式かつコンパクトであることが分かります。 ${\displaystyle h[\omega \mathbb {Z} ]=\left\{0\right\}\cup \left\{1/n\,:\,n\in \mathbb {N} \right\}}$

^{あらゆる二項空間（カントール集合[6]}の連続像であるコンパクト空間）は多項空間である。^[7]

Xを可分コンパクト空間とする。Xが距離化可能な空間であれば、それは多項式である（逆もまた真である）。^[2]

空間の細胞性は ${\displaystyle c(X)}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle c(X)=\sup \left\{\vert B\vert :B{\text{ は }}X\right\}} の開集合の互いに素な集合である$$

空間のタイトネスは次のように定義されます。、 とします。 定義する と^[8]${\displaystyle t(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle p\in {\bar {A}}}$$${\displaystyle a(p,A):=\min \left\{\vert B\vert :p\in \mathrm {cl} _{X}(B),B\subset A\right\}}$$ $${\displaystyle t(p,X):=\sup \left\{a(p,A):A\subseteq X,p\in \mathrm {cl} _{X}(A)\right\}}$$${\displaystyle t(X):=\sup \left\{t(p,X):p\in X\right\}.}$

多項式空間の位相重みは 等式を満たす。^[9]${\displaystyle w(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w(X)=c(X)\cdot t(X)}$

を多項式空間とし、 とする。すると、かつとなる多項式空間が存在する。^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle P\subseteq X}$${\displaystyle A\subseteq P}$${\displaystyle c(P)\leq c(A)}$

多項式空間は、距離コンパクト空間を含み、積と連続像に関して閉じている位相空間の最小のクラスである。^[10]重みの多項式空間はすべて の連続像である。^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq 2^{\omega }}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$

位相空間がススリン性を持つとは、 の空でない開部分集合の対ごとに互いに素な無限個の族が存在しないことを意味する。^[11]がススリン性を持ち、多項式であるとする。このとき は二項式である。^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

をカバーするために必要な離散集合の最小数を とし、における空でない開集合の最小濃度を表すものとする。 が多項式空間である場合、 となる。^[9]${\displaystyle ディス(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle dis(X)\geq \Delta (X)}$

多項式空間の組合せ論におけるラムゼーの定理の類似物がある。これについて、ブール空間と多項式空間の関係を説明する。のすべての閉開集合の閉開代数をで表すとする。ブール空間を、基数が であるコンパクトなハウスドルフ空間として定義する。となる元をの生成集合と呼ぶ。 が最大で個の部分集合の和集合である場合、 は -非素集合であると言う。ここで、 のそれぞれについて、は最大で 個の濃度の非素集合である。がブール空間であり、 の生成集合が-非素であるための必要条件は、が の閉部分空間に同相である場合に限ることが、 Petr Simon によって証明された。^[8]ブール空間について Murray Bell によって述べられた多項式空間のラムゼーのような性質は、次のようになる。すべての無数の閉開集合には、連結または非連結のいずれかである無数の部分集合が含まれる。^[13]${\displaystyle CO(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle CO(X)}$${\displaystyle G\in CO(X)'}$${\displaystyle \langle \langle G\rangle \rangle =CO(X)}$${\displaystyle CO(X)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle G_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle G_{\alpha}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle CO(X)}$${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha \kappa ^{\tau }}$

空間 のコンパクト数 をがn 元閉部分基底を持つ最小の数と定義します。任意のコンパクト数を持つ多項式空間を構築できます。これを、1985 年に Murray Bell によって証明された 2 つの定理を使用して示します。 を集合のコレクションとし、 を集合とします。集合を、サイズ のすべての部分集合を、サイズが最大で のすべての部分集合を と表します。 およびすべての に対してである場合、は n 連結であるといいます。 のすべての n 連結部分集合に空でない共通部分がある場合、 はn 元であるといいます。 がn 元である場合、 も n 元であり、したがって を持つすべての空間にはを持つ閉じた n 元部分基底があることに留意してください。コンパクト空間 の閉じた部分集合のコレクションが閉じた部分基底であるための必要十分条件は、開集合 のすべての閉集合 に対して、かつ となる有限が存在する場合です。^[14]${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{\bigcap {\mathcal {F}}:{\mathcal {F}}{\text{ is a finite subset of }}{\mathcal {S}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [S]^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [S]^{<=n}}$${\displaystyle 2\leq n<\omega }$${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in [{\mathcal {S}}]^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X\leq n}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {S}}}$${\displaystyle K\subset \bigcup {\mathcal {F}}\subset U}$

を無限集合とし、となる数によって となるとします。 上の積位相を次のように定義します。 に対して、とし、 とします。を集合 とします。上の位相の閉開基数としてをとります。この位相はコンパクトかつハウスドルフです。 となるおよびに対して、 は の離散部分空間であり、したがって は離散部分空間の和集合です。^[14]${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\leq n<\omega }$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle s^{-}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\in F\}}$${\displaystyle s^{+}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\notin F\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigcup _{s\in S}\{s^{+},s^{-}\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle [S]^{k}}$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle n+1}$

定理( の上限):上の各全順序に対して、の- 元閉部分基底が存在します。 ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle <}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle [S]^{\leq 2n}}$

証明: に対して、および を定義します。 と設定します。、および となるに対して、が の -連結部分集合となるものとします。 であることを示します。${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle L_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t<s\}|\leq n-1\}}$${\displaystyle R_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t>s\}|\leq n-1\}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}=\bigcup _{s\in S}\{L_{s},R_{s},s^{+}\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\cup B\cup C\neq \emptyset }$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{s}:s\in A\}\cup \{R_{s}:s\in B\}\cup \{s^{-}:s\in C\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A\cup B\in \bigcap {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \blacksquare }$

位相空間と部分空間について、 が上の恒等写像である場合、連続関数はのリトラクションであるといいます。はのリトラクションであるといいます。 、かつ がのリトラクトであるような開集合が存在する場合、 は の近傍リトラクトであるといいます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle r:X\rightarrow A}$${\displaystyle r|_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A\subset U\subset X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

定理( の下限値)がとなるようなものとしましょう。このとき はとなる任意の空間において近傍リトラクトとして埋め込むことはできません。 ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\leq n<\omega }$${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,K\leq n}$

上記の 2 つの定理から、となるようなに対して、 となることが推測できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\leq n<\omega }$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1=\operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n}}$

離散空間 のアレクサンドロフ一点コンパクト化を とすると、となる。連続射影を で定義する。従って は多項式空間となる。したがって はコンパクト数 の多項式空間である。^[14]${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A=S\cup \{\infty \}}$${\displaystyle g:A^{n}\rightarrow [S]^{\leq n}}$${\displaystyle g((x_{1},...,x_{n}))=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\cap S}$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1}$

中心空間、ADコンパクト空間^[15]、ξ進空間^[16]は多進空間の一般化である。

を集合の集合とします。すべての有限部分集合 に対してが中心化されているとします。^[17]からの部分空間位相を持つブール空間 を定義します。が の連続像となるような集合が存在するとき、空間は中心化されていると言います。^[18]${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})=\{\chi _{T}:T{\text{ is a centred subcollection of }}{\mathcal {S}}\}}$${\displaystyle 2^{\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})}$

中心空間は 2004 年に Murray Bell によって導入されました。

を空でない集合とし、その部分集合の族 を考えます。 が適切な族であるとは次のとき言えます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\land B\subseteq {\mathcal {A}}\Rightarrow B\in {\mathcal {A}}}$
• が与えられたとき、 のすべての有限部分集合が に含まれる場合、 となります。${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

をカントール立方体のサブセットと見なして位相空間として扱うことができ、この場合は と表記します。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D^{X}}$${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$

をコンパクト空間とします。が の連続像となるような集合と適切な族 が存在する場合、 はAD コンパクト空間である といいます。${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$${\displaystyle K}$

ADコンパクト空間はグジェゴシュ・プレバネクによって導入された。彼は、ADコンパクト空間が任意の積と非結合和のアレクサンドロフコンパクト化に対して閉じていることを証明した。したがって、すべての多項式空間はADコンパクト空間である。逆は真ではなく、多項式ではないADコンパクト空間も存在する。^[15]

とを基数とし、をハウスドルフ空間とする。からへの連続射影が存在する場合、はξ進空間であるという。^[16]${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (\kappa +1)^{\tau }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ξ進空間はS.Mrówkaによって提案され、それに関する以下の結果はJános Gerlitsによって与えられた（それらはξ進空間の特別な場合であるため、多進空間にも適用される）。^[19]

を無限基数とし、を位相空間とします。の空でない開部分集合の任意の族に対して となる集合と点を見つけることができ、の各近傍に対して となるとき、 が性質を持つといいます。 ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$${\displaystyle \{G_{\alpha }:\alpha \in A\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |A|={\mathfrak {n}}}$${\displaystyle B\subset A}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle |B|={\mathfrak {n}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |\{\beta \in B:N\cap G_{\beta }=\emptyset \}|<{\mathfrak {n}}}$

がξ進空間である場合、各無限基数に対して性質を持つ。この結果から、無限ξ進ハウスドルフ空間は極限的に不連続な空間にはなり得ないことがわかる。^[19]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

ヒアディック空間はエリック・ファン・ダウエンによって導入された。^[20]ヒアディック空間は以下のように定義される。

をハウスドルフ空間とする。の超空間を で表す。の部分空間をで定義する。 の基底は、が任意の整数であり、で開いているすべての集合の族である。 がコンパクトな場合、から への連続的な全射が存在するとき、ハウスドルフ空間はヒアディックであると言われる。^[21]${\displaystyle X}$${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J_{2}(X)}$${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle \{F\in H(X):|F|\leq 2\}}$${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle \langle U_{0},\dots ,U_{n}\rangle =\{F\in H(X):F\subseteq U_{0}\cup \dots \cup U_{n},F\cap U_{i}\neq \emptyset {\text{ for }}0\leq i\leq n\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle Y}$

多項式空間はヒアディック空間である。^[22]

• 二項空間
• エーベルラインコンパクト
• 石の空間
• ストーンチェフのコンパクト化
• 超コンパクトなスペース