局所的に閉じた部分集合

数学の一分野である位相幾何学では、位相空間の部分集合が局所的に閉じているとは、以下の同値な条件のいずれかが満たされる場合を言う: ^{[1] [2] [3] [4]}${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle E}$開集合と閉集合の交差である${\displaystyle X.}$
• 各点には、次のような近傍が存在する。${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E\cap U}$${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle E}$閉鎖は開放的である${\displaystyle {\overline {E}}.}$
• セットは閉じられています${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$2つの閉集合の差は${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$2つの開集合の差は${\displaystyle X.}$

2番目の条件は局所的に閉じているという用語を正当化し、ブルバキの局所的に閉じているという定義である。^[1] 2番目の条件が3番目の条件を暗示することを理解するために、部分集合に対してが閉じている場合、かつその場合のみであること、および部分集合と開部分集合に対してが閉じている場合、という事実を使用する。${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A={\overline {A}}\cap B}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle {\overline {E}}\cap U={\overline {E\cap U}}\cap U.}$

区間はの局所的に閉じた部分集合です。別の例として、の閉じた円板の相対的な内部を考えてみましょう。これは閉じた円板と開いた球の交差であるため、局所的に閉じています。 ${\displaystyle (0,1]=(0,2)\cap [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

一方、 はの局所的に閉じた部分集合ではありません。 ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\neq 0\}\cup \{(0,0)\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

定義により、 -多様体の部分多様体は、 内の各点に対してその周囲に となるチャートが存在するような部分集合であることを思い出してください。したがって、部分多様体は局所的に閉じています。^[5]${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varphi (E\cap U)=\mathbb {R} ^{k}\cap \varphi (U).}$

代数幾何学の例を挙げます。U を射影多様体X上の開いたアフィン チャートとします(ザリスキ位相)。すると、Uの各閉部分多様体YはXで局所的に閉じます。つまり、はYのXにおける閉包を表します。(準射影多様体と準アフィン多様体も参照してください。) ${\displaystyle Y=U\cap {\overline {Y}}}$${\displaystyle {\overline {Y}}}$

局所閉集合の連続写像による有限交差と原像は局所的に閉じている。^[1]一方、局所的に閉じた部分集合の和集合と補集合は局所的に閉じている必要はない。^{[6] （これが}構成可能集合の概念の根拠である。）

特に成層理論では、局所的に閉じた部分集合に対して、補集合はの境界と呼ばれます（位相境界と混同しないでください）。^[2]が多様体の境界を持つ閉じた部分多様体である場合、 の相対的な内部（つまり、多様体としての内部）は内で局所的に閉じており、多様体としての の境界は、局所的に閉じた部分集合としての の境界と同じです。^[2]${\displaystyle E,}$${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$

位相空間はすべての部分集合が局所的に閉じている場合、準最大です。この概念の詳細については、 トポロジーの用語集#S を

• 可算生成空間 - 可算な部分集合によって位相が決定される位相空間フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• ブルバキ、ニコラス (2007)。トポロジ全般。第 1 章から第 4 章まで。ベルリン: Springer。土井：10.1007/978-3-540-33982-3。ISBN 978-3-540-33982-3。
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• Pflaum, Markus J. (2001).層状空間の解析的および幾何学的研究. 数学講義ノート. 第1768巻. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-42626-4. OCLC  47892611.

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