それ自体が密集している

一般位相幾何学では、位相空間の部分集合は、孤立点を持たない 場合、それ自体稠密である^{[1] [2]}または混雑している^{[3] [4]}と言われます。同様に、のすべての点が の極限点である場合、 はそれ自体稠密です。したがって、がそれ自体稠密である場合、かつその場合のみ、 であり、 はの導来集合です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subseteq A'}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A}$

それ自体稠密な閉集合は完全集合と呼ばれます。（言い換えれば、完全集合は孤立点のない閉集合です。）

稠密集合の概念は、稠密自体とは異なります。「 XはXに稠密である」(常に真) は「 Xは稠密である」(孤立点がない)と同じではないため、混乱を招くことがあります。

それ自体稠密だが閉じていない（したがって完全集合ではない）集合の簡単な例は、無理数の集合（実数のサブセットと見なされる）である。この集合は、無理数のすべての近傍に少なくとも 1 つの他の無理数が含まれるため、それ自体稠密である。一方、無理数の集合は、すべての有理数がその閉包に含まれるため、閉じていない。同様に、有理数の集合もそれ自体稠密だが、実数の空間では閉じていない。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y\neq x}$

上記の例、無理数と有理数も、位相空間、つまり において稠密な集合です。 それ自体には稠密であるが位相空間には稠密ではない例として、 を考えてみましょう。この集合は では稠密ではありませんが、それ自体には稠密です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

空間の単一部分集合は、その唯一の点がその中で孤立しているため、それ自体稠密になることはできません。 ${\displaystyle X}$

任意の空間のそれ自体稠密な部分集合は、和集合に関して閉じている。^[5]それ自体稠密な空間では、それらにはすべての開集合が含まれる。^[6]それ自体稠密なT ₁空間では、それらにはすべての稠密な集合が含まれる。^{[7]ただし、T} ₁でない空間には、それ自体稠密ではない稠密な部分集合が含まれることがある。たとえば、非離散位相を持つそれ自体稠密な空間では、集合は稠密であるが、それ自体稠密ではない。 ${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle A=\{a\}}$

任意の稠密集合の閉包は完全集合である。^[8]

一般に、2 つのそれ自体稠密な集合の 交差はそれ自体稠密ではありません。しかし、それ自体稠密な集合と開集合の交差はそれ自体稠密です。

• どこにも密集していないセット
• トポロジーの用語集
• 密な順序

• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• クラトフスキー、K. (1966)。トポロジー第1巻。アカデミックプレス。ISBN 012429202X。
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J. アーサー・ジュニア(1978)。位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-486-68735-3. MR  0507446。

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