スターの洗練

数学、特に位相空間Xの位相と開被覆の研究において、スターリファインメントはXの開被覆の特別な種類のリファインメントです。関連する概念として、重心リファインメントという概念があります。

スターリファインメントは、完全正規空間の定義と一様空間の 1 つの定義で使用されます。また、パラコンパクト性の特徴を述べるのにも役立ちます。

一般的な定義は任意の被覆に対して意味を成し、位相を必要としない。を集合とし、をの被覆とすると、に対するの星の部分集合は、と交差するすべての集合の和集合である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X,}$${\textstyle X=\bigcup {\mathcal {U}}.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle S,}$$${\displaystyle \operatorname {st} (S,{\mathcal {U}})=\bigcup {\big \{}U\in {\mathcal {U}}:S\cap U\neq \varnothing {\big \}}.}$$

ある点を与えられたとき、代わりに${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle \operatorname {st} (\{x\},{\mathcal {U}}).}$

の被覆は、任意のが何らかのものに含まれる場合の、の被覆の精緻化である 。次に、2 種類の特別な精緻化を示す。任意の に対して星が何らかのものに含まれる場合、 の被覆はの重心精緻化と呼ばれる^{[1] [2]。}任意の に対して星が何らかのものに含まれる場合、 の被覆はの星精緻化と呼ばれる^{[3] [2]。}${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \operatorname {st} (U,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$

被覆のあらゆるスターリファインメントは、その被覆の重心リファインメントである。逆は真ではないが、重心リファインメントの重心リファインメントはスターリファインメントである。^{[4] [5] [6] [7]}

距離空間 が与えられたとき、固定半径の開いた球体の集合を とする。集合 はの重心細分化であり、集合はの星型細分化である。${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{B_{\epsilon }(x):x\in X\}}$${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$${\displaystyle \epsilon >0.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{B_{\epsilon /2}(x):x\in X\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}},}$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{B_{\epsilon /3}(x):x\in X\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}.}$

• 集合の族 – 集合の集合、または集合のサブセット

• ドゥグンジ、ジェームズ(1966)。トポロジー。ボストン: アリン・アンド・ベーコン。ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.