半局所的に単連結

数学、特に代数的位相幾何学において、半局所単連結とは被覆空間の理論で生じる特定の局所連結性条件である。大まかに言えば、位相空間X は、 Xの「穴」のサイズに下限がある場合に半局所単連結である。この条件は、普遍被覆の存在や被覆空間と基本群の部分群との間のガロア対応など、被覆空間の理論のほとんどに必要である。

多様体やCW 複体などの「良い」空間のほとんどは半局所的に単連結であり、この条件を満たさない位相空間はいくぶん異常であると見なされます。半局所的に単連結でない空間の標準的な例は、ハワイアンイヤリングです。

空間Xが半局所単連結であるとは、 X内のすべての点 xとx内のすべての近傍Vにxの開近傍Uがあり、 U内のすべてのループをX内の単一の点に縮約できる（つまり、U内のすべてのループをX内でヌルホモトピックである）という性質がある場合です。近傍U は単連結である必要はありません。 U内のすべてのループはX内で縮約可能でなければなりませんが、縮約がU内で行われる必要はありません。このため、空間は局所単連結でなくても半局所単連結である可能性があります。この定義と同様に、空間Xが半局所単連結であるとは、X内のすべての点に開近傍Uがあり、 U内のすべてのループをX内の単一の点に縮約できるという性質がある場合です。 ${\displaystyle x\in U\subset V}$

この概念を定義する別の同等の方法は、空間Xが半局所的に単連結であるとは、X内のすべての点に開近傍Uがあり、UのXへの包含写像によって誘導されるU の基本群からXの基本群への準同型が自明であるときです。

普遍被覆の存在やガロア対応を含む被覆空間に関する主要な定理のほとんどは、空間が経路連結、局所経路連結、半局所単連結であること、つまりループ不可能（フランス語でdélaçable ）と呼ばれる条件を必要とする。 ^[1]特に、この条件は空間が単連結被覆空間を持つために必要である。

半局所的に単連結でない空間の簡単な例としては、ハワイアンイヤリングがあります。これは、ユークリッド平面内の中心が (1/ n , 0)、半径が1/ nである円の和集合です(nは自然数) 。この空間に部分空間位相を与えます。すると、原点のすべての近傍には、ヌルホモトピックでない円が含まれます。

ハワイアン イヤリングは、局所的に単純連結ではない半局所的に単純連結な空間を構築するためにも使用できます。特に、ハワイアン イヤリングの円錐は収縮可能であるため半局所的に単純連結ですが、明らかに局所的に単純連結ではありません。

基本群上の自然な位相の観点から見ると、局所経路連結空間は、その準位相的基本群が離散的である場合に限り、半局所的に単連結である。^[要出典]

• ブルバキ、ニコラス(2016)。トポロジー代数: Chapitres 1 から 4。スプリンガー。 Ch. IV、339～480ページ。ISBN 978-3662493601。
• JS Calcut、JD McCarthy位相基本群の離散性と同次性トポロジー論文集、第34巻、(2009)、pp. 339–349
• ハッチャー、アレン（2002）。代数的位相幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79540-0。