半コンパクト空間

数学の位相幾何学の分野では、ハウスドルフ 位相空間が半コンパクトであるとは、その空間のあらゆるコンパクト部分集合がその列内の何らかのコンパクト集合の内部に存在するようなコンパクト部分集合の列を持つ場合を言う。 ^[1] これにより、列の和集合は空間全体になる。なぜなら、あらゆる点はコンパクトであり、したがってコンパクト集合のいずれかに存在する必要があるからである。

• すべてのコンパクト空間はヘミコンパクトです。
• 実線はヘミコンパクトです。
• すべての局所コンパクトな リンデレーフ空間は半コンパクトです。

すべての半コンパクト空間はσコンパクト^[2]であり、さらにそれが第一に可算であれば局所コンパクトである。半コンパクト空間が弱局所コンパクトであれば、コンパクト集合によって消尽可能である。

が半コンパクト空間である場合、コンパクト開位相を持つ距離空間へのすべての連続関数の空間は距離化可能である。^[3]これを確認するには、のコンパクト部分集合の列を取り、のすべてのコンパクト部分集合がこの列のコンパクト集合の内側にあるようにします（このような列の存在は の半コンパクト性からわかります）。擬距離を定義する${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X,M)}$ ${\displaystyle f:X\to M}$ ${\displaystyle (M,\delta )}$${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle d_{n}(f,g)=\sup _{x\in K_{n}}\delta {\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\quad f,g\in C(X,M),n\in \mathbb {N} .}$

それから

${\displaystyle d(f,g)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}}$

コンパクトオープントポロジーを誘導する メトリックを定義します。${\displaystyle C(X,M)}$

• コンパクトなスペース
• コンパクトセットで使い切る
• 局所的にコンパクトな空間
• リンデレフスペース

• ウィラード、スティーブン（2004）。一般位相幾何学。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。
• コンウェイ、JB (1990)。関数解析コース。数学大学院テキスト。第96巻。Springer Verlag。ISBN 0-387-97245-5。

• nLabの半コンパクト空間
• π-基底上の半コンパクト