アレクサンドロフ位相

一般的な位相幾何学において、アレクサンドロフ位相とは、任意の開集合族の共通部分が開集合となる位相のことである（位相の定義では、これは有限族に対してのみ要求される）。言い換えれば、アレクサンドロフ位相とは、その開集合が空間上の何らかの順序関係における上側集合となる位相のことである。

アレクサンドロフ位相を持つ空間は、アレクサンドロフ離散空間または有限生成空間とも呼ばれます。後者の名称は、その位相がすべての有限部分空間の族によって一意に決定されるという事実に由来します。このことから、有限位相空間の一般化と言えます。

アレクサンドロフ離散空間は、ロシアの位相幾何学者パヴェル・アレクサンドロフにちなんで名付けられました。ロシアの数学者アレクサンドル・ダニロヴィチ・アレクサンドロフによって導入されたリーマン幾何学のアレクサンドロフ空間と混同してはなりません。

アレクサンドロフ位相には数多くの特徴付けがある。位相空間において${\displaystyle X}$以下の条件は同等である。

• 開集合と閉集合の特徴付け：
  • 任意の開集合の共通部分は開集合である。
  • 任意の閉集合の和集合は閉集合である。
• 近隣地域の特性：
  • すべての点には最小近傍が存在する。
  • すべての点の近傍フィルタは、任意の交点に関して閉じている。
• 内部および閉包代数的特徴付け：
  • 内部演算子は、部分集合の任意の共通部分に対して分配法則を適用する。
  • 閉包演算子は、任意の部分集合の和集合に対して分配法則を適用します。
• 予約注文時のキャラクター設定：
  • このトポロジーは、${\displaystyle X}$同じ専門分野の予約注文で。
  • オープンセットは、特定の予約注文の上位セットです。${\displaystyle X}$。
• 有限生成と圏論的特徴付け：
  • 部分集合の閉包は、その部分集合の有限部分集合の閉包の和集合である（したがって、その部分集合の単一要素部分集合の閉包の和集合でもある）。
  • 位相は有限部分空間と整合している。${\displaystyle X}$。
  • 有限部分空間の包含写像${\displaystyle X}$最終的なシンクを形成する。
  • ${\displaystyle X}$有限生成である、つまり、有限空間の最終包の中に存在する。（これは最終シンクが存在することを意味する。）${\displaystyle f_{i}:X_{i}\to X}$それぞれ${\displaystyle X_{i}}$（有限位相空間である。）

アレクサンドロフ位相は、開集合を上側集合とすることで、順序付き集合と標準的に関連付けられます。逆に、順序付き集合は、アレクサンドロフ位相からその特殊化順序として復元できます。（特殊化順序は次のように定義されるという慣例を用います。）${\displaystyle x\leq y}$いつでも${\displaystyle x\in \operatorname {cl} \{y\},}$つまり、${\displaystyle x}$また、${\displaystyle y}$（アレクサンドロフ位相における開集合は下側集合ではなく上側集合であるという慣例に合わせるため。ただし、逆の慣例も存在する。）

順序論的概念と位相幾何学的概念の間には、以下の対応関係が存在する。

• オープンセットは上位セットです。
• 閉集合は下位集合であり、
• 部分集合の内部${\displaystyle S}$要素の集合${\displaystyle x\in S}$そのため${\displaystyle y\in S}$いつでも${\displaystyle x\leq y}$。
• 部分集合の閉包とは、その部分集合の下閉包のことである。
• 地図${\displaystyle f:X\to Y}$アレクサンドロフ位相を持つ2つの空間間の関数が連続であるのは、それが基となる順序付き集合間の関数として順序を保存する場合に限る。

圏論の観点から、Top を、射として連続写像を持つ位相空間からなる位相空間の圏とする。Alexを、アレクサンドロフ離散空間からなるその完全な部分圏とする。Preordを、射として順序保存関数を持つ順序付き集合からなる順序付き集合の圏とする。上記の対応は、AlexとPreOrdの間の圏の同型写像である。

さらに、ファンクター${\displaystyle A:\mathbf {PreOrd} \to \mathbf {Top} }$順序付けられた集合を対応するアレクサンドロフ離散空間に送る関数は、特殊化順序付け関手に完全に忠実かつ左随伴である。${\displaystyle S:\mathbf {Top} \to \mathbf {PreOrd} }$これにより、Alex はTopの共反射部分圏となる。さらに、反射射は${\displaystyle A(S(X))\to X}$基底マップが恒等写像（ただし、ソースとターゲットで異なるトポロジーを持つ）であるものは、全単射連続写像であり、したがって双同型写像である。

アレクサンドロフ離散空間の部分空間はアレクサンドロフ離散である。^{[ 1 ]}アレクサンドロフ離散空間の商空間も同様である（逆像は任意の和集合と積集合と互換性があるため）。

2 つの Alexandrov-離散空間の積は Alexandrov-離散である。^{[ 2 ]} より一般的には、任意の数の Alexandrov-離散空間のボックス積は Alexandrov-離散である。 ^{[ 3 ]}

すべてのアレクサンドロフ位相は第一可算である（すべての点が最小近傍を持つため）。

すべてのアレクサンドロフ位相は、すべての点がコンパクトな近傍の局所基底を持つという意味で局所的にコンパクトである。なぜなら、点の最小近傍は常にコンパクトだからである。^{[ 4 ]} 実際、${\displaystyle U}$点の最小の（開いた）近傍${\displaystyle x}$、 で${\displaystyle U}$部分空間トポロジーを持つ任意の開被覆${\displaystyle U}$近隣地域を含む${\displaystyle x}$含まれる${\displaystyle U}$このような近隣は必然的に${\displaystyle U}$開いたカバーは${\displaystyle \{U\}}$有限部分被覆として。

すべてのアレクサンドロフ位相は局所的にパス連結である。^{[ 5 ] [ 6 ]}

内部演算子と閉包演算子をアレクサンドロフ離散空間の冪集合ブール代数上の様相演算子とみなすと、それらの構成は様相フレーム、すなわち単一の二項関係を持つ集合からの様相代数の構成の特殊な場合である。（後者の構成自体も、関係構造、すなわち関係が定義された集合からの複素代数のより一般的な構成の特殊な場合である。）順序付き集合の場合に得られる様相代数のクラスは、位相空間の代数的抽象化である内部代数のクラスである。

アレクサンドロフ空間は、1937年にPSアレクサンドロフによって離散空間という名称で初めて導入され、彼は集合と近傍の観点からその特徴付けを行った。^{[ 7 ]}後に離散空間という名称は、すべての部分集合が開集合である位相空間に用いられるようになり、元の概念は位相幾何学の文献では忘れ去られた。一方、アレクサンドロフ空間は、閉包系と格子理論および位相幾何学との関係に関するオイスタイン・オレの先駆的な研究において重要な役割を果たした。^{[ 8 ]}

1980年代の圏論的位相幾何学の発展に伴い、有限生成の概念が一般位相幾何学に適用された際にアレクサンドロフ空間が再発見され、有限生成空間という名称が採用された。アレクサンドロフ空間は、ほぼ同時期に、コンピュータ科学における表示的意味論や領域理論から生じる位相幾何学の文脈においても再発見された。

1966年、マイケル・C・マッコードとAK・シュタイナーはそれぞれ独立に、アレクサンドロフが導入した空間のT ₀バージョンと正確に一致する半順序集合と空間との間の同値性を発見した。 ^{[ 9 ] [ 10 ]} PT・ジョンストンは、このような位相をアレクサンドロフ位相と呼んだ。^{[ 11 ]} FG・アレナスは、これらの位相の一般バージョンに対してこの名前を独立に提案した。^{[ 12 ]} マッコードはまた、これらの空間が対応する半順序集合の順序複体と弱ホモトピー同値であることを示した。シュタイナーは、この同値性が任意の交わりと結合、および補元を保存する反変格子同型であることを示した。

モーダル論理の分野では、有限位相空間と有限集合上の前順序（モーダル論理S4の有限モデルフレーム）の間には同値性があることもよく知られた結果であった。A . Grzegorczykは、これが彼が完全分配空間と呼んだものと前順序の間の同値性にまで拡張されることを指摘した。C. Naturmanは、これらの空間がアレクサンドロフ離散空間であることに気づき、この結果をアレクサンドロフ離散空間の圏と（開）連続写像の圏、および前順序と（有界）単調写像の圏の間の圏論的同値性に拡張し、前順序の特徴付けと内部および閉包代数的特徴付けを与えた。^{[ 13 ]}

アレクサンドロフの原著論文以来無視されてきた、一般トポロジーの観点からのこれらの空間の体系的な調査は、FG アレナスによって取り上げられた。^{[ 12 ]}

• P空間とは、可算個の開集合の共通部分が開集合であるというより弱い条件を満たす空間である。