クローペンセット

位相幾何学において、位相空間内の閉開集合（閉開集合の造語）は、開集合かつ閉集合である。開集合と閉集合の一般的な意味は反意語であるため、これが可能であることは直感に反するように思えるかもしれないが、それらの数学的定義は相互に排他的ではない。集合の補集合が開集合である場合、その補集合も開集合である可能性があり、その場合、両方の集合は開集合かつ閉集合となり、したがって閉開集合となる。位相学者のジェームズ・マンクレスが述べたように、ドアとは異なり、「集合は開いているか、閉じているか、またはその両方であるか、どちらでもないかのどちらかである!」^[1]ドアの「開いている」/「閉じている」の意味は集合の意味とは無関係であることを強調している（したがって、ドアの開いている/閉じているという二分法は、開いている/閉じている集合には当てはまらない）。ドアとのこの対比から、「ドア空間」として知られる位相空間のクラスにその名前が付けられた。

任意の位相空間では、空集合と空間全体は両方とも閉開である。^{[2] [3]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

ここで、 2 つの開区間の和集合とからなる空間を考えます。上の位相は、実数直線上の通常の位相から部分空間位相として継承されます。集合は閉開集合であり、集合 も同様です。 これは非常に典型的な例です。空間がこのように有限個の互いに素な連結成分から構成される場合は常に、成分は閉開集合になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (2,3)}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (2,3).}$

ここで、離散計量の下で を無限集合とします 。つまり、2 つの点が同じ点でない場合は距離が 1 で、そうでない場合は距離が 0 になります。結果として得られる計量空間の下では、任意の単独集合は開集合です。したがって、単独点の和集合である任意の集合は開集合です。任意の集合は開集合であるため、任意の集合の補集合も開集合であり、したがって任意の集合は閉集合です。したがって、この計量空間内のすべての集合は閉開集合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p,q\in X}$

もう少し自明でない例として、通常の位相を持つすべての有理数の空間と、平方が 2 より大きいすべての正の有理数の集合を考えてみましょう。 が1に含まれないという事実を使用すると、 がの閉開部分集合であることが簡単に示されます(は実数直線 の閉開部分集合ではありません。 は で開かておらず、閉じていません)。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• 位相空間が連結であるためには、唯一の閉開集合が空集合とそれ自身だけである必要があります。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 集合が閉開集合である場合、その境界は空である。^[4]
• 任意の clopen セットは、(おそらく無限に) 接続されたコンポーネントの和集合です。
• のすべての連結成分が開いている場合（たとえば、 が有限個の成分のみを持つ場合、または が局所連結である場合）、集合が で閉開となるのは、連結成分の和集合である場合に限ります。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 位相空間が離散的となるのは、そのすべての部分集合が閉開である場合のみです。${\displaystyle X}$
• 和集合と積集合を演算として使用すると、与えられた位相空間の閉開集合はブール代数を形成します。すべてのブール代数は、適切な位相空間からこのようにして得ることができます。ブール代数に関するストーンの表現定理を参照してください。${\displaystyle X}$

• 集合の同一性と関係の一覧 – 集合の組み合わせの等式

• マンクレス、ジェームズ・R (2000)。トポロジー（第2版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール社。ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• モリス、シドニー A.「涙のないトポロジー」。2013 年 4 月 19 日時点のオリジナルよりアーカイブ。