数学教育

現代教育において、数学教育（ヨーロッパでは数学の教授法または教授法として知られています）とは、数学的知識の伝達について 教え、学び、学術研究を行う実践のことです。

数学教育の研究は、主に実践や実践の研究を促進するツール、方法、アプローチに関係していますが、さまざまな異なる概念、理論、方法を網羅する広範な研究分野もカバーしています。国内および国際組織は、数学教育を改善するために 定期的に会議を開催し、文献を出版しています。

古代エジプト、古代バビロニア、古代ギリシャ、古代ローマ、ヴェーダ時代のインドなど、多くの古代文明において、初等数学は教育の中核をなしていた。^[要出典]ほとんどの場合、正式な教育を受けられるのは、十分に高い地位、富、またはカーストを持つ男子のみであった。^[要出典]最も古い数学の教科書は、紀元前1650年頃のリンド・パピルスである。 ^[1]

メソポタミアの歴史家たちは、ピタゴラスの定理の使用は古バビロニア帝国（紀元前20世紀から16世紀）にまで遡り、ピタゴラスの誕生の1000年以上前に書記学校で教えられていたことを確認しています。^{[2] [3] [4] [5] [6]}

プラトンは自由学を三分学と四分学に分けたが、四分学には算術と幾何学という数学の分野が含まれていた。この構造は中世ヨーロッパで発達した古典教育の構造に引き継がれた。幾何学の教えはほぼ例外なくユークリッドの 『原論』に基づいていた。石工、商人、金貸しなどの職業の徒弟は、職業に関連した実用的な数学を学ぶことが期待できた。

中世には、数学は貿易や商業と強く結び付けられ、非キリスト教的であると見なされたため、その学問的地位は低下した。^[7]数学はヨーロッパの大学で教えられ続けたが、自然哲学、形而上学、道徳哲学の研究に従属するものとみなされた。最初の近代的な算数のカリキュラム（足し算から始まり、引き算、掛け算、割り算）は、1300年代にイタリアの計算学校で生まれた。^{[8]貿易ルートに沿って広まっ}たこれらの方法は、商業での使用を目的に設計された。大学で教えられたプラトン数学とは対照的であった。プラトン数学はより哲学的で、計算方法というよりも数を概念として扱っていた。^[8]また、職人の見習いが学ぶ、手元にある作業や道具に特化した数学的方法とも対照的であった。例えば、板を3つに分けるには、長さを測って割り算の演算を使う代わりに、1本のひもを使うことができる。^[7]

英語とフランス語で書かれた最初の数学の教科書は、ロバート・レコードによって出版され、 1543年の『The Grounde of Artes』に始まります。しかし、紀元前1800年まで遡る数学と数学の方法論に関するさまざまな著作があります。これらのほとんどはメソポタミアで発見され、そこではシュメール人が掛け算と割り算を実践していました。二次方程式のような方程式を解くための方法論を示す遺物もあります。シュメール人の後、数学に関する最も有名な古代の作品のいくつかは、リンド数学パピルスとモスクワ数学パピルスの形でエジプトから来ました。より有名なリンドパピルスは紀元前1650年頃のものとされていますが、さらに古い巻物のコピーであると考えられています。このパピルスは本質的にエジプトの学生のための初期の教科書でした。

17 世紀までに数学研究の社会的地位は向上し、 1613 年にアバディーン大学に数学教授職が創設され、続いて1619 年にオックスフォード大学に幾何学教授職が、1662 年にケンブリッジ大学にルーカス数学教授職が設立されました。

18 世紀と 19 世紀には、産業革命によって都市人口が急増しました。時刻の読み方、お金の計算、簡単な計算など、基本的な算数のスキルは、この新しい都市生活に不可欠なものとなりました。新しい公教育システムでは、数学は幼い頃から カリキュラムの中心的要素となりました。

20 世紀までに、数学はすべての先進国で中核的なカリキュラムの一部となりました。

20 世紀には、数学教育が独立した研究分野として確立されました。この発展における主な出来事は次のとおりです。

• 1893年、ゲッティンゲン大学にフェリックス・クラインの指導の下、数学教育の教授職が設立されました。
• 国際数学教育委員会( ICMI) は 1908 年に設立され、フェリックス・クラインが同組織の初代会長に就任しました。
• 1920年以降、アメリカの数学教育に関する専門誌には4,000以上の論文が掲載されていたため、1941年にウィリアム・L・シャーフはそれらをさまざまな主題に分類した分類索引を出版した。^[9]
• 1960 年代に数学教育への関心が再び高まり、国際委員会が活性化しました。
• 1968年、ノッティンガムにシェル数学教育センターが設立されました。
• 第1回国際数学教育会議（ICME）は1969年にリヨンで開催されました。第2回会議は1972年にエクセターで開催され、その後は4年ごとに開催されています。

20 世紀半ばには、「電子時代」（マクルーハン）の文化的影響が教育理論と数学の指導にも取り入れられました。以前のアプローチは「算数の専門的な「問題」に取り組む」ことに重点を置いていましたが、知識に対する新しい構造的アプローチは「小さな子供たちに数論と「集合」について考えさせる」ものでした。^[10] 1980 年代以降、連続数学に重点を置き、基本的な離散概念さえも上級研究に委ねる従来のカリキュラムを改革し、科目の連続面と離散面のカバー範囲をよりバランスよくする取り組みが数多く行われてきました。^[11]

• 1980 年代から 1990 年代初頭にかけて、離散数学を高等教育レベルでより利用しやすくしようという動きがありました。
• 1980 年代後半から新世紀にかけて、米国などの国々は初等・中等教育のための離散数学のテーマのセットを特定し、標準化し始めました。
• 同時に、学者たちは離散数学のトピックを教室に導入するための実践的なアドバイスをまとめ始めました。
• 研究者たちは2000年代を通じて移行の緊急性を主張し続けた。
• 並行して、一部の教科書著者は、よりバランスのとれた内容を提供することを明確に目的とした教材の作成に取り組み始めました。

数学的モデリングと離散数学との関係に焦点を移す同様の取り組みも進行中です。^[12]

さまざまな時代、さまざまな文化、さまざまな国において、数学教育はさまざまな目的を達成しようとしてきました。これらの目的には次のようなものが含まれます。

• すべての生徒に基礎的な算数スキルを教え、学習させること^[13]
• ほとんどの学生に実用的な数学（算術、初等代数、平面幾何学、立体幾何学、三角法、確率、統計）を教え、彼らが職業や技術を習得し、ニュースやインターネットで一般的に使用される数学（パーセンテージ、チャート、確率、統計など）を理解できるようにします。
• 抽象的な数学的概念（集合や関数など）を幼少期に教えること
• 数学の特定の分野（ユークリッド幾何学など）^[14]を公理系^[15]と演繹的推論のモデルの例として教えること
• 現代世界の知的成果の例として、数学の特定の分野（微積分など）を教える
• 科学、技術、工学、数学（STEM）分野でのキャリアを志す学生に高度な数学を教える
• 非定型的な問題を解決するためのヒューリスティックス^[16]やその他の問題解決戦略の指導
• 社会科学、保険数理科学、および文系大学における教養教育における一部の芸術分野における数学の教育

特定の状況で使用される方法は、関連する教育システムが達成しようとしている目的によって大きく決まります。数学の教授法には、次のようなものがあります。

• コンピュータベースの数学: 計算の主なツールとして数学ソフトウェアを使用することに基づくアプローチ。
• コンピュータベースの数学教育：コンピュータを使用して数学を教えます。学生が数学を学ぶのを助けるためにモバイルアプリケーションも開発されています。 ^{[17] [18] [19]}
• 古典教育：中世の古典教育カリキュラムの一部である四分法内の数学の教授法。典型的には演繹的推論のパラダイムとして教えられたユークリッドの原論に基づいていた。^[20]
• 従来のアプローチ: 数学の概念、アイデア、テクニックの階層を段階的かつ体系的に指導します。算術から始まり、ユークリッド幾何学と初等代数が同時に教えられます。教授法とカリキュラムの決定は、教育上の考慮ではなく、科目の論理によって決定されることが多いため、講師は初等数学について十分な知識を持っている必要があります。このアプローチのいくつかの側面を強調することで、他の方法が生まれます。
• リレーショナルアプローチ：授業のトピックを使って日常の問題を解決し、そのトピックを時事問題に関連付けます。^[21]このアプローチは、数学のさまざまな用途に焦点を当て、生徒が数学を知る必要がある理由を理解するのに役立つだけでなく、教室外の現実世界の状況に数学を適用するのに役立ちます。
• 歴史的方法：数学の発展を歴史的、社会的、文化的背景の中で教えること。支持者は、この方法は従来のアプローチよりも人間的な興味をそそると主張する。 ^[22]
• 発見型数学：問題解決型または探究型学習を中心に、自由形式の質問と操作ツールを使用する構成主義的な数学の教授法（発見学習）。 ^[23]このタイプの数学教育は、2005年からカナダのさまざまな地域で実施されました。^{[24]発見型数学は、カナダの「}数学戦争」論争の最前線にあり、数学の成績低下の原因として多くの人がこれを批判しています。
• 新しい数学:集合論、関数、10 以外の基数などの抽象概念に焦点を当てた数学の教授法。初期のソ連の宇宙技術の優位性に対する挑戦への回答として米国で採用され、1960 年代後半に異議が唱えられ始めました。新しい数学に対する最も影響力のある批評の 1 つは、1973 年のモリス クラインの著書「なぜジョニーは足し算ができないのか」です。新しい数学の方法は、トム レーラーの最も人気のあるパロディ ソングの 1 つで取り上げられ、その曲の冒頭で次のように述べられています。「...ご存知のように、新しいアプローチでは、正しい答えを得ることよりも、自分が何をしているのかを理解することが重要なのです。」
• レクリエーション数学：楽しい数学の問題は、生徒の数学学習意欲を高め、数学の楽しみを増やすことができます。 ^[25]
• 標準に基づく数学:米国とカナダにおける大学入学前の数学教育のビジョンであり、数学的な概念と手順に対する生徒の理解を深めることに重点を置き、学校数学の原則と基準を作成した全米数学教員協会によって正式化されました。
• 習熟: ほとんどの生徒が、次に進む前に高いレベルの能力を達成することが期待されるアプローチ。
• 問題解決:生徒に、制限のない、珍しい、時には未解決の問題を与えることによって、数学的な創意工夫、創造性、およびヒューリスティックな思考を養います。問題は、単純な文章題から、国際数学オリンピックなどの国際数学コンテストの問題まで多岐にわたります。問題解決は、通常、生徒の以前の理解に基づいて、新しい数学の知識を構築する手段として使用されます。
• 演習:単純な分数の足し算や二次方程式の解法など、同様のタイプの演習を多数行うことで数学スキルを強化します。
• 暗記学習: 数学の結果、定義、概念を、通常は意味を持たず、または数学的推論に裏付けされることなく、反復と暗記によって教えること。軽蔑的な言葉は「ドリルアンド キル」です。従来の教育では、暗記学習は九九、定義、公式、および数学の他の側面を教えるために使われます。
• 数学ウォーク: 知覚された物体や場面の体験が数学的な言語に翻訳されるウォーク。

国によって、数学はレベルが異なり、年齢も教えられる順序も異なります。特別クラスや優等クラスとして、通常よりも若い年齢で授業が行われることもあります。

ほとんどの国で初等数学は同じように教えられていますが、違いもあります。ほとんどの国では、米国よりも少ないトピックをより深く扱う傾向があります。^[26]小学校時代には、子供たちは足し算、引き算、掛け算、割り算を含む整数と算術を学びます。^[27]比較と測定は、数値と図の両方の形式で教えられ、分数と比例、パターン、幾何学に関連するさまざまなトピックも教えられます。^[28]

米国のほとんどの高校では、代数、幾何学、解析学 (プレ微積分と微積分) が別々の学年で別々のコースとして教えられています。一方、他のほとんどの国 (および米国のいくつかの州) では、数学は統合された科目として教えられており、数学のすべての分野のトピックが毎年学習されます。したがって、学生は米国のようにアラカルトでコースを選択するのではなく、いくつかのトピックを含む事前に定義されたコースを受講します。ただし、これらの場合でも、高校卒業後の学生の予定に基づいて選択される複数の「数学」オプションが提供される場合があります。 （例えば、南アフリカでは、選択肢は数学、数学リテラシー、技術数学です。）したがって、科学指向のカリキュラムは通常、大学数学の 1 年目に重なり、16～17 歳で微分積分と三角法、中等学校最終学年で積分積分、複素数、解析幾何学、指数関数と対数関数、無限級数が含まれます。確率と統計も同様に頻繁に教えられます。

大学レベルでは、理工系の学​​生は多変数解析学、微分方程式、線型代数を履修することが義務付けられており、米国のいくつかの大学では、数学の副専攻または準学士課程が実質的にこれらのコースで構成されています。数学専攻者は、解析学と現代代数学の特定の上級コースの履修を義務付け、純粋数学（および多くの場合応用数学）内の他の分野も学びます。純粋数学のその他のトピックには、微分幾何学、集合論、位相幾何学などがあります。偏微分方程式、最適化、数値解析など、応用数学は、それ自体が主専攻科目として履修される場合があります。特定のトピックは他のコース内で教えられます。たとえば、土木技師は流体力学を学ぶことが義務付けられている場合があり、^[29]「コンピュータサイエンスのための数学」にはグラフ理論、順列、確率、および正式な数学的証明が含まれる場合があります。^[30]純粋数学と応用数学の学位には、確率論や数理統計学、および確率過程のモジュールが含まれることがよくあります。 (理論)物理学は数学を多用する分野であり、純粋数学や応用数学の学位と実質的に重複することが多い。ビジネス数学は通常、初歩的な微積分と(場合によっては)行列計算に限定されている。経済学のプログラムでは、最適化、多くの場合は微分方程式と線形代数、場合によっては解析も扱う。ビジネスおよび社会科学の学生は、統計学や確率論のコースも受講するのが一般的である。

歴史のほとんどを通じて、数学教育の基準は、生徒にとって関連性があり、現実的で、社会的に適切であると見なされる達成レベルに応じて、個々の学校または教師によって地域的に設定されてきました。

現代では、通常、より広範な標準学校カリキュラムの傘下で、地域または国家基準への移行が進んでいます。たとえばイングランドでは、数学教育の基準はイングランドの国家カリキュラムの一部として設定されていますが、 ^[31]スコットランドは独自の教育システムを維持しています。他の多くの国では、国家基準やカリキュラム、場合によっては教科書さえも設定する中央省庁があります。

マー（2000）は、全国規模のデータに基づいて、標準化された数学のテストで高得点を取った生徒は高校でより多くの数学コースを受講していたことを発見した他の研究を要約しました。これにより、一部の州では2年間ではなく3年間の数学を義務付けました。しかし、この要件は別の低レベルの数学コースを受講することで満たされることが多いため、追加のコースは成績レベルの向上に「薄められた」効果しかありませんでした。^[32]

北米では、全米数学教員協会(NCTM) が2000 年に米国とカナダ向けに「学校数学の原則と基準」を出版し、数学改革の潮流を後押しした。2006 年に NCTM はカリキュラムの焦点を発表し、8 年生までの各学年で最も重要な数学のトピックを推奨している。しかし、これらの基準は、米国の州とカナダの州が選択したときに実施するガイドラインであった。2010 年に、全米州知事協会ベスト プラクティス センターと州教育長協議会が米国の州向けにCommon Core 州基準を出版し、その後ほとんどの州で採用された。数学における Common Core 州基準の採用は各州の裁量に委ねられており、連邦政府によって義務付けられているわけではない。^{[33] 「州は定期的に}学術基準を見直し、学生のニーズに最も合うように基準を変更または追加することを選択できます。」^[34] NCTM には、州レベルで異なる教育基準を持つ州の関連団体がある。例えば、ミズーリ州にはミズーリ数学教師協議会（MCTM）があり、そのウェブサイトには教育の柱と基準が掲載されています。MCTMはまた、教師や将来の教師に会員資格を提供し、数学教育基準の変更について最新情報を入手できるようにしています。^[35]

経済協力開発機構（OECD）が作成した国際学習到達度調査（PISA）は、15歳の生徒の読解力、科学、数学の能力を調査する世界規模のプログラムです。^[36]最初の調査は2000年に43か国が参加して実施されました。^[37] PISAは比較可能なデータを提供するために3年ごとにこの調査を繰り返し、若者が将来の経済に備えるためのより良い準備をするための世界的教育の指針となっています。3年ごとのPISA調査の結果を受けて、関係者の暗黙的および明示的な反応により多くの影響が生じ、教育改革や政策変更につながっています。^{[37] [38] [23]}

ヒーバートとグラウスによれば、「教室での指導に関する強力で有用な理論はまだ存在しない」とのことです。^[39]しかし、子供たちがどのように数学を学ぶかについては有用な理論があり、これらの理論を指導にどのように適用できるかを探るために、ここ数十年にわたり多くの研究が行われてきました。以下の結果は、数学教育の分野における現在の研究結果の例です。

最近の研究で最も有力な結果の 1 つは、効果的な指導の最も重要な特徴は、生徒に「学習の機会」を与えることであるということです。教師は、生徒の学習機会に影響を与える期待、時間、課題の種類、質問、許容される回答、およびディスカッションの種類を設定できます。これには、スキルの効率性と概念の理解の両方が関係している必要があります。

概念理解を促進するための指導法の最も重要な特徴のうちの 2 つは、概念に明示的に注意を払うことと、生徒が重要な数学に苦労できるようにすることです。これらの特徴は両方とも、さまざまな研究を通じて確認されています。概念に明示的に注意を払うには、事実、手順、アイデアを関連付ける必要があります。(これは、東アジア諸国の数学指導の強みの 1 つとよく見られ、これらの国では教師は通常、時間の約半分を関連付けに費やしています。もう一方の極端なのは米国で、学校の授業では基本的に関連付けがまったく行われていません。^[40] ) これらの関連付けは、手順の意味の説明、問題の戦略と解決策を比較する質問、1 つの問題が他の問題の特別なケースであることに気付くこと、生徒に要点を思い出させること、レッスンの関連性について話し合うことなどを通じて行うことができます。

数学的概念に対する意図的で生産的な取り組みとは、生徒が重要な数学的概念に努力を注ぐと、この取り組みが最初は混乱や間違いを伴ったとしても、結果としてより優れた学習につながるという事実を指します。これは、取り組みが意図的に挑戦的で適切に実施された指導によるものであるか、意図せず混乱を招く誤った指導によるものであるかに関係なく当てはまります。

形成的評価は、生徒の成績、生徒の関与、教師の職業的満足度を高めるための最良かつ最も安価な方法です。結果は、クラスの規模を縮小したり、教師のコンテンツ知識を増やしたりした場合よりも優れています。効果的な評価は、生徒が知っておくべきことを明確にし、必要な証拠を得るための適切なアクティビティを作成し、適切なフィードバックを提供し、生徒が学習をコントロールできるように促し、生徒同士がリソースとなるようにすることに基づいています。

生徒が過去の授業を練習したり、将来の授業に備えたりする宿題は、現在の授業を復習する宿題よりも効果的です。生徒はフィードバックから恩恵を受けます。学習障害のある生徒ややる気の出ない生徒は、報酬から恩恵を受けるかもしれません。年少の子供の場合、宿題は単純なスキルの習得には役立ちますが、より広範な達成度の尺度には役立ちません。

本当に困難を抱える生徒（動機や過去の指導とは無関係）は、基本的な事実を理解するのに苦労し、衝動的に答え、心的表現に苦労し、数感覚が乏しく、短期記憶が乏しい。このような生徒を支援するのに効果的であることがわかっている手法には、仲間による学習、視覚教材を使った明示的な指導、形成的評価に基づく指導、生徒に声に出して考えるように促すことなどがある。

特に、数学の授業における障害のある生徒に関する研究は、主に特殊教育の研究者によって行われています。数学教育の研究者の中には、障害のある数学の生徒に役立つ支援をよりよく理解するために、分野を超えた協力を求める人もいます。^[43]

小学生は代数表記法を学ぶ前に、長い時間をかけて代数的性質を記号なしで表現する方法を学ぶ必要があります。記号を学ぶとき、多くの生徒は文字が常に未知数を表すと信じ、変数の概念に苦労します。彼らは文章問題を解くために代数方程式よりも算術的推論を好みます。パターンを説明するために算術から代数の一般化に移行するには時間がかかります。生徒はマイナス記号に苦労することが多く、等号が「答えは...」を意味すると理解します。

数学は人種に中立であるという一般的な考えにもかかわらず、いくつかの研究^[44]は、文化的に多様な生徒に効果的に数学を教えるには、生徒の文化的背景と経験を考慮した文化的に適切な教育法が必要であることを示唆しています。文化的に適切な教育法の3つの基準は、学業成績、文化的能力、批判的意識です。より最近の研究^[45]は、文化を維持する教育法は、教育システム内で文化的および言語的多元性を永続させ、促進することを明確に目的としており、生徒が文化的アイデンティティを保持しながら成長できることを保証することを提案しています。

教育実習は、教員候補者が教員になるための道のりの重要な部分です。数学教員教育の改革案には、教室管理と生き残りを過度に重視するモデルとは対照的に、生徒の数学的思考を予測し、引き出し、活用することを学ぶことを主な目標とすることが含まれています。^[46]

他の教育研究 (および一般的な社会科学)と同様に、数学教育研究は定量的研究と定性的研究の両方に依存しています。定量的研究には、特定の教授法が現状よりも大幅に優れた結果をもたらすかどうかなど、特定の質問に答えるために推論統計を使用する研究が含まれます。最も優れた定量的研究は、学生またはクラスにさまざまな方法をランダムに割り当ててその効果をテストするランダム化試験です。統計的に有意な結果を得るには、大規模なサンプルが必要です。

質的研究、たとえばケーススタディ、アクションリサーチ、談話分析、臨床面接などは、学生の学習を理解し、特定の方法がなぜ、どのように結果をもたらすかを調べるために、小規模だが焦点を絞ったサンプルに依存しています。このような研究では、ランダム化試験のように、ある方法が他の方法よりも優れていることを決定的に証明することはできませんが、治療Xが治療Yよりも優れている理由を理解しない限り、量的研究の結果を適用すると、実際の教室での研究結果の「致命的な突然変異」 ^{[39]につながることがよくあります。探索的な質的研究は、ランダム化実験によって最終的にテストできる新しい}仮説を提案するのにも役立ちます。したがって、他の社会科学と同様に、質的研究と量的研究の両方が教育に不可欠であると考えられています。^[47]多くの研究は「混合」であり、必要に応じて量的研究と質的研究の両方の側面を同時に組み合わせています。

異なるタイプの研究の相対的な強みについては、いくつかの論争がありました。ランダム化試験は「何が効果的か」についての明確で客観的な証拠を提供するという意見のため、政策立案者はしばしばそれらの研究だけを考慮します。一部の学者は、教授法がクラスにランダムに割り当てられるランダムな実験を増やすよう主張しました。^{[48] [49]}生物医学、心理学、政策評価など、人間を対象とする他の分野では、管理されたランダム化実験が治療法を評価するための好ましい方法であり続けています。 ^{[50] [51]}教育統計学者と一部の数学教育者は、教授法を評価するためにランダム化実験の使用を増やすよう取り組んできました。^[49]一方、教育学界の多くの学者は、ランダム化実験の数を増やすことに反対している。その理由は、実験の効果がまだ分かっていないのに、生徒を様々な実験にランダムに割り当てることの倫理的な難しさや、^[52]流動的で実際の学校環境で独立変数を厳密に制御することの難しさなどの哲学的な反対意見である。^[53]

米国では、全米数学諮問委員会（NMAP）が2008年に研究に基づく報告書を発表したが、その研究の中には、教室や生徒などの実験単位にランダムに処理を割り当てるものもあった。NMAPの報告書がランダム化実験を好んだことは、一部の学者から批判を受けた。^[54] 2010年に、What Works Clearinghouse （教育省の研究部門）は、回帰不連続設計や単一事例研究などの非実験研究を含むように研究基盤を拡大することで、進行中の論争に応えた。^[55]

• 数学教育諮問委員会
• アメリカ2年制大学数学協会
• 数学教師協会
• カナダ数学協会
• CD ハウ研究所
• 数学協会
• 全米数学教育協議会
• OECD
• 国際教育達成評価協会
• 数学教師教育者協会

• Voit, Rita (2020年2月14日)。「加速数学：すべての親が知っておくべきこと」。HEROES Academyによるリソース。 2023年9月20日閲覧。

Wikiquoteには数学教育に関する引用があります。

• 数学教育の歴史
• 米国の「数学戦争」と政治的党派心の四半世紀。デビッド・クライン。カリフォルニア州立大学ノースリッジ校、米国