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数学において、パーセンテージ、パーセント、またはパーセント（ラテン語のper centum「百分の」に由来）は、100 の分数として表される数値または比率です。多くの場合、パーセント記号(%)を使用して表されますが、 [ 1 ] pct.、pct、および時にはpc という略語も使用されます。[ 2 ]パーセンテージは無次元数（純数）であり、主に比率を表すために使用されますが、それでもパーセントは、その綴りと使用法において測定単位です。 [ 3 ]
例えば、45%（「45パーセント」と読みます）は、分数 45 / 100、つまり 0.45 に相当します。パーセンテージは、全体に対する割合を表すためによく用いられます。
（同様に、数を1,000の分数で表す場合、「パーミル」という用語または「‰」という記号を用いることもできます。）
クラスの生徒総数の50%が男子生徒である場合、それは生徒100人中50人が男子生徒であることを意味します。生徒が500人いる場合、そのうち250人が男子生徒です。
価格が2.50ドルから0.15ドル値上がりすると、値上がり率は0.15 / 2.50 = 0.06となります。これをパーセンテージで表すと、6%の値上がりとなります。
多くのパーセンテージ値は0から100の間ですが、数学的な制約はなく、パーセンテージは他の値をとることもあります。[ 4 ]例えば、特にパーセント変化や比較の場合、111%や-35%などの値を参照するのが一般的です。
古代ローマでは、十進法が存在するずっと以前から、計算はしばしば1/100の倍数で表される分数で行われていました。例えば、アウグストゥスは競売で売られた商品に1/100の税金を課し、これはcentesima rerum venaliumと呼ばれていました。このような分数を用いた計算は、パーセンテージの計算と同等でした。
中世に貨幣の単位が増えるにつれて、分母が100の計算がますます標準となり、15世紀後半から16世紀初頭にかけて、算術の教科書にそのような計算が含まれるのが一般的になった。これらの教科書の多くは、これらの方法を損益、利率、および3の法則に適用した。17世紀までには、利率を100分の1単位で示すのが標準となった。[ 5 ]
「パーセント」という用語は、ラテン語のper centumに由来し、「百」または「百ずつ」を意味します。[ 6 ] [ 7 ]「パーセント」の記号は 、イタリア語のper centoが徐々に縮約されて進化しました。「per」はしばしば「p」と略され、最終的には完全に消滅しました。「cento」は、水平線で区切られた 2 つの円に縮約され、そこから現代の「%」記号が派生しました。[ 8 ]
パーセント値は、比率の数値に100を掛けることで計算されます。たとえば、1,250個のリンゴのうち50個が何パーセントかを求めるには、まず比率 50 / 1250 = 0.04 を計算し、次に100を掛けて4%を得ます。パーセント値は、後から掛けるのではなく、先に掛けることで求めることもできます。この例では、50に100を掛けて5,000とし、この結果を1,250で割って4%を得ます。
パーセンテージのパーセンテージを計算するには、両方のパーセンテージを100分の1の分数、または小数に変換し、それらを掛け合わせます。たとえば、40%の50%は次のようになります。
100で割って同時にパーセント記号を使うのは正しくありません。文字通り10,000で割っていると解釈されてしまうからです。例えば、25 % = 25 / 100 = 0.25 であり、25% / 100ではありません。正しくは 25 ⁄ 100 / 100 = 0.0025 です。また、 100 / 100 %のような表記も、100 %と言いたかったとしても 1% と解釈されてしまうため、誤りです。
パーセンテージについて伝える際には、それが何に対する割合なのか（つまり、100%に相当する合計値は何か）を明確にすることが重要です。次の問題はこの点をよく示しています。
ある大学では、全学生の60%が女性で、全学生の10%がコンピュータサイエンス専攻です。女性学生の5%がコンピュータサイエンス専攻である場合、コンピュータサイエンス専攻の学生のうち女性の割合は何パーセントですか？
コンピュータサイエンス専攻の学生全体に対する、女性のコンピュータサイエンス専攻学生の割合を計算するように求められています。全学生の 60% が女性であり、そのうち 5% がコンピュータサイエンス専攻であることはわかっているので、 60 / 100 × 5 / 100 = 3 / 100 、つまり全学生の 3% が女性のコンピュータサイエンス専攻学生であると結論付けられます。これを全学生の 10% のコンピュータサイエンス専攻学生で割ると、答えは次のようになります。 3 % / 10% = 30 / 100 、つまり全コンピュータサイエンス専攻学生の 30% が女性です。
この例は、条件付き確率の概念と密接に関連している。
乗法の交換法則により、式の順序を入れ替えても結果は変わりません。例えば、20の50%は10であり、50の20%も10です。
パーセンテージの計算は、前提条件や要件に応じてさまざまな方法で実施および指導されます。このようにして、比率を用いて通常の公式を導き出すことができ、それらを暗記する必要がなくなります。いわゆる暗算では、通常、100%または1%が何であるか（何に相当するか）という中間的な質問がされます。
例：
42 kg は 7% です。100% はいくらですか？W (パーセント) とp % (パーセント)が与えられています。G (基本値)を求めます。
使用法が一定しないため、パーセンテージが何に対する相対値なのか、文脈から必ずしも明確ではありません。数量の「10%上昇」または「10%下落」について話す場合、通常は、その数量の初期値に対する相対値として解釈されます。たとえば、商品の価格が当初200ドルで、価格が10%上昇（20ドル増加）した場合、新しい価格は220ドルになります。この最終価格は、初期価格の110%（100% + 10% = 110%）であることに注意してください。
パーセント変化のその他の例：
一般的に、数量がxパーセント変化すると、最終的な金額は元の金額の 100 + xパーセントになります (つまり、元の金額の (1 + 0.01 x ) 倍)。これらの変化の重要な特性は、非対称な可逆性です。パーセント増加は、元の値に戻すには異なるパーセント減少が必要です。たとえば、25% 増加 ($100 から $125) の場合は、元の金額に戻すには 20% 減少 ($125 から $100) する必要があります。これらの相互関係を理解することは、マークアップとマージン計算でよく求められる要件であり、「反転率」は(1 / (1 + r )) - 1として計算されます。ここで、rは初期レートです。[ 9 ]
パーセント変更を連続して適用した場合、通常の方法では合計が一致しません。たとえば、先に検討した10%の値上げ（200ドルの商品で、価格が220ドルに上昇）の後に、10%の値下げ（22ドルの値下げ）が行われた場合、最終価格は198ドルとなり、元の価格の200ドルにはなりません。この明らかな矛盾が生じる理由は、2つのパーセント変更（+10%と-10%）が異なる初期値（それぞれ200ドルと220ドル）を基準として測定されているため、「相殺」されないからです。
一般的に、xパーセントの増加に続いてxパーセントの減少があり、初期金額がpであった場合、最終金額はp (1 + 0.01 x )(1 − 0.01 x ) = p (1 − (0.01 x ) 2 )となります。したがって、正味の変化は、xパーセントの全体的な減少 (元のパーセント変化を小数で表したときの二乗) となります。したがって、上記の例では、x = 10 パーセントの増加と減少の後、最終金額 $198 は、初期金額 $200 より 10% の 10%、つまり 1% 少なくなっています。x パーセントの減少に続いて x パーセントの増加がある場合も正味の変化は同じで、最終金額はp (1 - 0.01 x )(1 + 0.01 x ) = p (1 − (0.01 x ) 2 )となります。この乗法的な性質は、パーセンテージのパーセンテージを計算するには、それぞれを全体の分数として扱う必要があることを意味します。たとえば、50% のセグメント内の 20% の部分を決定すると、全体の 10% になります ($0.20 \times 0.50 = 0.10$)。この区別は、入れ子になった比率を扱う際に「加法的な誤謬」を避けるために、財務モデリングと統計分析において非常に重要です。このような入れ子になったパーセンテージを含む複雑な結果を検証するには、これらの多層的な計算の段階的な分解を使用できます。[ 10 ]
これは、変化率が同じでない場合にも拡張できます。初期金額pが変化率xをもたらし、2 番目の変化率がyである場合、最終金額はp (1 + 0.01 x )(1 + 0.01 y )となります。上記の例を変更すると、 x = 10 パーセントの増加とy = −5 パーセントの減少の後、最終金額 $209 は初期金額 $200 より 4.5% 多くなります。
上記のように、パーセント変化はどの順序で適用しても同じ効果が得られます。
金利の場合、例えば金利が年率10%から年率15%に上昇したことを示す非常に一般的だが曖昧な表現として、金利が5%上昇したと言う方法があります。これは理論的には年率10%から年率10.5%に上昇したことを意味する可能性があります。金利が5パーセントポイント上昇したと言う方が明確です。パーセントとパーセントポイントという異なる概念間の同様の混乱は、例えばジャーナリストが選挙結果を報道する際に、新しい結果と以前の結果との差の両方をパーセンテージで表す場合、大きな誤解を招く可能性があります。例えば、ある政党が41%の票を獲得し、これが2.5%の増加だと言われた場合、以前の結果は40%だったのでしょうか（41 = 40 × (1 + 2.5 / 100 )なので）それとも38.5 %だったのでしょうか（41 = 38.5 + 2.5なので）？
金融市場では、1パーセントポイントの上昇（例えば、年率3％から年率4％への上昇）を「100ベーシスポイントの上昇」と表現するのが一般的です。
ほとんどの英語では、percentは通常 2 語 ( per cent ) で書かれますが、percentageとpercentile は1 語で書かれます。[ 11 ]アメリカ英語では、percentが最も一般的なバリエーションです[ 12 ] (ただし、per milleは 2 語で書かれます)。
20 世紀初頭には、「 per cent. 」という点付きの略語があり、「 per cent 」とは対照的でした。「 per cent. 」という形式は、商業ローン契約 (特にコモン ローの対象となる、またはコモン ローに影響を受けたもの) などの特定の文書に見られる非常にフォーマルな言語や、英国議会の議事録であるHansard の記録で今でも使用されています。この用語はラテン語の per centumに由来するとされています。[ 13 ]パーセント (%) の記号は、イタリア語のper centoを略した記号から発展しました。他の言語では、代わりにprocentまたはprosentという形式が使用されています。一部の言語では、パーセントから派生した単語と、その言語で同じ意味を持つ表現の両方を使用しています。たとえば、ルーマニア語のprocentとla sută (したがって、10% はten for [each] hundred と読んだり書いたりすることができ、英語のone out of tenと同様です)。他の略語はまれですが、時々見られます。
文法やスタイルガイドによって、パーセンテージの表記方法はしばしば異なります。例えば、一般的には「1 percent」のように、すべての文章で「per cent」という単語を綴り、「1%」ではなく「per cent」と表記することが推奨されています。一方、人文科学系の文章では綴り、科学系の文章では記号を用いるべきだとするガイドもあります。ほとんどのガイドは、パーセンテージは常に数字で表記すべきであり、「5 percent」のように表記し、「five percent」とは表記しないことに同意しています。ただし、文頭の場合は例外で、「Ten percent of all writers love style guides.」のように表記します。また、分数の代わりに小数を用いるべきであり、「3.5 percent of the gain」のように表記し、「3 + 1 ⁄ 2 percent of the gain」とは表記しません。しかし、政府やその他の発行体が発行する債券の表題では、「 3 + 1 ⁄ 2 % Unsecured Loan Stock 2032 Series 2」のように分数表記が用いられます。 （金利が非常に低い場合、金利が1%未満であれば、数字の0が含まれます。例えば、「0 + 3 ⁄ 4 % 国債」のように表記され、「3 ⁄ 4 % 国債」とは表記されません。）また、表やグラフではパーセント記号（%）を使用することが広く受け入れられています。
一般的な英語の慣習に従い、シカゴ・マニュアル・オブ・スタイルなどのスタイルガイドでは、数字とパーセント記号の間にスペースを入れずに記述すると一般的に規定されています。[ 14 ] しかし、国際単位系とISO 31-0規格ではスペースが必要です。[ 15 ] [ 16 ]
スポーツ統計の文脈では、 「パーセンテージ」という言葉はしばしば誤用される。参照される数値がパーセンテージではなく小数で表されている場合である。「フェニックス・サンズのシャキール・オニールは、2008-09シーズンにフィールドゴール成功率（FG%）. 609でNBAトップとなった。」（オニールはシュートの60.9%を成功させたのであって、0.609%ではない。）同様に、チームの勝率、つまりチームが勝利した試合の割合も、通常は小数で表される。勝率.500のチームは、試合の50%に勝利したことになる。この慣習は、おそらく打率の表記方法と似ているためだろう。
「パーセント」は、道路や鉄道の勾配や傾斜を表すのに使用され、その式は 100 ×上昇/水平距離で、これは傾斜角の正接に 100 を掛けたものとしても表すことができます。これは、車両が上り坂または下り坂を走行する際に、それぞれ垂直方向と水平方向に進む距離の比率をパーセントで表したものです。
{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）増加率と減少率の間の数学的関係を分析して、基準値を復元します。
乗法パーセンテージロジックとその入れ子比率への適用に関する詳細な解説。
1961年当時は、アメリカのジャーナリストがper centまたは（あまり一般的ではないが）percentと表記するのが一般的だったが、現在では後者の綴りが唯一の選択肢となっているようだ。
Wiktionaryにおけるパーセンテージの辞書定義