微積分学入門

数学教育において、プレカルキュラスとは、代数学と三角法を含むレベルのコース、または一連のコースであり、微積分学の学習に備えるために設計されているため、プレカルキュラスと呼ばれています。学校では、代数学と三角法をコースワークの2つの別々の部分として区別することがよくあります。^[1]

コンセプト

学生が微積分で導関数と不定積分を求めるには、代数式、特にそのような式の修正と変換に精通している必要があります。レオンハルト・オイラーは、1748年に「Introductio in analysin infinitorum 」（ラテン語：無限の解析入門）という最初の微積分入門書を執筆しました。これは「微分積分学の研究の予備として、解析学と解析幾何学の概念と方法の概要を意図したもの」でした。^[2]彼は変数と関数の基本概念から始めました。彼の革新は、指数法を使用して超越関数を導入したことで知られています。任意の正の底に対する一般対数は、オイラーが指数関数の逆として示しています。

次に、自然対数は、「双曲対数が 1 となる数」を底としてとることで得られます。これはオイラー数とも呼ばれ、と書きます。グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンの微積分学からの重要な数をこのように利用すれば、自然対数を確立するのに十分です。この微積分学の部分は、の場合の単項式の積分について学生に準備させます。 $e$ $x^{p}$ $p=-1$

今日のプレカルキュラスのテキストでは、を極限として計算します。金融数学における複素利子の説明が、この極限の動機となっている可能性があります。現代のテキストのもう 1 つの違いは、複素数が避けられていることです。ただし、複素数は、負の判別式を持つ二次方程式の根として、または三角法の応用としてのオイラーの公式として出現する場合があります。オイラーはプレカルキュラスで複素数だけでなく無限級数も使用しました。今日のコースでは、算術および幾何級数と等級数を扱うかもしれませんが、オイラーがプレカルキュラスを洗練するために使用した、サン＝ヴァンサンによる双曲対数の応用については扱いません。 $e$ $e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

可変コンテンツ

プレ微積分学は、プレ代数学が代数学を準備する方法とは多少異なります。プレ代数学では、多くの場合、基本的な代数概念が広範囲にカバーされますが、プレ微積分学のコースでは、微積分概念がまったく扱われない場合でもほんのわずかであり、以前の代数学のコースでは取り上げられなかった代数のトピックを取り扱うことがよくあります。プレ微積分学のコースの中には、内容の点で他のコースと異なるものがあります。たとえば、優等生レベルのコースでは、円錐曲線、ユークリッドベクトル、および医学や工学などの分野で使用される微積分学に必要なその他のトピックに多くの時間を費やす場合があります。大学準備/通常クラスでは、行列、またはべき関数など、ビジネス関連のキャリアで使用されるトピックに焦点を当てる場合があります。

標準的なコースでは、関数、関数合成、逆関数について、集合や実数との関連で取り上げます。特に、多項式と有理関数について学びます。代数スキルは、三角関数と三角関数の恒等式で鍛えられます。二項定理、極座標、媒介変数方程式、数列と級数の極限は、プレカルキュラスの一般的なトピックです。自然数に依存する命題を証明する数学的帰納法が示されることもありますが、一般的にコースワークには理論よりも演習が含まれます。

サンプルテキスト

Roland E. Larson & Robert P. Hostetler (1989) Precalculus、第 2 版、DC Heath and Company ISBN 0-669-16277-9
マーガレット L. リアル & チャールズ D. ミラー (1988) Precalculus、スコットフォレスマン ISBN 0-673-15872-1
ジェローム・E・カウフマン (1988) 『Precalculus』、PWS-Kent Publishing Company (ワズワース)
カール・J・スミス (1990)プレカルキュラス数学: 関数型アプローチ、第 4 版、ブルックス/コール ISBN 0-534-11922-0
マイケル・サリバン (1993) 『Precalculus』、第 3 版、マクミラン出版社の Dellen 社ISBN 0-02-418421-7

オンラインアクセス

Jay Abramson 他 (2014) OpenStaxの Precalculus
デイヴィッド・リップマン & メロニー・ラスムッセン (2017) 微積分学入門：関数の探究
Carl Stitz & Jeff Zeager (2013) 微積分学入門 (pdf)

参照

参考文献

^ Cangelosi, JS (2012).中等学校および中学校における数学の指導、対話型アプローチ。Prentice Hall。
^ Bos, HJM (1980)。「第 2 章: ニュートン、ライプニッツ、ライプニッツの伝統」。Grattan -Guinness, Ivor (編)。『微積分から集合論まで、1630 – 1910: 入門史』。Duckworth Overlook。p . 76。ISBN 0-7156-1295-6。

外部リンク

Mathworld のプレカルキュラス情報

[1] Cangelosi, JS (2012).中等学校および中学校における数学の指導、対話型アプローチ。Prentice Hall。

[2] Bos, HJM (1980)。「第 2 章: ニュートン、ライプニッツ、ライプニッツの伝統」。Grattan -Guinness, Ivor (編)。『微積分から集合論まで、1630 – 1910: 入門史』。Duckworth Overlook。p . 76。ISBN 0-7156-1295-6。