方程式

数学において、方程式とは、2つの式を等号=で結ぶことでそれらの等式を表す数式である。^{[2] [3]}方程式という語と他の言語における同義語は微妙に意味が異なる場合があります。たとえば、フランス語ではéquationは1つ以上の変数を含むと定義されますが、英語では、等号で結ばれた2つの式からなる整形式の式はすべて方程式です。 ^[4]

変数を含む方程式を解くには、どの変数の値が等式を真にするかを決定する必要があります。方程式を解く必要がある変数は未知数とも呼ばれ、等式を満たす未知数の値は方程式の解と呼ばれます。方程式には恒等方程式と条件方程式の2種類があります。恒等方程式は変数のすべての値に対して真です。条件方程式は変数の特定の値に対してのみ真です。^{[5] [6]}

すべての方程式に現れる「＝ 」記号は、同じ長さの平行直線以上に等しいものはないと考えていたロバート・レコードによって1557年に発明されました。 ^[1]

方程式は、等号("=")でつながれた2 つの式として表されます。 ^[2]等号の両側の式は、方程式の「左辺」と「右辺」と呼ばれます。方程式の右辺は 0 であると想定されることが非常に多くあります。これは、両辺から右辺を引くことで実現できるため、一般性を損なうものではありません。

最も一般的な方程式は、2つの辺が多項式である多項式方程式（一般に代数方程式とも呼ばれる）です。多項式方程式の辺には、1つ以上の項が含まれます。たとえば、次の方程式は

${\displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y=0}$

の左辺は4 つの項から成り、右辺は1 つの項から成ります。変数名から、xとy は未知数であり、 A、B、Cはパラメータであることが分かりますが、これは通常、コンテキストによって決まります (コンテキストによっては、y がパラメータであったり、A、B、C が通常の変数であったりすることもあります)。 ${\displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y}$${\displaystyle 0}$

方程式は、重りを置く秤に似ています。同じ重さの何か（例えば穀物）を2つの皿に置くと、2つの重りによって秤のバランスが取れ、等しいと言われます。秤の片方の皿から穀物の量を取り除いた場合、秤のバランスを保つには、もう一方の皿から同じ量を取り除かなければなりません。より一般的には、同じ操作を両側で実行すれば方程式はバランスを保ちます。^[7]

2 つの方程式または 2 つの連立方程式は、解の集合が同じである場合、同等です。次の演算は、適用される式に対して意味のある演算であれば、方程式または連立方程式を同等のものに変換します。

• 方程式の両辺に同じ量を加算または減算します。これは、すべての方程式が右辺がゼロである方程式と等しいことを示しています。
• 方程式の両辺をゼロ以外の量で乗算または除算します。
• 恒等式を適用して方程式の片側を変換します。たとえば、積を展開したり、合計を因数分解したりします。
• システムの場合: 方程式の両辺に別の方程式の対応する辺を加え、同じ量を掛け合わせます。

何らかの関数を方程式の両辺に適用すると、結果として得られる方程式の解の中には最初の方程式の解も含まれますが、さらに、余分な解と呼ばれる解が含まれることがあります。たとえば、次の方程式の解は です。両辺を 2 の累乗すると (つまり、関数を方程式の両辺に適用すると)、方程式は となり、以前の解が含まれるだけでなく、余分な解 も含まれてしまいます。さらに、関数が特定の値で定義されていない場合 ( x = 0では定義されない1/ xなど)、その値で存在する解が失われることがあります。したがって、このような変換を方程式に適用する場合は注意が必要です。 ${\displaystyle x=1}$${\displaystyle x=1.}$${\displaystyle f(s)=s^{2}}$${\displaystyle x^{2}=1}$${\displaystyle x=-1.}$

上記の変換は、方程式を解くためのほとんどの基本的な方法の基礎であり、ガウス消去法などのそれほど基本的ではない方法の基礎でもあります。

方程式は、天秤、天秤、シーソーに似ています。

方程式の各辺は、天秤の片側に対応します。各辺には異なる量を置くことができます。両側の重量が等しい場合、天秤はバランスが取れており、同様に、天秤を表す等式もバランスが取れています (そうでない場合、バランスの欠如は不等式で表される不等式に対応します)。

図では、x、y、zはすべて円形の重みとして表された異なる量（この場合は実数）であり、x、y、zのそれぞれに異なる重みがあります。加算は重みを追加することに対応し、減算は既存の重みを削除することに対応します。等式が成立する場合、各辺の合計重みは同じです。

方程式には未知数以外の項が含まれることがよくあります。これらの既知であると想定される他の項は通常、定数、係数、またはパラメータと呼ばれます。

xとyを未知数とし、パラメータRを含む方程式の例は次の通りである。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

Rの値が 2 ( R = 2) になるように選択されると、この方程式は直交座標では原点の周りの半径 2 の円の方程式として認識されます。したがって、 Rが指定されていない方程式は、円の一般的な方程式です。

通常、未知数はアルファベットの末尾の文字x、y、z、w、... で表され、係数 (パラメータ) は先頭の文字a、b、c、d、... で表されます。たとえば、一般的な二次方程式は通常、ax ²  +  bx  +  c  = 0 と表記されます。

解を求めるプロセス、またはパラメータの場合は未知数をパラメータで表現するプロセスを、方程式を解くと呼びます。パラメータで表された解のこのような表現は、解とも呼ばれます。

連立方程式とは、複数の未知数を持つ同時方程式の集合であり、通常はそれらの共通の解が求められます。したがって、連立方程式の解は、各未知数の値の集合であり、これらが一緒になって、連立方程式の各解を形成します。たとえば、連立方程式は、

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}$

唯一の解はx  = −1、y  = 1 です。

恒等式は、含まれる変数のすべての可能な値に対して真となる方程式です。代数と微積分では多くの恒等式が知られています。方程式を解く過程では、方程式を単純化してより簡単に解けるようにするために恒等式がよく使用されます。

代数学では、恒等式の例として2 つの平方数の差が挙げられます。

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$

これはすべてのxとyに当てはまります。

三角法は多くの恒等式が存在する分野です。これらは三角方程式を操作したり解いたりするのに役立ちます。正弦関数と余弦関数を含む多くの恒等式のうち 2 つを以下に示します。

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

そして

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$

これらは両方ともθのすべての値に対して当てはまります。

たとえば、次の式を満たす θの値を求めるには、

${\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}$

ここで、θは 0 度から 45 度までの範囲に制限されており、上記の積の等式を使用して次の式を得ることができます。

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}$

θについては次の解が得られる。

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}$

正弦関数は周期関数なので、 θに制限がなければ解は無限に存在します。この例では、θ を0 度から 45 度の間に制限すると、解は 1 つの数値だけに制限されます。

代数学では、多項式方程式と、その中でも特殊な場合である線型方程式という、2 つの主要な方程式族を研究します。変数が 1 つしかない場合、多項式方程式の形式はP ( x ) = 0 ( Pは多項式 )であり、線型方程式の形式はax  +  b  = 0 ( aとbはパラメータ) です。どちらの族の方程式を解くにも、線型代数や数学的解析学に由来するアルゴリズム的または幾何学的な手法を使用します。代数学では、係数と解が整数であるディオファントス方程式も研究します。使用される手法は異なり、数論に由来します。これらの方程式は一般に難しく、解の存在または非存在を見つけるため、また解が存在する場合はその数を数えるためだけに検索することがよくあります。

一般に、代数方程式または多項式方程式は、次の形式の方程式である。

${\displaystyle P=0}$、 または

${\displaystyle P=Q}$ ^[あ]

ここで、PとQ は、何らかの体(有理数、実数、複素数など)の係数を持つ多項式です。代数方程式は、変数が 1 つだけの場合、単変量です。一方、多項式方程式には複数の変数が含まれる場合があり、その場合は多変量(複数の変数、x、y、z など) と呼ばれます。

例えば、

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

は整数係数を持つ一変数代数（多項式）方程式であり、

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

有理数上の多変数多項式方程式です。

有理係数を持つ多項式方程式の中には、その係数だけを含む有限回の演算を伴う代数式の解を持つものがあります（つまり、代数的に を解くことができます）。これは、1、2、3、または 4 次のすべての方程式に対して行うことができますが、アーベル-ルフィニの定理が示すように、5 次以上の方程式は常にこの方法で解けるとは限りません。

単変数代数方程式の実数解または複素解（多項式の根の発見を参照）や複数の多変数多項式方程式の共通解（多項式方程式系を参照）の正確な近似値を効率的に計算するための研究が数多く行われてきました。

線形方程式系（または線形システム）は、 1つ以上の変数を含む線形方程式の集合です。^[b]たとえば、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

は、3つの変数x、y、zの3つの方程式からなるシステムです。線形システムの解は、すべての方程式が同時に満たされるように変数に数値を割り当てることです。上記のシステムの解は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}$

3 つの方程式すべてが有効になるからです。「システム」という言葉は、方程式を個別にではなく集合的に考慮する必要があることを示しています。

数学において、線形システムの理論は、現代数学の多くの部分で使用される主題である線形代数の基本的な部分です。解を求める計算アルゴリズムは数値線形代数の重要な部分であり、物理学、工学、化学、コンピュータサイエンス、経済学で重要な役割を果たしています。非線形方程式のシステムは、多くの場合、線形システムで近似できます(線形化を参照)。これは、比較的複雑なシステムの数学モデルやコンピュータシミュレーションを作成するときに役立つ手法です。

ユークリッド幾何学では、たとえば直交グリッドによって、空間内の各点に座標の集合を関連付けることができます。この方法により、方程式によって幾何学的図形を特徴付けることができます。3次元空間の平面は、 という形式の方程式の解集合として表すことができます。ここで、と は実数であり、 は直交グリッドによって与えられたシステム内の点の座標に対応する未知数です。値は、方程式によって定義された平面に垂直なベクトルの座標です。線は、2つの平面の交点、つまり に値を持つ単一の線形方程式の解集合、または に値を持つ2つの線形方程式の解集合として表されます。${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

円錐曲線は、方程式を持つ円錐と平面の交差です。言い換えると、空間では、すべての円錐曲線は、平面の方程式と先ほど与えられた円錐の方程式の解集合として定義されます。この形式により、円錐曲線の焦点の位置と特性を決定できます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

方程式を使用すると、幾何学の問題を解くために数学の広い範囲を活用できます。直交座標系では、図形を方程式に変換すると、幾何学の問題が解析問題に変換されます。そのため、解析幾何学と呼ばれます。デカルトによって概説されたこの観点は、古代ギリシャの数学者が考え出した幾何学の種類を豊かにし、修正します。

現在、解析幾何学は数学の活発な分野を指します。解析幾何学では図形を特徴付けるために依然として方程式を使用しますが、関数解析や線型代数などの他の高度な手法も使用します。

デカルト幾何学では、方程式を使用して幾何学図形を記述します。 考慮される方程式 (暗黙の方程式や媒介変数方程式など) には無限の解があるため、目的が異なります。つまり、解を明示的に与えたり数え上げたりする (これは不可能です) 代わりに、方程式を使用して図形の特性を調べます。これが、数学の重要な分野である代数幾何学の出発点となる考え方です。

同じ原理を使用して、3 つの直交座標 (互いに垂直な 3 つの平面への符号付き距離、または同等に、互いに垂直な 3 つの線への垂直投影) を使用して、3次元 空間内の任意の点の位置を指定できます。

17 世紀にルネ・デカルトが発明した直交座標は、ユークリッド幾何学と代数学を初めて体系的に結びつけ、数学に革命をもたらしました。直交座標系を使用すると、幾何学的図形 (曲線など) を直交方程式、つまり図形上の点の座標を含む代数方程式で記述できます。たとえば、平面上の半径 2 の円は、原点と呼ばれる特定の点を中心とし、座標xとyが方程式x ² + y ² = 4を満たすすべての点の集合として記述できます。

曲線のパラメトリック方程式は、曲線上の点の座標をパラメータと呼ばれる変数の関数として表す。^{[8] [9]}例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$

は単位円のパラメトリック方程式であり、tはパラメータです。これらの方程式をまとめて、曲線のパラメトリック表現と呼びます。

パラメトリック方程式の概念は、面、多様体、および高次元の代数多様体に一般化されており、パラメーターの数は多様体または多様体の次元に等しく、方程式の数は多様体または多様体が考慮される空間の次元に等しくなります (曲線の場合、次元は1で1 つのパラメーターが使用され、面の場合、次元は2で2 つのパラメーターが使用されます、など)。

ディオファントス方程式は、2 つ以上の未知数に対する整数解のみが求められる多項式方程式です(整数解とは、すべての未知数が整数値を取る解のことです)。線形ディオファントス方程式は、次数0 または 1の単項式の 2 つの和の間の方程式です。線形ディオファントス方程式の例は、ax + by = cです( a、b、cは定数)。指数ディオファントス方程式は、方程式の項の指数が未知数になる可能性がある方程式です。

ディオファントス問題では、未知の変数の数よりも方程式の数が少なく、すべての方程式に正しく当てはまる整数を求めます。より専門的な言葉で言えば、代数曲線、代数面、またはより一般的なオブジェクトを定義し、その上の 格子点について尋ねます。

ディオファントスという言葉は、3世紀のヘレニズム時代の数学者、アレクサンドリアのディオファントスに由来しています。ディオファントスはそのような方程式を研究し、代数に記号を導入した最初の数学者の一人でした。ディオファントスが始めたディオファントス問題の数学的研究は、現在ではディオファントス解析と呼ばれています。

代数的数とは、有理係数を持つ 1 変数の非ゼロ多項式方程式の解である数です(または、分母を消去することで整数係数を持つ数と同等になります) 。πなどの代数的でない数は、超越数であると言われています。ほぼすべての実数と複素数は超越数です。

代数幾何学は数学の一分野であり、古典的には多項式方程式の解を研究します。現代の代数幾何学は、幾何学の言語と問題を伴う、より抽象的な抽象代数、特に可換代数の手法に基づいています。

代数幾何学における基本的な研究対象は代数多様体であり、これは多項式方程式系の解の幾何学的表現である。最も研究されている代数多様体のクラスの例としては、直線、円、放物線、楕円、双曲線、楕円曲線のような3 次曲線、レムニスケート曲線のような4 次曲線、カッシーニの楕円などがある平面代数曲線がある。平面上の点は、その座標が与えられた多項式方程式を満たす場合、代数曲線に属する。基本的な問題には、特異点、変曲点、無限遠点など、特に興味深い点の研究が含まれる。より高度な問題には、曲線の位相と、異なる方程式によって与えられた曲線間の関係が含まれる。

微分方程式は、ある関数とその導関数を関連付ける数学的な方程式です。応用分野においては、関数は通常、物理量を表し、導関数はその変化率を表し、方程式は 2 つの関係を定義します。微分方程式は、導関数を含まない関数の式を見つけることで解かれます。微分方程式は、変数の変化率を含むプロセスをモデル化するために使用され、物理学、化学、生物学、経済学などの分野で使用されます。

純粋数学では、微分方程式はさまざまな観点から研究されますが、主にその解、つまり方程式を満たす関数の集合に関係しています。明示的な公式で解けるのは最も単純な微分方程式だけですが、特定の微分方程式の解のいくつかの特性は、その正確な形を見つけなくても決定できる場合があります。

解を求めるための自己完結的な公式が利用できない場合は、コンピュータを使用して解を数値的に近似することができます。動的システムの理論では、微分方程式で記述されるシステムの定性的な分析に重点が置かれていますが、与えられた精度で解を決定するための数値的手法が数多く開発されてきました。

常微分方程式またはODE は、1 つの独立変数の関数とその導関数を含む方程式です。「常微分方程式」という用語は、複数の独立変数に関する場合がある偏微分方程式という用語と対照的に使用されます。

係数を加算したり乗算したりできる解を持つ線型微分方程式は、明確に定義され理解されており、正確な閉形式の解が得られます。対照的に、加法解を持たない常微分方程式は非線形であり、その解法ははるかに複雑です。これは、閉形式の基本関数で表現することがほとんどできないためです。代わりに、常微分方程式の正確な解析解は、級数形式または積分形式です。手作業またはコンピューターで適用されるグラフィカルおよび数値的方法は、常微分方程式の解を近似し、正確な解析解がない場合に十分な有用な情報をもたらす可能性があります。

偏微分方程式( PDE) は、未知の多変数関数とその偏導関数を含む微分方程式です。(これは、単一変数の関数とその導関数を扱う常微分方程式とは対照的です。) PDE は、複数の変数の関数を含む問題を定式化するために使用され、手作業で解くか、関連するコンピュータ モデルを作成するために使用されます。

PDE は、音、熱、静電気、電気力学、流体の流れ、弾性、量子力学など、さまざまな現象を記述するために使用できます。これらの一見異なる物理現象は、PDE によって同様に形式化できます。常微分方程式が 1 次元の動的システムをモデル化するのと同様に、偏微分方程式は多次元システムをモデル化するのがよく行われます。PDE は、確率偏微分方程式で一般化されます。

方程式は、関係する演算と量 の種類に応じて分類できます。重要な種類は次のとおりです。

• 代数方程式または多項式方程式は、両辺が多項式である方程式です（多項式方程式系も参照）。これらはさらに次数によって分類されます。
  • 1次の線形方程式
  • 2次方程式
  • 3次方程式の3次
  • 4次方程式
  • 5次の五次方程式
  • 6次の6次方程式
  • 7 度の敗血症方程式
  • 8次のオクト方程式
• ディオファントス方程式は、未知数が整数であることが求められる方程式である。
• 超越方程式とは、その未知数の超越関数を含む方程式である。
• パラメトリック方程式とは、変数の解が方程式に現れるパラメータと呼ばれる他の変数の関数として表現される方程式である。
• 関数方程式とは、未知数が単純な量ではなく関数である方程式である。
• 微分、積分、差分を含む方程式:
  • 微分方程式は、関数とその導関数が同じ点で評価される、未知の関数の導関数を含む関数方程式です。微分方程式は、1変数の関数に対する常微分方程式と、複数の変数の関数に対する偏微分方程式に細分されます。${\displaystyle f'(x)=x^{2}}$
  • 積分方程式は、未知の関数の不定積分を含む関数方程式です。1変数の関数の場合、そのような方程式は主に関数をその導関数に置き換える変数の変更によって微分方程式と異なりますが、積分が開いた表面上で行われる場合はそうではありません。
  • 積分微分方程式は、未知の関数の導関数と不定関数の両方を含む関数方程式です。 1 つの変数の関数の場合、このような方程式は、同様の変数の変更によって積分方程式や微分方程式とは異なります。
  • 遅延微分方程式の関数微分方程式は、次のような複数の点で評価される未知の関数の導関数を含む関数方程式です。${\displaystyle f'(x)=f(x-2)}$
  • 差分方程式は、未知数が関数fであり、方程式の次数と呼ばれる整数kに対して、 f ( x )、f ( x −1 )、...、f ( x − k )を通じて方程式に現れる方程式である。xが整数に制限されている場合、差分方程式は再帰関係と同じである。
  • 確率微分方程式は、1つ以上の項が確率過程である微分方程式である。

• Winplot: 2D および 3D の数式を描画およびアニメーション化できる汎用プロッタ。
• 方程式プロッター: 2 つの変数 ( xとy )の方程式と不等式の解セットの PDF または PostScript プロットを生成およびダウンロードするための Web ページ。