線形化

数学において、線形化とは、与えられた点における関数の線形近似を求めることです。関数の線形近似は、関心のある点の周りの1次テイラー展開です。動的システムの研究において、線形化は、非線形微分方程式系または離散動的システムの平衡点の局所安定性を評価する方法です。^[1]この方法は、工学、物理学、経済学、生態学 などの分野で使用されています。

関数の線形化は直線であり、通常は計算に使用できる直線です。線形化は、が(または)で微分可能であり、 がに近い場合に、における関数の値と傾きに基づいて、任意の における関数の出力を近似する効果的な方法です。つまり、線形化は の近くの関数の出力を近似します。 ${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x=b}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [b,a]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x=a}$

たとえば、 です。しかし、 の良い近似値は何でしょうか? ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$${\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}$

任意の関数 に対して、それが既知の微分可能点の近くにある場合、 を近似できます。最も基本的な要件は、ここで はにおけるの線形化です。方程式の点-傾き形式は、点と傾きが与えられた場合に、直線の方程式を形成します。この方程式の一般形は次のとおりです。 ${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$${\displaystyle L_{a}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle (H,K)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle yK=M(xH)}$

点 を使用すると、になります。微分可能関数は局所的に線形なので、 に代入する最適な傾きは、におけるの接線の傾きになります。 ${\displaystyle (a,f(a))}$${\displaystyle L_{a}(x)}$${\displaystyle y=f(a)+M(xa)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x=a}$

局所線形性の概念は に任意に近い点に最も当てはまりますが、に比較的近い点では線形近似が比較的うまく機能します。 の傾きは、最も正確には における接線の傾きになります。 ${\displaystyle x=a}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x=a}$

視覚的には、添付の図はにおけるの接線を示しています。 （ は任意の小さな正または負の値）では、点における接線の値にほぼ相当します。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x+h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f(x+h)}$${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$

関数の線形化の最終方程式は次のようになります。 ${\displaystyle x=a}$$${\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(xa))}$$

の場合、です。の導関数は であり、におけるの傾きはです。 ${\displaystyle x=a}$${\displaystyle f(a)=f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f'(a)}$

を求めるには、 という事実を利用できます。におけるの線形化 は です。これは、 関数がにおけるの関数の傾きを定義するためです。 を に代入すると、4 における線形化は です。この場合 なので、はほぼ です。真の値は 2.00024998 に近いため、線形化近似の相対誤差は 100 万分の 1 パーセント未満です。 ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(xa)}$${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a=4}$${\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}$${\displaystyle x=4.001}$${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$${\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}$

ある点における関数の線形化の式は次のとおりです。 ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle p(a,b)}$

${\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(xa)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(yb)}$

ある点における多変数関数の線形化の一般的な方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle f({\mathbf {x} })\about f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\ mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}$

ここでは変数のベクトル、は勾配、 は線形化の対象点です。^[2]${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\nabla f}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$

線形化により、線形システムを研究するためのツールを使って、特定の点の近くの非線形関数の挙動を分析することが可能になります。関数の線形化は、関心のある点の周りのテイラー展開の1次項です。次の式で定義されるシステムの場合、

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$、

線形化されたシステムは次のように記述できる。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}$

ここで は関心のある点であり、 はで評価されたの-ヤコビアンです。 ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$

自律システムの安定性解析では、双曲平衡点で評価されたヤコビ行列の固有値を使用して、その平衡の性質を決定することができます。これが線形化定理の内容です。時間変動システムの場合、線形化には追加の正当化が必要です。^[3]

ミクロ経済学では、意思決定ルールは線形化への状態空間アプローチの下で近似されることがある。^[4]このアプローチでは、効用最大化問題のオイラー方程式は定常定常状態を中心に線形化される。^[4]結果として得られる動的方程式のシステムに対する一意の解が見つかる。^[4]

数学的最適化では、コスト関数とその中の非線形コンポーネントを線形化して、シンプレックスアルゴリズムなどの線形解決法を適用することができます。最適化された結果は、はるかに効率的に達成され、グローバル最適値として決定論的です。

マルチフィジックスシステム（相互作用する複数の物理場を含むシステム）では、各物理場に関して線形化が行われることがあります。各場に関してシステムを線形化すると、線形化されたモノリシック方程式システムが得られ、ニュートン・ラプソン法などのモノリシック反復解法を使用して解くことができます。この例としては、電磁場、機械場、音響場のシステムとなるMRIスキャナーシステムがあります。 ^[5]

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