分母のクリア

数学において、分母消去法（分数消去法とも呼ばれる）は、それぞれが有理式の和である2つの式を等式化して簡略化する手法であり、これには単純な分数も含まれる。

方程式を考えてみましょう

$\displaystyle {\frac {x}{6}}+{\frac {y}{15z}}=1.}$

2つの分母6と15zの最小公倍数は30zなので、両辺に30zを掛けます。

${\displaystyle 5xz+2y=30z.\,}$

その結果、分数を含まない方程式が得られる。

簡略化された方程式は、元の方程式と完全に等価ではありません。最後の方程式にy = 0とz = 0を代入すると、両辺が 0 に簡略化され、 0 = 0という数学的に正しい式が得られます。しかし、同じ代入を元の方程式に適用すると、x /6 + 0/0 = 1となり、これは数学的に意味がありません。

一般性を失うことなく、方程式E ₁ = E _2はE ₁ − E ₂ = 0の形に書き換えることができるため、方程式の右辺は0 であると仮定できます。

では、方程式を次の形式にしましょう。

$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.}$

最初のステップは、これらの分数の共通分母Dを決定することです。できれば、最小公倍数であるQ _iの最小公倍数である最小公分母が望ましいです。

これは、各Q _{i が}Dの因数であることを意味するので、D = R _i Q _iとなるが、 R _iは分数ではない式である。

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{R_{i}Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{D}}\,,}$

ただし、R _i Q _{i が}0 の値にならない場合に限る。この場合、Dも0 になる。

ということで、

$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.}$

Dが0の値とならない限り、後者の式は以下と同等である。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0\,,}$

分母が消滅している。

ただし、その但し書きが示すように、方程式の未知数の関数として見なされるDの零点を偽の解として導入しないように注意する必要がある。

方程式を考えてみましょう

$\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{x(x+2)}}-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}=0.}$

最小公倍数はx ( x + 1)( x + 2)です。

上記の方法に従うと、

${\displaystyle (x+2)+(x+1)-x=0.}$

これをさらに簡略化すると、解はx = −3となります。

x ( x + 1)( x + 2)の零点、すなわちx = 0、x = −1、およびx = −2のいずれも最終方程式の解ではないことは容易に確認できるため、偽の解は導入されなかった。

• リチャード・N・アウフマン、ジョアン・ロックウッド（2012）。代数学：初級と中級（第3 版）。Cengage Learning。p.  88。ISBN 978-1-133-70939-8。