余分な解決策や欠けている解決策

数学において、無関係な解（または偽の解）とは、問題を解く過程で生じるが、その問題に対する有効な解ではない解のことである。^[1]失われた解とは、解決の過程で失われた有効な解のことである。どちらの状況も、関係する変数の一部またはすべての値に対して逆変換できない操作を実行することによって生じることが多く、これにより論理的含意の連鎖が双方向になることが妨げられる。

代数の基本原理の 1 つは、方程式の両辺に同じ式を掛けても方程式の解は変わらないということです。しかし、厳密に言えば、これは正しくなく、特定の式を掛けると、それまで存在しなかった新しい解が生まれる可能性があります。たとえば、次の方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle x+2=0.}$

両辺にゼロをかけると、

${\displaystyle 0=0.}$

これは のすべての値に当てはまるので、解の集合はすべて実数です。しかし、明らかにすべての実数が元の方程式の解であるわけではありません。問題は、ゼロによる乗算が逆ではないことです。つまり、ゼロ以外の値を乗算した場合、同じ値で除算することで手順を逆にすることができますが、ゼロによる除算は定義されていないため、ゼロによる乗算を逆にすることはできません。 ${\displaystyle x}$

もっと微妙に、同じ方程式の両辺にを掛けると、次のようになります。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x(x+2)=(0)x,}$

${\displaystyle x^{2}+2x=0.}$

この二次方程式には、 と の 2 つの解があります。ただし、を元の方程式に代入すると、結果は無効な方程式 になります。この直感に反する結果が生じるのは、 の場合、両辺に を掛けると両辺に 0 が掛けられるため、最初の例のように必ず正しい方程式が生成されるからです。 ${\displaystyle x=-2}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 2=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x}$

一般的に、方程式の両辺に変数を含む式を掛けると、その式がゼロになるところには必ず無関係な解が生まれます。しかし、これらの値を排除するだけでは不十分です。なぜなら、それらは元の方程式の正当な解であった可能性があるからです。例えば、元の方程式の両辺にを掛けると 、${\displaystyle x+2=0}$${\displaystyle x+2.}$

${\displaystyle (x+2)(x+2)=0(x+2),}$

${\displaystyle x^{2}+4x+4=0,}$

唯一の実数解は です。これは元の方程式の解なので、のこの値であっても除外することはできません。 ${\displaystyle x=-2}$${\displaystyle x+2=0}$${\displaystyle x}$

分母に変数がある分数の問題では、自然に余分な解が生じることがあります。たとえば、次の方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {1}{x-2}}={\frac {3}{x+2}}-{\frac {6x}{(x-2)(x+2)}}\,.}$

解くには、まず方程式の両辺に、方程式に含まれるすべての分数の最小公分母を掛けます。この場合、最小公分母は です。これらの操作を実行すると分数が消去され、方程式は次のようになります。 ${\displaystyle (x-2)(x+2)}$

${\displaystyle x+2=3(x-2)-6x\,.}$

これを解くと単一の解が得られます。ただし、この解を元の方程式に 代入すると、次のようになります。${\displaystyle x=-2.}$

${\displaystyle {\frac {1}{-2-2}}={\frac {3}{-2+2}}-{\frac {6(-2)}{(-2-2)(- 2+2)}}\,.}$

すると方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{-4}}={\frac {3}{0}}+{\frac {12}{0}}\,.}$

この方程式は、ゼロで割ることができないため有効ではありません。したがって、解は無関係で有効ではなく、元の方程式には解がありません。 ${\displaystyle x=-2}$

この特定の例では、（値 に対して）を掛ける演算はゼロを掛ける演算であることが認識できます。ただし、すでに実行された各演算が最終的な答えで許可されているかどうかを評価することは必ずしも簡単ではありません。このため、多くの場合、変数を含む式による掛け算を処理する唯一の簡単で効果的な方法は、得られた各解を元の方程式に代入し、有効な方程式が得られることを確認することです。無効な方程式を生成する解を破棄すると、正しい解のセットが得られます。上記の例のように、すべての解が破棄される場合もあります。その場合、元の方程式には解がありません。 ${\displaystyle x=-2}$${\displaystyle (x-2)(x+2)}$

余分なソリューションは、すべてのソリューションの有効性をチェックするだけで済むため、対処がそれほど難しくありません。ただし、より厄介なのは、式の特定の値に対して無効な式に対して操作を実行するときに発生する可能性がある、欠落したソリューションです。

たとえば、次の方程式を解く場合、両辺から を減算し、両辺を で割ることで正しい解が得られます。 ${\displaystyle 4}$${\displaystyle 2}$

${\displaystyle 2x+4=0,}$

${\displaystyle 2x=-4,}$

${\displaystyle x=-2.}$

同様に、両辺から を引き、 で割ることで次の方程式を解くことができると考えられます。 ${\displaystyle 2x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{2}+2x=0,}$

${\displaystyle x^{2}=-2x,}$

${\displaystyle x=-2.}$

この解は、実際には元の方程式の有効な解ですが、もう一方の解 は消えています。問題は、両辺を で割ったことです。これは、${\displaystyle x=-2}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0.}$

一般的に、ゼロになる可能性のある式で割ることを避けることは可能であり、また推奨されます。ただし、これが必要な場合は、ゼロになる変数の値が元の方程式を満たさなくなるようにすれば十分です。たとえば、次の方程式があるとします。

${\displaystyle x+2=0.}$

両辺を で割ると次の式が得られます。 ${\displaystyle x-2}$

${\displaystyle {\frac {x+2}{x-2}}=0.}$

これが有効なのは、がゼロになる唯一の値は であり、これは元の方程式の解ではないためです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x-2}$${\displaystyle x=2,}$

場合によっては、特定の解に関心がないことがあります。たとえば、が正である解だけが必要な場合があります。この場合、がゼロまたは負の場合にのみゼロになる式で除算しても問題ありません。これは、関心のない解のみを除外できるためです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

乗算と除算は、解集合を変更できる唯一の演算ではありません。たとえば、次の問題を考えてみましょう。

${\displaystyle x^{2}=4.}$

両辺の正の平方根を取ると、次のようになります。

${\displaystyle x=2.}$

ここでは、負の値の平方根はとが必ず正であるため、取っていません。しかし、解を失ってしまいました。その理由は、 は実際には一般に の正の平方根ではないからです。が負の場合、 の正の平方根は です。手順が正しく実行されると、代わりに次の式が導かれます。 ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle x=-2.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{2}.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle -x.}$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {4}}.}$

${\displaystyle |x|=2.}$

${\displaystyle x=\pm 2.}$

この方程式には、元の方程式と同じ2つの解があります。${\displaystyle x=2}$${\displaystyle x=-2.}$

両辺を二乗して解集合を変更することもできます。これにより、方程式の範囲内の負の値が正になり、余分な解が生じるためです。

• 無効な証明