キャンセルする

相殺は、数式から部分式を削除するために使用される数学的プロセスであり、部分式が等しく反対の効果を持つため、この削除によって式の意味や値が変更されない場合に使用されます。^[1]たとえば、分数は、分子と分母の共通因数を相殺することによって最小の項になります。^[2]別の例として、a × b = a × cの場合、 a ≠0であれば乗法項a を相殺して、同等の式b = cを得ることができます。これは、をaで割ることに相当します。

部分式が同一でない場合でも、部分的に打ち消すことは可能です。たとえば、単純な方程式 3 + 2 y = 8 yでは、両辺に実際には 2 y が含まれています( 8 yは 2 y + 6 yと同じであるため)。したがって、両辺の2 y を打ち消すことができ、 3 = 6 y、つまりy = 0.5 が残ります。これは、両辺から 2 y を引くことと同じです。

場合によっては、相殺によって方程式に制限のある変更や追加の解が導入されることがあります。たとえば、不等式ab ≥ 3 bの場合、両辺のb を相殺してa ≥ 3 を解として得られるように見えます。しかし、このように「単純に」相殺すると、すべての解（不等式を満たす( a, b )のセット）が得られません。これは、 bが負の数の場合、負の数で割ると ≥ 関係が ≤ 関係に変わるためです。たとえば、2 は 1 より大きいですが、-2 は-1より小さくなります。また、 bがゼロの場合、ゼロを何倍してもゼロになり、その場合、相殺するとゼロで割ることになりますが、これは実行できません。したがって、実際には、相殺は機能しますが、正しく相殺すると、考えていた 1 セットではなく、 3セットの解が得られます。また、「単純な」解は、すべてのケースではなく、一部のケースでのみ解になることもわかります。

• b > 0の場合:キャンセルしてa ≥ 3 を得ることができます。
• b < 0の場合、この関係を逆にする必要があるため、打ち消すとa ≤ 3 になります。
• bがちょうどゼロの場合、両辺がゼロになり、0 ≥ 0 となるため、 この式はaの任意の値に対して真となります。

したがって、打ち消しが正しく行われ、見落とされたり間違った解が導かれたりしないように注意する必要があります。この単純な不等式には、次の3 つの解のセットがあります。

• b > 0 かつa ≥ 3。（例えば、b = 5 かつa = 6 は、6 x 5 は 30 であり、3 x 5 は 15 であり、30 ≥ 15 であるため、解です）
  または
• b < 0 かつa ≤ 3 (例えば、b = –5 かつa = 2 は解です。なぜなら、2 x (–5) は –10 であり、3 x (–5) は –15 であり、–10 ≥ –15 だからです)
  または
• b = 0 ( aは任意の数) (任意のx 0 ≥ 3 x 0であるため)

私たちの「素朴な」解（a ≥ 3）も、時々は間違っていることがあります。たとえば、b = –5の場合、4 ≥ 3 であってもa = 4 は解ではありません。4 × (–5) は –20 で、3 x (–5) は –15 であり、–20 は ≥ –15 ではないからです。

より高度な数学では、相殺は無限級数の文脈で使用されることがあり、その場合、項を相殺して有限和または収束級数を得ることができます。この場合、テレスコーピングという用語がよく使用されます。このような級数の性質上、修正された方程式が有効であることを保証したり、有効な範囲を確立したりするには、十分な注意とエラーの防止が必要になることがよくあります。

計算科学では、キャンセルは数値アルゴリズムの精度と実行時間を改善するためによく使用されます。

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