超越方程式

未知数xが指数のみで現れる場合：

• 両辺に自然対数を適用すると、代数方程式が得られる場合がある。 ^{[ 3 ]}例えば

$\displaystyle 4^{x}=3^{x^{2}-1}\cdot 2^{5x}}$変換して${\displaystyle x\ln 4=(x^{2}-1)\ln 3+5x\ln 2}$、これは以下のように簡略化されます。${\displaystyle x^{2}\ln 3+x(5\ln 2-\ln 4)-\ln 3=0}$解決策がある${\displaystyle x={\frac {-3\ln 2\pm {\sqrt {9(\ln 2)^{2}-4(\ln 3)^{2}}}}{2\ln 3}}.}$

これは、加算が「基準線」で行われる場合には機能しません。${\displaystyle 4^{x}=3^{x^{2}-1}+2^{5x}.}$

• すべての「基本定数」が何らかの数qの整数乗または有理数乗として表せる場合、y = q ^{x を}代入するとうまくいく可能性があります。

$2^{x-1}+4^{x-2}-8^{x-2}=0$y = 2 ^xを使用して変換すると、 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{16}}y^{2}-{\frac {1}{64}}y^{3}=0}$解決策がある${\displaystyle y\in \{0,-4,8\}}$したがって${\displaystyle x=\log _{2}8=3}$これが唯一の真の解決策です。^{[ 4 ]}

これは、指数にxの二乗またはそれ以上のべき乗が含まれる場合、または「基数定数」が共通のqを「共有」しない場合は機能しません。

• 場合によっては、y = x e ^xを代入すると代数方程式が得られます。yの解がわかれば、ランベルト W 関数を適用することでxの解が得られます。例:

${\displaystyle x^{2}e^{2x}+2=3xe^{x}}$変換して${\displaystyle y^{2}+2=3y,}$解決策がある${\displaystyle y\in \{1,2\},}$したがって${\displaystyle x\in \{W_{0}(1),W_{0}(2),W_{-1}(1),W_{-1}(2)\}}$、 どこ${\displaystyle W_{0}}$そして${\displaystyle W_{-1}}$多値関数の実数値ブランチを表す${\displaystyle W}$関数。

未知数x が対数関数の引数にのみ現れる場合：

• 両辺に指数を適用すると、例えば代数方程式が得られる。

${\displaystyle 2\log _{5}(3x-1)-\log _{5}(12x+1)=0}$指数法を用いて底を変換する${\displaystyle 5}$、 に${\displaystyle {\frac {(3x-1)^{2}}{12x+1}}=1,}$解決策がある${\displaystyle x\in \{0,2\}.}$実数のみを考慮すると、${\displaystyle x=0}$これは非実数部分式につながるため、解決策ではありません。${\displaystyle \log _{5}(-1)}$与えられた方程式において。

これは、元の式が一意の底に関する対数の整数係数線形結合で構成され、対数の引数がxの多項式である必要があることを意味します。^{[ 5 ]}

• すべての「対数呼び出し」が一意の底を持つ場合${\displaystyle b}$そして、一意の引数表現${\displaystyle f(x),}$次に代入すると${\displaystyle y=\log _{b}(f(x))}$より単純な方程式につながる可能性がある。^{[ 6 ]}例

${\displaystyle 5\ln(\sin x^{2})+6=7{\sqrt {\ln(\sin x^{2})+8}}}$変換、${\displaystyle y=\ln(\sin x^{2}),}$に${\displaystyle 5y+6=7{\sqrt {y+8}},}$これは代数的であり、解は1つだけである。${\displaystyle y={\frac {89}{25}}}$^{[ b ]}その後、代入式に逆演算を適用すると、${\displaystyle x={\sqrt {\arcsin \exp y}}={\sqrt {\arcsin \exp {\frac {89}{25}}}}.}$

未知数x が三角関数の引数としてのみ現れる場合：

• ピタゴラスの定理と三角関数の和と倍の公式を適用して、${\displaystyle \sin(nx+a),\cos(mx+b),\tan(lx+c),...}$整数${\displaystyle n,m,l,...}$すべて次のような形式の引数に変換される可能性があります。${\displaystyle \sin x}$その後、${\displaystyle y=\sin(x)}$代数方程式が得られる。^{[ 7 ]}例

${\displaystyle \sin(x+a)=(\cos ^{2}x)-1}$変換して${\displaystyle (\sin x)(\cos a)+{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}(\sin a)=1-(\sin ^{2}x)-1}$、そして置換後、${\displaystyle y(\cos a)+{\sqrt {1-y^{2}}}(\sin a)=-y^{2}}$これは代数的^{[ c ]}であり、解くことができます。その後、適用します。${\displaystyle x=2k\pi +\arcsin y}$解を得る。

未知数x が双曲線関数の引数内の線形式にのみ出現する場合、

• 定義指数式によって展開し、代入する${\displaystyle y=\exp(x)}$代数方程式が得られる。^{[ 8 ]}例

${\displaystyle 3\cosh x=4+\sinh(2x-6)}$展開すると${\displaystyle {\frac {3}{2}}(e^{x}+{\frac {1}{e^{x}}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(e^{x})^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{(e^{x})^{2}}}\right),}$これは次の式に変換されます${\displaystyle {\frac {3}{2}}(y+{\frac {1}{y}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{y^{2}}}\right),}$これは代数的であり^{[ d ]}、解くことができます。${\displaystyle x=\ln y}$元の方程式の解を求める。