積分微分方程式

数学において、積分微分方程式は関数の積分と微分の両方を含む方程式です。

一般的な一階線形（導関数を含む項に関してのみ）積分微分方程式は、次の形式である。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.}$

微分方程式ではよくあることですが、閉じた形の解を得るのは困難な場合が多いです。解が見つかるケースは比較的少ないですが、その場合、まず問題を代数的な設定に変換する何らかの積分変換によって解が見つかることが多いです。このような状況では、問題の解は、この代数方程式の解に逆変換を適用することで得られる場合があります。

次の2次問題を考えてみましょう。

${\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta (x)\qquad {\text{with}}\qquad u(0)=0,}$

どこ

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.}$

はヘヴィサイドのステップ関数である。ラプラス変換は次のように定義される。

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.}$

項ごとにラプラス変換を行い、微分と積分の規則を利用すると、積分微分方程式は次の代数方程式に変換されます。

${\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}$

したがって、

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}$。

等高線積分法を用いてラプラス変換を逆変換すると、次のようになる。

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$。

あるいは、平方完成法を使ってラプラス変換の表（「指数関数的に減少する正弦波」）を使用するか、記憶から呼び出して続行することもできます。

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$。

積分微分方程式は、回路解析など、科学や工学の多くの状況をモデル化します。キルヒホッフの第二法則により、閉ループ全体の正味の電圧降下は印加電圧に等しくなります。（これは本質的にエネルギー保存則の応用です。）したがって、RLC回路は、 時間の関数としての電流、 抵抗、インダクタンス、静電容量に従います。^[1]${\displaystyle E(t)}$$${\displaystyle L{\frac {d}{dt}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =E(t),}$$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$

相互作用する抑制性ニューロンと興奮性 ニューロンの活動は、積分微分方程式のシステムによって記述できます。たとえば、ウィルソン・コーワン モデルを参照してください。

ウィサム方程式は流体力学における非線形分散波をモデル化するために使用されます。^[2]

積分微分方程式は疫学、特に年齢構造^[3]を含むモデルや空間的な疫病を記述するモデルにおいて、疫病の数学的モデリングに応用されている。 ^[4]感染症伝播のカーマック・マッケンドリック理論は、人口の年齢構造がモデリングの枠組みに組み込まれている一例である。

• 遅延微分方程式
• 微分方程式
• 積分方程式
• 積分差分方程式

• Vangipuram Lakshmikantham、M. Rama Mohana Rao、「積分微分方程式の理論」、CRC Press、1995

• インタラクティブ数学
• Chebfun を使用した例の数値解