変数（数学）

数学において、変数（ラテン語の variabilis「変化可能」に由来）は、定数（多くの場合は数値）を格納するための記号（通常は文字）である。 ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]口語的には、変数はオブジェクトを表現または示し、オブジェクトは変数の値であると言われる。

もともと、「変数」という用語は、主に関数の引数を表すために使用されていました。この場合、その値は関数のドメイン内で変化する可能性があります。これが、 $この$ 用語が選択された理由です。また、変数は、関数の値を表すためにも使用されます。たとえば、 $y=f(x).$

変数は、問題の解決中に固定されたままになる不特定の数値を表すことがあります。その場合、その変数はパラメータと呼ばれることがよくあります。変数は、決定する必要がある未知の数値を表すことがあります。その場合、その変数は未知数と呼ばれます。たとえば、2次方程式では、変数はパラメータであり、は未知数です。 $ax^{2}+bx+c=0,$ $a,b,c$ $x$

同じ記号が、変数と定数（数学的に明確に定義されたオブジェクト）の両方を表すために使用されることがあります。たとえば、ギリシャ文字 $π は$ 一般に数 $π を$ 表しますが、射影を表すためにも使用されます。同様に、文字 $e は$ オイラー数を表すことが多いですが、 4次関数や高次多項式の未割り当て係数を表すためにも使用されます。記号⁠ ⁠でさえ、任意の体の単位元を表すために使用されています。これら2つの概念はほぼ同じように使用されるため、通常、特定の記号が変数を表すのか定数を表すのかを区別する必要があります。^[7] $1$

変数は行列、関数、その引数、集合とその要素、ベクトル、空間などを表すためによく使用されます。 ^[8]

数理論理学では、変数とは理論上の不特定の定数を表す記号、または量化される変数のいずれかである。^[9]^[10]^[11]

歴史

ユークリッドの『原論』などの古代の著作では、単一の文字が幾何学的な点や形状を表しています。7世紀、ブラフマグプタは『ブラフマスプタシッダーンタ』の中で代数方程式の未知数を異なる色で表しました。この本の1つのセクションは「複数の色の方程式」と呼ばれています。^[12]

16世紀末、フランソワ・ヴィエトは、既知の数と未知の数を文字（現在では変数と呼ばれる）で表すというアイデアと、それらを数値のように計算して、単純な置き換えで結果を得るというアイデアを導入した。ヴィエトの慣習では、既知の値には子音を使用し、未知の値には母音を使用した。^[13]

1637年、ルネ・デカルトは「方程式の未知数をx、y、zで表し、既知数をa、b、cで表すという慣例を発明した」^{[14] 。ヴィエトの慣例とは対照的に、デカルトの慣例は現在でも広く使われている。数学における文字 x の歴史は、1887年の}サイエンティフィック・アメリカンの記事で議論されている。^[15]

1660年代から、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは独立して微小微積分学を発展させました。これは本質的に、ある変数の微小な変化が、最初の変数の関数である別の量の対応する変化をどのように誘発するかを研究するものです。ほぼ1世紀後、レオンハルト・オイラーは微小微積分の用語を固定し、関数 $f$ 、その変数 $x$ 、その値 $yに対して$ $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ という表記を導入しました。19世紀の終わりまで、変数という言葉は、関数の引数と値のみをほぼ独占的に指していました。

19 世紀後半、微分積分学の基礎は、どこでも微分不可能な連続関数などの明らかなパラドックスを扱えるほど十分に形式化されていないようでした。この問題を解決するために、カール・ワイエルシュトラスは、直観的な極限の概念を形式的な定義に置き換えるという新しい形式主義を導入しました。極限の古い概念は、「変数 $xが変化して$ $a$ に向かう場合、 $f (x) は$ $L$ に向かう」というものでした。ただし、「傾向」の正確な定義はありませんでした。ワイエルシュトラスは、この文を次の式に置き換えました。

(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|xa|<\eta

\Rightarrow |Lf(x)|<\epsilon ,

5 つの変数のいずれも変化するとは見なされません。

この静的な定式化により、変数という現代的な概念が生まれました。変数とは、単に、未知であるか、または特定の集合(たとえば、実数の集合) の任意の要素に置き換えられる可能性のある数学的オブジェクトを表す記号です。

表記

変数は一般に1文字で表され、ラテンアルファベットが最も多く、ギリシャ文字はそれほど多くなく、小文字または大文字の場合があります。文字の後には下付き文字が続く場合があります。下付き文字には、数字（ $x 2$ など）、別の変数（ $x i$ ）、単語または単語の略語（ $x total$ ）、または数式（ $x 2 i + 1$ ）などがあります。コンピューターサイエンスの影響を受けて、純粋数学の変数名には複数の文字と数字が含まれる場合があります。ルネ・デカルト（1596–1650）に倣い、アルファベットの先頭の文字（ a、b、cなど）は既知の値やパラメータによく使用され、アルファベットの末尾の文字（x、y、z）は未知数や関数の変数によく使用されます。^[16]印刷された数学では、変数と定数をイタリック体で設定するのが標準です。^[17]

例えば、一般的な2次関数は慣例的にと表記され、ここでa、b、cはパラメータ（定数関数であるため、定数とも呼ばれる）であり、x は関数の変数です。この関数をより明示的に表記する方法はであり、これによりxの関数引数ステータスとa、b、cの定数ステータスが明確になります。 c はxの定数関数である項に出現するため、定数項と呼ばれます。^[18] ${\textstyle ax^{2}+bx+c\,}$ ${\textstyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,}$

数学の特定の分野および応用には、変数に対する特定の命名規則があります。同様の役割または意味を持つ変数には、連続する文字、または異なる下付き文字を持つ同じ文字が割り当てられることがよくあります。たとえば、3D座標空間の 3 つの軸は、慣例的にx、y、zと呼ばれます。物理学では、変数の名前は主にそれらが表す物理量によって決まりますが、さまざまな命名規則が存在します。確率と統計でよく使用される規則は、ランダム変数の名前にX、Y、Z を使用し、対応するより明確に定義された値を表す変数にはx、y、z を使用することです。

特定の種類の変数

同じ数式の中で変数が異なる役割を果たすことはよくあり、それらを区別するために名前や修飾語が導入されています。たとえば、一般的な3次方程式

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

は、 5 つの変数を持つと解釈されます。4 つの変数 $a 、 b 、 c 、 d$ は与えられた数とみなされ、5 番目の変数 $x は$ 未知数と理解されます。これらを区別するために、変数 $x$ は未知数と呼ばれ、他の変数はパラメータまたは係数、あるいは定数と呼ばれることもありますが、この最後の用語は方程式には不適切であり、この方程式の左辺で定義される関数のために予約する必要があります。

関数の文脈では、変数という用語は一般に関数の引数を指します。これは、通常、「実変数の関数」、「 $x は関数$ $f : x \mapsto f (x)$ の変数である」、「 $f$ は変数 $xの関数である」(関数の引数が変数$ $x$ によって参照されることを意味します) などの文で当てはまります。

同じ文脈で、 $x$ から独立した変数は定数関数を定義するため、定数と呼ばれます。たとえば、積分定数は、特定の原始微分に追加されて他の原始微分を取得する任意の定数関数です。多項式と多項式関数の間には強い関係があるため、「定数」という用語は、不定値の定数関数である多項式の係数を表すためによく使用されます。

変数のその他の具体的な名前は次のとおりです。

未知数とは、方程式の中で解かなければならない変数のことです。
不定値は、多項式または形式的な冪級数に現れる、一般に変数と呼ばれる記号です。形式的に言えば、不定値は変数ではなく、多項式環または形式的な冪級数の環の定数です。ただし、多項式または冪級数とそれらが定義する関数の間には密接な関係があるため、多くの著者は不定値を特別な種類の変数と見なしています。
パラメータとは、問題の入力の一部であり、問題の解決全体を通じて一定である量（通常は数値）です。たとえば、力学では、固体の質量とサイズは、その動きを研究するためのパラメータです。コンピュータサイエンスでは、パラメータは別の意味を持ち、関数の引数を表します。
自由変数と束縛変数
ランダム変数は、確率論とその応用で使用される変数の一種です。

これらの変数の名称はすべて意味的な性質を持ち、それらを使用して計算する方法 (構文) はすべて同じです。

従属変数と独立変数

微積分学やその物理学やその他の科学への応用では、たとえば $y$ という変数の値が別の変数 $x$ の値に依存すると考えるのが一般的です。数学的には、従属変数 $y は$ $x$ の関数の値を表します。式を簡略化するために、従属変数 $yと$ $x を$ $y$ に写像する関数に同じ記号を使用すると便利な場合がよくあります。たとえば、物理システムの状態は、圧力、温度、空間位置などの測定可能な量に依存し、これらすべての量はシステムが進化すると変化します。つまり、時間の関数です。システムを記述する式では、これらの量は時間に依存する変数によって表されるため、暗黙的に時間の関数と見なされます。

したがって、式の中で従属変数とは、暗黙的に他の（または複数の）変数の関数となる変数である。独立変数とは、従属していない変数である。^[19]

変数が従属的であるか独立的であるかは、多くの場合、視点に依存し、本質的なものではありません。たとえば、表記法 $f (x, y, z)$ では、3つの変数はすべて独立している可能性があり、表記法は3つの変数の関数を表します。一方、 $y$ と $zが$ $x$ に依存する場合（従属変数である場合）、表記法は単一の独立変数 $x$ の関数を表します。^[20]

例

実数から実数への関数fを次のように定義すると、

f(x)=x^{2}+\sin(x+4)

x は定義される関数の引数を表す変数であり、任意の実数になります。

アイデンティティにおいて

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}

変数i は、整数 1、2、...、 nをそれぞれ指定する合計変数です (値の離散的なセットにわたって変化するため、インデックスとも呼ばれます)。一方、 nはパラメーターです (式内では変化しません)。

多項式理論では、2次の多項式は一般にax ² + bx + cと表され、ここでa、b、cは係数（これらは固定されている、つまり検討対象の問題のパラメータであると想定される）と呼ばれ、x は変数と呼ばれます。この多項式を多項式関数として研究する場合、このx は関数の引数を表します。多項式をそれ自体のオブジェクトとして研究する場合、x は不定であると見なされ、この状態を示すために大文字で記述されることがよくあります。

例: 理想気体の法則

理想気体の法則を表す方程式を考えてみましょう。この方程式は、一般的に 4 つの変数と 1 つの定数を持つと解釈されます。定数は、ボルツマン定数です。変数の 1 つである粒子の数は正の整数 (したがって離散変数) ですが、他の 3 つ、圧力、体積、温度とは連続変数です。 $PV=Nk_{B}T.$ $k_{B}$ $N$ $P,V$ $T$

この式を変形して、他の変数の関数としてを得ることができます。すると、他の変数の関数として、は従属変数であり、その引数、およびは独立変数です。この関数をより正式にアプローチして、その定義域と値域について考えることができます。関数表記では、関数となります。 $P$ $P(V,N,T)={\frac {Nk_{B}T}{V}}.$ $P$ $V,N$ $T$ $P$ $P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R}$

しかし、実験では、圧力が独立変数の 1 つに依存するかどうかを決定するために、変数の 1 つを除くすべてを固定する必要があります (たとえば ) 。これにより、とも定数とみなされる関数が得られます。数学的には、これは前述の関数の部分的な適用となります。 $T$ $P(T)={\frac {Nk_{B}T}{V}},$ $N$ $V$ $P$

これは、独立変数と定数が、とられる観点に大きく依存することを示しています。関数を得るための変数と見なすことさえできます。 $k_{B}$ $P(V,N,T,k_{B})={\frac {Nk_{B}T}{V}}.$

モジュライ空間

定数と変数を考慮すると、モジュライ空間の概念につながります。例として、放物線の方程式を考えます。ここで、とはすべて実数とみなされます。この方程式を満たす 2D 平面上の点の集合は、放物線のグラフを描きます。ここで、とは放物線を指定する定数とみなされ、とは変数とみなされます。 $y=ax^{2}+bx+c,$ $a,b,c,x$ $y$ $(x,y)$ $a,b$ $c$ $x$ $y$

次に、とを変数として扱う代わりに、3 組の各セットが異なる放物線に対応することに着目します。つまり、それらは「放物線の空間」上の座標を指定します。これは放物線のモジュライ空間として知られています。 $a,b$ $c$ $(a,b,c)$

慣例的な変数名

パラメータまたは係数のa、b、c、d （場合によってはe、fに拡張）
0、1、2、… （文字を区別するのが不便_な_場合_）
数列のi番目の項または級数のi番目の係数を表すa _iまたはu _i
関数の場合はf、g、h（） $f(x)$
i、j、k（場合によってはlまたはh）は、可変の整数またはインデックス付きファミリ内のインデックス、または単位ベクトルです。
図形の長さと幅を表すlとw
lは直線、または数論ではp と等しくない素数を表す。
n（第2の選択肢としてm）は、オブジェクトの数や方程式の次数などの固定整数を表す。
pは素数または確率を表す
q は素数または商を表す
rは半径、剰余、相関係数を表す
tは時間
ユークリッド幾何学における点の3つの直交座標または対応する軸のx、y、z
zは複素数、統計学では正規確率変数
角度測定用のα、β、γ、θ、φ
ε（δは第2候補）は任意の小さい正の数
固有値のλ
Σ（大文字のシグマ）は合計を表し、σ（小文字のシグマ）は統計学では標準偏差を表す^[21]
平均μ

参照

参考文献

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