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代数学において、6 次多項式は6次多項式です。6次方程式は6次多項式方程式、つまり左辺が 6 次多項式で右辺が 0 である方程式です。より正確には、次の形式に なります。
ここで、a ≠ 0であり、係数 a、b、c、d、e、f、g は整数、有理数、実数、複素数、またはより一般的には任意の体のメンバーです。
6次関数は、6 次多項式によって定義される関数です。6 次関数は次数が偶数であるため、グラフにすると4 次関数に似ていますが、それぞれに極大値と極小値が追加されることがあります。6次関数の導関数は5 次関数です。
6 次関数は偶数次多項式で定義されるため、引数が正または負の無限大になったときに同じ無限大の極限を持ちます。先頭の係数 aが正の場合、関数は両辺で正の無限大まで増加するため、関数は最小値を持ちます。同様に、aが負の場合、6 次関数は負の無限大まで減少し、最大値を持ちます。
解ける六法則
ax 6 + dx 3 + g = 0のような6次方程式は根号因数分解で解くことができますが、他の6次方程式は解くことができません。エヴァリスト・ガロアは、与えられた方程式が根号因数分解で解けるかどうかを判断する技術を開発し、ガロア理論の分野を生み出しました。[1]
ガロア理論によれば、6 次方程式が根号で解けるのは、そのガロア群が、根の集合を 2 つの根の 3 つの部分集合に分割することを安定させる位数 48 の群、または根の集合を 3 つの根の 2 つの部分集合に分割することを安定させる位数 72 の群のいずれかに含まれる場合に限られます。
どちらの場合もテストする公式があり、方程式が解ける場合は根号で根を計算する。[2]
一般的な6次方程式は、2変数のカンペ・ド・フェリエ関数で解くことができます。[1]より制限されたクラスの6次方程式は、フェリックス・クラインの5次方程式を解くアプローチを使用して、 1変数の一般化超幾何関数で解くことができます。[1]
例
ワットの曲線は、蒸気機関に関する初期の研究の文脈で生まれたもので、2 つの変数の 6 次曲線です。
3 次方程式を解く方法の 1 つは、変数を変換して、6、3、0 次だけの項を持つ 6 次方程式を取得し、これを変数の 3 乗の 2 次方程式として解くことです。
語源
「sextic」という表現は、6 または 6 番目を表すラテン語の 語幹(「sex-t-」) と、 「～に関連する」という意味のギリシャ語の 接尾辞(「-ic」) に由来します。あまり一般的ではない「hexic」は、語幹 ( hex- 6) と接尾辞 ( -ik- ) の両方にギリシャ語を使用しています。どちらの場合も、接頭辞は関数の次数を表します。多くの場合、これらのタイプの関数は単に「6 次関数」と呼ばれます。
参照
参考文献
- ^ abc Mathworld - 6次方程式
- ^ TR Hagedorn、「解ける六次方程式を解くための一般的な公式」、J. Algebra 233 (2000)、704-757